专题01 集合与常用逻辑用语（期中知识清单）（原卷版）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

5/5专题01集合与常用逻辑用语（11知识&17题型&5易错&4方法清单）【清单01】元素与集合的关系(1)属于(belongto)：如果是集合的元素，就说属于，记作.(2)不属于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.【清单02】集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。【清单03】子集1子集：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：【清单04】真子集如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)（2）性质：①任何一个集合都不是是它本身的真子集.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：【清单05】并集一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作（读作：并）.记作：.并集的性质：,,,,.高频性质：若.图形语言【清单06】交集一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.交集的性质：,,,,.高频性质：若.图形语言【清单07】全集与补集全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作，即.补集的性质：,,.【清单08】德摩根律(1)(2)【清单09】容斥原理一般地，对任意两个有限集,进一步的：【清单10】充分条件与必要条件（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.【清单11】全称量词命题与存在量词命题1全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.②全称量词命题的否定：.2存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.②存在量词命题的否定：.【题型一】元素与集合的关系【例1】（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（

）A． B．C． D．【变式1-1】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【题型二】集合元素的互异性应用【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则．【变式2-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【题型三】列举法与描述法【例3】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（

）A． B．C． D．【变式3-1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为.【题型四】根据集合元素的个数求参数【例4】（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合中只有一个元素，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【变式4-1】（多选）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【题型五】子集、真子集的个数【例5】（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（

）A．82 B．74 C．12 D．70【题型六】根据集合的包含关系求参数【例6】（24-25高一上·云南·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围.【变式6-1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【题型七】集合的运算【例7】（24-25高二下·河北·期中）已知全集，，，则（

）A． B． C． D．【变式7-1】（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知全集，，，则（

）A． B． C． D．【题型八】根据集合交集运算结果求参数【例8】（24-25高一上·天津·期中）已知集合，.(1)当时，求和；(2)若，求实数a的取值范围.【变式8-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，．(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围．【题型九】根据集合的并集结果求参数【例9】（24-25高一上·广东梅州·期中）已知集合，集合.(1)求，，；(2)设集合，且，求实数的取值范围.【变式9-1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知集合，．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围．【题型十】根据集合的补集结果求参数【例10】（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，．(1)若，求；(2)若，求的取值范围．【变式10-1】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【题型十一】图的应用【例11】（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（

）A．26 B．46 C．28 D．48【变式11-1】（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（

）人.A．3 B．9 C．19 D．14【题型十二】判断充分性与必要性【例12】（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式12-1】（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【题型十三】根据充分性与必要性求参数【例13】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合，(1)写出的所有子集；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【变式13-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【题型十四】判断全称（存在）量词命题的真假【例14】（多选）（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（

）A．B．C．“”是“”的充分不必要条件D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件【变式14-1】（多选）（24-25高一上·山东聊城·期中）下列说法中错误的有（

）A．命题，，则命题的否定是，B．“”是“”的必要条件C．命题“，”是真命题D．“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件【题型十五】根据全称（存在）量词命题的真假求参数【例15】（24-25高一上·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．且 C． D．无法确定【变式15-1】（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【题型十六】集合新定义题（小题）【例16】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（

）A．5 B．7 C．13 D．15【变式16-1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（

）A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭【题型十七】集合新定义题（解答题）【例17】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合.(1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合；(2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；(3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但.【变式17-1】（24-25高三上·浙江·开学考试）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．(1)写出集合的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：(3)证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．【题型一】容易忽视集合元素互异性【例1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，则等于（

）A．或 B．或C． D．【变式1-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（

）A．0 B．1C． D．1或【变式1-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为.【题型二】子集关系容易忽略空集【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合.(1)若，求，；(2)若，求的取值范围.【变式2-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，.(1)求，；(2)设集合，且，求实数的取值范围.【题型三】忽视了集合元素代表元素【例3】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示．【变式3-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知，则集合的真子集的个数是.【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为.【题型四】利用数轴求参数时忽略了端点值【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，．(1)若，求，；(2)请从①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【变式4-1】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知集合.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.【变式4-2】（24-25高一上·海南·期中）已知集合，.(1)若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若命题，是假命题，求实数的取值范围.【题型五】混淆了充分性与必要性“是”自正序与“的”字倒序【例5】（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（多选）（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（

）A． B． C． D．【题型一】图法与容斥原理一般地，对任意两个有限集,进一步的：【例1】（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【变式1—1】（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课