（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 精讲（解析版）

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:复数三角形式的乘法题型2：复数三角形式的除法题型3：复数乘法、除法的几何意义一、必备知识分层透析知识点1：复数三角形式的乘法设，的三角形式分别是：，，则简记为：模数相乘，幅角相加知识点2：复数乘法的几何意义两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义.知识点3：复数三角形式的除法及其几何意义（1）复数三角形式的除法设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模数相除，幅角相减（2）复数除法的几何意义几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是zz0．知识点4：复数的乘方及其几何意义利用复数的乘法不难得到.这说明,复数的次方等于它模的次方,幅角的倍.的几何意义是将向量的模变为原来的次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角,就得到对应的向量.二、重点题型分类研究题型1:复数三角形式的乘法典型例题1．若复数，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，，．故选：C．2．计算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为所以，所以，故选：B.3．设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．【答案】【详解】由，得，由，得，因，所以，即，且，又因，所以，即，且,因此.故答案为：.4．计算：(1)；【答案】(1)；【详解】（1）.5．计算：(1)(2)【答案】(1)(3)(1)(2)6．关于x的不等式的解集为．求实数a，b的值；若，，且为纯虚数，求的值．【答案】（1），（2）【详解】解：(1)不等式即的解集为．,b是方程的两个实数根,由，，解得,．(2)由(1)知,为纯虚数，,,解得.题型2：复数三角形式的除法典型例题1．计算(cos＋isin)÷＝________．【答案】【详解】由复数除法的几何意义知：(cos＋isin)÷＝.故答案为：2．计算________．【答案】【详解】故答案为：.3．计算：(1)．【答案】(2).【详解】（2）.4．计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].【答案】【详解】解：题型3：复数乘法、除法的几何意义典型例题1．在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，得当时，，，∴．∵，∴，故选：D2．（多选）在复平面内，复数z＝a＋bi对应向量为（O为坐标原点，）．设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则．数学家棣莫弗发现：设，则，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：，根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．当r＝1，时， B．当r＝1，时，C． D．当r＝1，时，若n为偶数，则复数为纯虚数【答案】BC【详解】解：对于A，当，时，，故选项A错误；对于B，当，时，，所以，故选项B正确；对于C，，则，所以，又，所以，故选项C正确；对于D，当，时，，取时，则为偶数，此时不是纯虚数，故选项D错误．故选：BC．3．（多选）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（

）A．B．C．D．存在8个不同的复数，使【答案】AD【详解】解：根据题意，在，令可得.对于A，设，则有，变形可得，则，A正确；对于B，设，则有，变形可得，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，设，若，即，则有，，则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；故选：AD.4．_____.【答案】【详解】原式故答案为：5．÷()=_____.【答案】【详解】解：原式，故答案为：6．计算：．【答案】【详解】因为，同理可得，以此类推可知，对任意的，，因此.7．求证:.【详解】左边===右边.8．著名数学家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法国香槟