中考数学一轮复习学案：分式方程（学生版）

中考数学一轮复习学案（全国版）

第二章方程与不等式

2.2分式方程

备考指南〉

考点分布考查频率命题趋势

考点1分式方程的解法☆☆数学中考中，有关分式方程的部分，每年考查1道题，

分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的形

☆

式考查。但三种形式只会出现一种。解答题基本以三

种形式考查：一是给出分式方程，让学生解这个方程；

考点2分式方程的应用☆☆

二是列方程求解；三是结合不等式、函数知识综合考

查。这类问题要注意解分式方程需要验根，同时注意

得出结果和实际问题相符合。

☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

[M知识导图

d分式方程的定义

-分式方程V

L[分式方程的解法

分式方.

一审二设三列四解

程问题

「步骤,五检六写，尤其不

要忘了验世______

分式方程—

的应用

来川。行程问题、工程问

类型，题、销售问题等

］典夯实基础

巴I知识清单〉

考点1.分式方程的解法

1•分式方程定义：____里含有未知数的方程叫做分式方程.

分式方程的重要特征：①含有分母：②分母中含有未知数；③是方程.

2.解分式方程的一般方法：

（1）解分式方程的基本思想：

把分式方程转化为方程，解这个整式方程，然后,从而确定分式方程的解.

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

①______：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；

②解方程：去括号、移项、合并同类项等；

③_____：将整式方程的解代人最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.

3.分式方程的特殊解法——换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般

的去分母不易解决时，可考虑田换元法.

4.增根：使分式方程的最简公分母为的根.

（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件

限制了.

（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方

程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根.

考点2.分式方程的应用

1.工程问题等量关系：工作量;工作时间X____o灵活掌握它的两个变式。

2.解决工程问题的基本思路

（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；

（2）通常间接设元，如XX单独完成需x（单位时间），则可表示出其工作效率；

（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.

（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，

工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中

的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和二全部工作总量.

（5）各部分工作量之和等于1,常从工作量和工作时间上考虑相等关系.

3.行程问题等量关系：路程二速度X.灵活掌握它的两个变式。

4.解决问题注意事项：

（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；

（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；

（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.

5.利润问题等量关系：批发成本-批发数量X；批发数量-批发成本+批发价；打折俏售价=

定价义折数；销售利润二销售收入一批发成本；每本销售利润;定价一批发价；每本打折销售利润二打

折销售价一批发价，利润率=利润+进价。

6.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；

7.浓度问题的基本关系是：野-______.

溶液

8.顺水逆水问题：vi«=v静+v水能，v逆=v的一v水就

注意：列分式方程解应用题的一般步骤

（1）审清题意，并设未知数；

（2）找相等关系；

⑶列出方程；

（4）解这个分式方程；

（5）验根（包括两方面：①是否是分式方程的根；②是否符合题意）；

（6）写答案.

【易错点提示】

解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不

要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解

才是原方程的解.具体情况表现在一下几点：

1.忘记验根。

2.检验方法不正确。

3.忽视分子为零。

4.考虑问题不全面。

5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。

6.去分母时漏乘不含分母的项，

7.解分式方程错符号。

R梳理〉

品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行俏售，面市后，线上订

单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价

比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价.设

购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（）

12(XX)1100(),八,1200()仆11(X)0

xx—5xx+5

「12(XX)1100()1100012(XX)

x+5xxx—5

【对点变式练2］（2024云南一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动.纪念馆距学校72

千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到

达.已知小型客车的速度是大里客车速度的1.2倍，求大型客车的速度.

【对点变式练3］（2024山西一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两

种食品.

（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉而共170份,此时杂馅面、牛肉面的价格分别为

15元、20元,求购买两种食品各多少份?

（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱

面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的

价格少6元，求购买牛肉面多少份？

B5题中戈

考点1.分式方程的解法

1.（2024四川泸州）分式方程工一3=-一的解是（）

x-22-x

A.x=—B.JV=-1C.x=—D.x=3

33

2m

2.（2024四川遂宁）分式方程一=1------的解为正数，则加的取值范围（）

X-1x-\

A.m>-3B.m>一3且〃？。一2

C.m<3D.加<3且加w—2

YY4-1

3.（2024武汉市）分式方程^二^—的解是______.

工-3X-1

4.（2024湖南省）分式方程二一二i的解是.

工+1

13

5.（2024四川成都市）分式方程一^二二的解是—.

x-2x

3lex-1

6.（2024四川达州）若关于x的方程-----------二1无解，则人的值为______.

x-2x-2

4x-l1

------<x+]

7.（2024重庆市A）若关于x的不等式组《3至少有2个整数解，且关于y的分式方

2（X+l）>-X+67

a-\3

程-7=2---的解为非负整数，则所有满足条件的整数。的值之和为______

），一1l-y

¥,3的解第为I,且关于，的分

8.（2024重庆市B）若关于x的一元一次不等式组

4x-2<3x+a

式方程。不一T8号y句,的解均为负整数’则所有满足条件的整数〃的值之和是——

9.（2024广州）解方程：------=-.

2x-5x

10.（2024陕西省）解方程：-^―+―

X2-\X-\

考点2.分式方程的应用

1.（2024黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所

用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

2.（2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工

30分钟后.甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求

乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件.可列方程为（）

120120〃120120”

A.-----------=30B.-----------=30

\.2xxx1.2工

1201203012012030

C.D.-----------——

L2x-"r-6ox{.lx60

3.（2024山东枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生

产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件

数为（）

A.200B.300C.400D.500

4.（2024云南省）某旅行社组织游客从A地到8地的航天科技馆参观，己知A地到8地的路程为300

千米，乘坐。型车比乘坐。型车少用2小时，C型车的平均速度是。型车的平均速度的3倍・，求。型

车的平均速度.

5.（2024江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、8两种机器，A型机器比B型机

器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与8型机器处理300吨垃圾所用天数相

等.。型机器每天处理多少吨垃圾？

6.（2024山东威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时.后购进

一批相同数量的3型节能灯，一年用电9600千瓦•时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏8型节能

灯每年用电量的2倍少32千瓦•时.求一盏A型节能灯每年的用电量.

7.（2024内蒙古赤峰）一段高速公路需要修好，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每

天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单

独修复90千米公路所需要的时间相等.

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那

么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？

8.（2024广西）综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓

度达到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5kg水.

浓度关系式：d后二054川其中〃前、〃后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度：卬为单

0.5+w

次漂洗所加清水量（单位：kg）

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水?

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

专项练习〉

考点1.分式方程的解法

1.把分式力程化为整式方程正确的是（

x-22-x

A.I-(1-x)=1B.1+(1-.v)=1

C.1-(1-x)=x-2D.1I(1-x)=x-2

32

2.方程二——的解是：工二

x-2x—1

3

3.解方程:——+1=

x-12x-2

xx—3

4.小丁和小迪分别解方程----------=1过程如下:

x-22-x

小丁：小迪：

解：去分母，得1一（了-3）=%-2解：去分母，得x+（x-3）=1

去括号，得x—x+3=x—2去括号得x+x—3=l

合并同类项，得3二1一2合并同类项得2%一3=1

解得x=5解得x=2

・•・原方程的解是工=5经检验，x=2是方程的增根，原方程无解

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打；若错误，请在框内打“X”，并写出

你的解答过程.

5.解分式方程：上

x-22-x

小明同学是这样解答的:

解：去分母，得：x+4=3（x-2）.

去括号，得：x+4=3x6.

移项，合并同类项，得：-2%=-10.

两边同时除以・2,得：x=5.

经检验，x=5是原方程的解.

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.

6.观察下列算式：

62X323,123X434204X545,

（1）由此可推断：；

42―

（2）请用含字母机（机为正整数）的等式表示（1）中的一般规律

（3）仿照以上方法解方程:1।1=1

(x-1)(x-2)x(x-1)x

3rtn+3

7.若关于'的分式方程占二一十1有增根'贝卜一

r

8.若关于x的分式方程^+――=2。无解，则。的值为___.

x-33-x

9.若关于x的方程」--2=—一解为正数，则〃?的取值范围是（）

x-12x-2

242,,41,2

A.m>——B.m<—C.rn>——且〃zwOD.mv—且加工一

33333

2x-l<3（x-2）

10.若关于x的一元一次不等式组lx-。的解集为e5,且关于y的分式方程

------->1

va

-=-1有非负整数解，则符合条件的所有整数。的和为（）

J-22-y

A.-1B.-2C.-3D.0

11.“若关于x的方程12无解，求〃的值.”尖尖和丹丹的做法如下：

3x-93x-9

尖尖：丹丹：

去分母得：ar=12+3x-9,去分母得：ar=12+3x-9,

移项得：or-3x=l2-9,移项，合并同类项得：

合并同类项得：（a-3）x=3,解得：x=—^—,

a-3

（a-3）x=3,

原方程无解，

•••原方程无解，