（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展一：空间几何体的外接球与内切球问题（精讲）（解析版）

拓展一：空间几何体的外接球与内切球问题目录题型一：空间几何体的内切球问题角度1：内切球等体积法角度2:内切球独立截面法题型二：空间几何体的外接球问题角度1：外接球公式法角度2：外接球补型法角度3：外接球单面定球心法角度4：外接球双面定球心法题型一：空间几何体的内切球问题角度1：内切球等体积法知识点归纳球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.典型例题例题1．在正四棱锥中，，则该四棱锥内切球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】过点作平面，则为正方形的中心，连接，如图，因为，所以，所以，则四棱锥的体积，四棱锥的表面积.设四棱锥内切球的半径为，内切球的球心为，由，可得，即，解得，故四棱锥内切球的表面积是.故选：C例题2．正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．【答案】【详解】设底面的中心为，连接，则，设四棱锥的内切球的半径为，连接，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为，∴，即，解得，∴该四棱锥的内切球的表面积为.故答案为：.例题3．在三棱锥中，垂直底面，，，若三棱锥的内切球半径为，则此三棱锥的侧面积为___________.【答案】【详解】设三棱锥内切球圆心为，以为顶点将三棱锥分为四个小三棱锥，则三棱锥的体积，垂直底面，三棱锥的体积，则通过三棱锥体积不变可知，.故答案为：.角度2:内切球独立截面法知识点归纳如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和3、利用相似性求出内切球半径.典型例题例题1．轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】轴截面如图所示，设内切球的半径为，则，由题意可得，，在中，，所以，即，所以内切球体积为，故选：D例题2．已知圆锥的底面圆半径为，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若，则圆锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】作圆锥的轴截面，如图，截球得大圆为圆锥轴截面等腰的内切圆，圆心在高中，是腰上的切点，，设圆锥高为，由得，即，，，，令，，，由勾形函数性质知在上单调递减，在上单调递增，所以时，取得最小值4，又时，，时，，因此的最大值是，所以．故选：A．题型一同类题型演练1．已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，因为,故,则，设该四棱锥的内切球的半径为r，则，即，解得，故内切球的体积为,故选：B2．在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意，设四棱锥内切球的半径为r，因为，四棱锥的表面积，所以，所以四棱锥内切球的表面积为.故选：B.3．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，所以，所以，因为∽，所以,所以，得，所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为，故选：A4．如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为，连接.底面，.，，，.设四棱锥的内切球的半径为，球心为，由，得，即，解得，故四棱锥内切球的体积为.故选：B.5．已知三棱锥中,平面,则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为__________,__________.【答案】

【详解】解:由题知,因为,所以,即为直角三角形,因为平面所以,因为,所以,所以为等边三角形,故三棱锥的表面积;设三棱锥的内切球的半径为,因为平面,所以,因为,即,解得:.综上三棱锥的表面积为:,内切球的半径为.故答案为:;6．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为___________；则三棱锥的内切球的半径为___________.【答案】

【详解】由于平面，所以，故当时，此时最短，此时直线与平面所成角的最大，此时，由可得，由，所以，由所以，所以的外接圆直径为，由，可得外接圆直径，所以表面积为，设三棱锥的内切球的半径为，有，解得，所以，故答案为：，.题型二：空间几何体的外接球问题角度1：外接球公式法典型例题正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点例题1．一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为，则球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】正方体的对角线是球的直径，所以，则，所以球的表面积故选：D.例题2．长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.【答案】【详解】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，所以长方体的外接球的直径，故长方体的外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：例题3．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（

）A． B．4 C． D．.【答案】B【详解】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B角度2：外接球补型法①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型）题设：三条棱两两垂直②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）典型例题例题1．已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径，∴该球的体积为.故选：B例题2．在三棱锥A-BCD中，，，二面角是钝角.若三棱锥的体积为2，则的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角，所以，所以，因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为，则，解得，所以外接球的直径为，，球表面积为．故选：B．图1图2例题3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：外接球半径，所以外接球体积，阳马—的体积为．．故选：B．例题4．在四面体中，，，则这个四面体的体积为____________.【答案】【详解】由题意可知，四面体各面都是棱长分别为的全等三角形，∴该四面体可看做对角线长分别为的长方体切去4个相等的三棱锥得到的．设长方体的长宽高分别是a，b，c，则,解得,则此四面体的体积.角度3：外接球单面定球心法知识点归纳单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.典型例题例题1．已知在四面体中，，则该四面体外接球的表面积为__________.【答案】##【详解】在平面的射影为三角形的外心.又，所以由正弦定理得：三角形的外接圆的半径；设四面体外接球的半径为.解得：.所以外接球的表面积为.故答案为：.例题2．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.【答案】【详解】如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积.故答案为：.例题3．已知球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.【答案】【详解】解：如图，设的中心为，球的半径为，连接，，，，则，，在中，，解得，，，在中，，，过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．所得截面圆面积的取值范围是，故答案为：．角度4：外接球双面定球心法知识点归纳如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.典型例题例题1．如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，故选：B例题2．三棱锥中，二面角为，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥外接球的半径为______．【答案】【详解】作出三棱锥P－ABC，如图所示：为的中点，分别为和的外心，过点分别作平面和平面的垂线，交点为，连接.根据题意可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，所以三棱锥外接球的球心，设外接球半径，由题意知：和均为边长为2的正三角形，所以，，所以即为二面角P－AB－C的平面角，因为二面角P－AB－C为120°，也即，因为和均为边长为2的正三角形，所以，，则，所以，则，在中，因为，，所以，又因为，所以在中，，即，所以，故答案为：.例题3．已知菱形的各边长为，如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，若则三棱锥的体积为___________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为___________.【答案】

##【详解】取中点，连接，则，平面，∴平面，，又，，∴，则三棱锥的高，三棱锥体积为；作于，设点轨迹所在平面为，则平面经过点且，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，易知平面平面，且四点共面，由题可得，，，又，则三棱锥外接球半径，易知到平面的距离，故平面截外接球所得截面圆的半径为，∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.故答案为：；.题型二同类题型演练1．已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．【答案】1【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得，由，可得，即，解得．故答案为：1．2．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．【答案】【详解】解：设正方体外接球的半径为，则由题意可得，即，所以外接球的表面积为，故答案为：3．在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为_______________．【答案】【详解】将四棱锥P-ABCD补成正方体如图：则此四棱锥的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为，所以四棱锥的外接球的直径为，因此四棱锥的外接球的半径为故答案为：4．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.【答案】【详解】因为，，则，，同理可证，，所以，、、两两垂直，将三棱锥补成正方体，如下图所示：正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.5．在中，，将绕旋转至的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的表面积为___________.【答案】【详解】在中，由余弦定理得，所以，在三棱锥中，，将三棱锥放入长方体，设长方体的长宽高分别为，设三棱锥的外接球的半径为，则，可得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.6．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【详解】解：把三棱锥放置在一个长方体中，如图：则长方体的外接球即三棱锥的外接球，其外接球的半径为．三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：.7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面BCD，且，，，则此鳖臑外接球的体积为______．【答案】【详解】把鳖臑补成直四棱柱如图，其中，，鳖臑的外接球即为此直四棱柱的外接球，设外接球半径为则，根据球的体积有外接球的体积为故答案为：8．已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因平面，平面，则，而，则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，，连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，则四边形是矩形，，因此，球的半径有：，所以三棱锥外接球的表面积.故选：C9．在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【答案】A【详解】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，取的中点为，连接，则.设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上，且,且平面，平面.平面平面，平面平面，平面，，平面，，同理四边形为平行四边形，平面，平面，即四边形为矩形.，外接球半径外接球的表面积为故选：A.10．已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（

）A．4 B． C． D．【答案】B【详解】连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连接，如图，在等边中，的中点为，所以，又平面平面，是交线，所以平面，且，设，外接球半径为，则在正方形中，，，在中，，而在截面中，