专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期中复习讲义）（原卷版）高一数学上学期人教A版

3/3专题05函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律5.1函数单调性的定义与证明能用定义法（取值→作差→变形→判号→结论）证明函数的单调性。解答题核心考法，变形判号是关键步骤和难点。5.2复合函数“同增异减”法则的判断能判断简单复合函数的单调性。小题中快速解题的工具。5.3函数奇偶性的判断能先判断定义域是否对称，再通过计算f(-x)判断奇偶性。易错点就是忽略定义域，必考点。5.4奇偶函数图象的对称性及其应用能利用奇偶性简化求值、作图和分析问题。常与单调性结合考查。5.5函数周期性的判断与应用能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。常作为小题的压轴点，需要灵活运用。5.6函数对称性的判断（关于点、关于轴对称）能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。与奇偶性关系密切，是能力的提升点。5.7函数性质的综合应用（解不等式、比较大小）能综合利用单调性、奇偶性将抽象不等式转化为具体不等式求解。期中压轴题标准模式，综合性最强知识点01函数的单调性与单调区间设函数y=fx的定义域是D，区间I⊆D，如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有，则称当x1<x2时，都有，则称y=fx在区间I两种情况下，都称函数在区间I上具有（区间I称为函数的，也可分别称为和）知识点02函数的最值最值最大值最小值条件函数y=fx的定义域为I，存在实数M（1）对于任意的x∈I，都有（2）存在x0∈I（1）对任意x∈I，都有（2）存在x0∈I结论M是函数y=fxM是函数y=fx知识点03单调性的常见运算单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）（跨章节）复合函数的单调性知识点04函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有，且，则称函数y=f(x)是偶函数关于对称奇函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有，且，则称函数y=f(x)是奇函数关于对称知识点05与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节），（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数知识点06与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节），（且）为奇函数，，（且）为奇函数知识点07奇函数+常函数在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数知识点08函数的周期性①周期函数：一般地，设函数fx的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且，那么函数fx就叫做周期函数．②最小正周期：如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的，那么这个最小就叫做fx的若，则的周期为：若，则的周期为：若，则的周期为：（周期扩倍问题）若，则的周期为：（周期扩倍问题）知识点09函数的对称性轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为知识点10周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：知识点11奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：题型一用定义法判断或证明函数单调性及求解最值【典例1】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【典例2】（24-25高一上·湖南·期末）已知函数.(1)若，求的值；(2)判断在上的单调性并利用定义法证明；(3)求在上的最大值.【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数，满足．(1)求的解析式；(2)求证：在上是增函数．【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数.(1)判断函数在的单调性，并用定义证明；(2)求函数在的值域.题型二求单调区间解｜题｜技｜巧拆分复合函数为内外层函数，根据“同增异减”原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）【典例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【变式1】函数的单调增区间为（

）A． B． C．和 D．【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（

）A． B． C． D．题型三据函数的单调性（含分段函数）求参数值解｜题｜技｜巧（1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。（2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型四根据函数单调性解不等式解｜题｜技｜巧（1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。（2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系（3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。【典例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式2】若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型五根据函数单调性比较函数值大小关系解｜题｜技｜巧同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。（3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。【典例1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【变式1】（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为．（用“＜”连接）题型六用定义法判断或证明函数奇偶性【典例1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数.(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)解关于的不等式：（）.【典例2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，．(1)求和的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)解关于的不等式【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数．(1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之；(2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明；(3)写出在R上的值域．【变式2】（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.(1)求证：是奇函数；(2)判断的正负，并说明理由.题型七根据函数的奇偶性求参数值解｜题｜技｜巧特殊值法：若函数定义域含0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为0，偶函数奇次项系数为0。（3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。【典例1】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则.【变式2】（21-22高一下·上海徐汇·开学考试）设为实数，函数是奇函数，则．题型八抽象函数奇偶性的综合应用解｜题｜技｜巧赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。（3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。【典例1】已知对任意x，，都有，且，那么（

）A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数【典例2】（24-25高一上·浙江·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（

）A． B．C．当时，为奇函数 D．当时，为偶函数【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【变式2】（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（

）A． B．C．是奇函数 D．是偶函数题型九函数周期性的综合应用解｜题｜技｜巧找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。（3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。【典例1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（

）A．3 B．2 C．6 D．10【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（

）A．-2 B．-1 C． D．0【变式1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（

）A．1 B． C．2024 D．【变式2】若是定义在上的奇函数，，，则．题型十函数对称性的综合应用解｜题｜技｜巧轴对称：利用对称性转化函数值。结合对称中心推导函数值关系。（3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。【典例1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（

）A． B． C． D．1【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则【变式1】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）（多选）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（

）A．是周期函数 B．关于直线对称C．在上是增函数 D．【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知.函数的图像是一个中心对称图形.若函数与函数的图像交点分别为为正整数），则.注：题型十一函数性质的综合应用解｜题｜技｜巧梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。（3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。【典例1】（24-25高一上·山东泰安·期中）（多选）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．若，则关于中心对称D．若，则【典例2】（24-25高一上·山东·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（

）A．的周期为4B．的图象关于对称C．D．当时，【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数满足：对于，都有，且，则以下选项正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（

）A．B．为奇函数C．在上单调递减D．任意，存在，使得期中基础通关练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（

）A． B． C． D．二、多选题5．（24-25高一上·陕西渭南·期中）定义在R上的函数满足，且是单调函数，，则（

）A．函数为奇函数 B．C． D．6．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（

）A．是周期函数 B．关于直线对称C．在上是增函数 D．7．（24-25高一上·重庆·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则.期中重难突破练（测试时间：30分钟）一、单选题9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（

）A． B．C． D．10．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（24-