（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.4.3 第1课时 余弦定理 精讲（解析版）

6.4.3第1课时余弦定理(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:已知三边解三角形题型2：已知两边及一角解三角形题型3：判断三角形的形状三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；；（2）余弦定理的推论；；知识点2：解三角形（1）解三角形一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.（2）余弦定理在解三角形中的应用①已知三角形的三边解三角形连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角.②已知两边和它们的夹角解三角形用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角.③已知两边及其中一边的对角解三角形例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角.二、重点题型分类研究题型1:已知三边解三角形典型例题例题1．在中，角所对的边分别为，若，则（

）A． B．或C． D．或【答案】C【详解】由得，，由余弦定理得，因为，所以.故选：C例题2．在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，，，∴，则，则.故选：D.例题3．已知的三边之比为，则最大角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】不妨设的三边满足，因为的三边之比为，故可设，则，，由中最大边所对的角最大，可得的最大内角为，由余弦定理可得，又所以，故最大角为，故选：A.例题4．在中，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以由余弦定理得，因为，所以，故选：C同类题型演练1．△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcos∠ADB，AC2=DA2+DC2－2DA·DCcos∠ADC，又cos∠ADB=－cos∠ADC两式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即22+32=2DA2+22+22，∴2DA2=5，∴DA=.故选：D2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac,则角B的值为A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】由余弦定理和及已知条件得，所以，又，所以，故选A.3．在中，，则的最小角为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知，在中，，因为，所以的最小角为，所以，又因为，所以.故选：C.4．在中，，则的值为（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【详解】解：因为，所以设，由余弦定理可得.故选：C.题型2：已知两边及一角解三角形典型例题例题1．的内角的对边分别是，已知，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：因为又余弦定理得：，所以.故选：B.例题2．在中，角所对的边分别为，若，，，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】，，或；当时，，解得：；当时，，解得：.综上所述：或.故选：C.例题3．在中，内角所对的边分别是，，.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由余弦定理，得，所以（2）在中，因为，所以，由正弦定理，得，所以（3）由（2），所以，所以.例题4．在中，内角的对边分别是，，，．(1)求；(2)求；(3)求的值．【答案】(1)6(2)(3)（1）由余弦定理得，，解得.（2）由正弦定理得（3）由余弦定理得，，，所以.同类题型演练1．在中，，，，则边的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：在中，，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故选：C2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为___________．【答案】【详解】由已知及余弦定理可得，故，解得或（舍）所以故答案为：3．在△ABC中，若a=8，b=7，cosC=，则最大角的余弦值是___________.【答案】【详解】在中，a=8，b=7，，由余弦定理得：，即，最大内角为，则．故答案为：4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=.(1)求c的值；(2)求sinA.【答案】(1)2(2)【详解】（1）由余弦定理可得，即，解得，（2）∵，且，由得，,由正弦定理得，故.题型3：判断三角形的形状典型例题例题1．在中，角的对比分别为，满足，则一定是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】由所以为直角三角形.故选：C例题2．在中，若，则此三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．既非等腰三角形也非直角三角形【答案】A【详解】由余弦定理，，即，即，故此三角形一定是等腰三角形，故选：A例题3．将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的【答案】A【详解】由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故，各边增加1，可得三边长为：，此时为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，不妨设新三角形最大角为，故，由于，，为三角形的三条边，故，，又为锐角，因为新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形.故选：A例题4．在中，（分别为角的对边），则一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】∵，∴，即，根据余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，为直角三角形.故选：B5．若三角形的三边长度分别为2，2021，2022，则该三角形的形状是（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定【答案】B【详解】由题意知：长度为2022的边所对的角最大，其余弦值，则长度为2022的边所对的角为钝角，故该三角形为钝角三角形，故选：B同类题型演练1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【详解】由余弦定理及得，，整理得，即，∴为等腰三角形．故选：A.2．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】B【详解】因为，，所以，整理得，所以三角形的形状是直角三角形.故选：B3．在中，角成等差数列，其对满足则时（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．【答案】B【详解】角成等差数列，则，，由余弦定理，所以，解得或，代入得，，所以，，同理时，，所以是直角三角形．故选：B．4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】由题意，可得，即，因为，所以，即，故△ABC是直角三角形，故选：C5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【详解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴该三角形是直角三角形.故选：A三、高考（模拟）题体验1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【详解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，两边平方，得即，当且仅当，即时取等号，即，∴线段CD长度的最小值为．故选：D．2．如图，在中，，，点D为BC的中点，则当取最大值时，________．【答案】【详解】解：设，令．∴，．∴，解得．∴t的最大值为，即取得最大值，此时，则上述方程的解．故答案为：.3．已知点，，为轴上一点，若，则______．【答案】5【详解】设，所以，，，因为，所以由余弦定理得，即解得，所以，所以，，所以，故答案为：54．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(