（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.1基本立体图形（第2课时）精讲（解析版）

8.1基本立体图形（第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征）(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:旋转体的结构特征角度1：圆柱的结构特征角度2：圆锥的结构特征角度3：圆台的结构特征角度4：球的结构特征题型2：简单组合体题型3：空间几何体的截面图及应用角度1：圆柱的轴截面的有关计算角度2：圆锥的轴截面的有关计算角度3：球的轴截面的有关计算题型4：旋转体的展开图的最短距离问题角度1：圆柱的展开图的最短距离问题角度2：圆锥的展开图的最短距离问题角度3：圆台的展开图的最短距离问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：圆柱（1）圆柱的定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（2）圆柱的图形（3）圆柱的表示圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱知识点2：圆锥（1）圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体（2）圆锥的图形（3）圆锥的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥知识点3：圆台（1）圆台的定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（2）圆台的图形（3）圆台的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆台二、重点题型分类研究题型1:旋转体的结构特征角度1：圆柱的结构特征典型例题例题1．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为（

）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【答案】B【详解】设碌碡的底面圆的半径为r，其高为h，由已知可得圆盘的半径h，由已知可得，∴

即碌碡的底面圆的半径与其高之比为，故选：B.例题2．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为，求该等边圆柱的底面周长和高.【答案】该等边圆柱的底面周长为，高为【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形设图柱的底面半径为r，则.轴截面ABCD的面积，解得.所以该等边圆柱的底面周长为，高为.角度2：圆锥的结构特征典型例题例题1．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面面积与原圆锥的底面面积之比为1：4，圆台的母线长为9cm，则原来的圆锥的母线长为______.【答案】18cm【详解】设轴截面如图所示，由已知得圆与圆的面积比为，所以半径比，进而得，所以是的中点，且，故,故答案为：18cm例题2．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得小圆锥与圆锥底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆锥的母线长．【答案】12cm【详解】解：因为截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，所以小圆锥与圆锥SO底面半径之比是．如图，设SA的长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x，4x，根据相似三角形的性质得．解得．所以圆锥SO的母线长为12cm．角度3：圆台的结构特征典型例题例题1．若一个圆台如图所示，则其侧面积等于（

）A．6 B．C． D．【答案】C【详解】解：由题意得：∵圆台的母线长为又上底面圆的半径为，下底面圆的半径为∴圆台的侧面积为：故选：C例题2．关于下列几何体，说法正确的是（

）A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台【答案】D【详解】图①的上下底面既不平行又不全等，图①不是圆柱，故A错误；图②和图③的母线长不相等,故图②和图③不是圆锥，故B错误；图④的上下底面不平行,图④不是圆台,故C错误;

图⑤的上下底面平行,且母线延长后交于一点,故图⑤是圆台,故D正确.

故选：D.角度4：球的结构特征典型例题例题1．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（

）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个正方体【答案】B【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选：B.例题2．如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（

）A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个棱柱【答案】B【详解】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，故选：B.题型2：简单组合体典型例题例题1．如图是由哪个平面图形旋转得到的（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：D.例题2．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．【答案】①⑤【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤例题3．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积，∴几何体表面积为．（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．则．∴、两点间在侧面上的最短路径长为．同类题型演练1．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（

）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台【答案】C【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.故选：C2．图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【答案】D【详解】当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为一条曲线，所以⑤正确；故选:D.3．描述下列几何体的结构特征．【答案】解析见答案【详解】图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.4．指出图中三个空间图形的构成.【答案】答案见解析.【详解】解：图①中的空间图形是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.图②中的空间图形是由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥.图③中的空间图形是由一个球挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球.题型3：空间几何体的截面图及应用角度1：圆柱的轴截面的有关计算典型例题例题1．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是___________.【答案】【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为，所以圆柱的底面的面积为.故答案为：.例题2．一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为的内接圆柱．(1)用表示圆柱的轴截面面积(2)当为何值时，最大？【答案】(1)S＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)当x＝3时，S最大，最大值为6.详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得＝，解得r＝2－.(1)圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)＝－(x－3)2＋6，∴当x＝3时，S最大，最大值为6.角度2：圆锥的轴截面的有关计算典型例题例题1．圆锥的高与底面半径相等，母线等于，则底面半径等于________.【答案】5【详解】圆锥的轴截面如图所示，由图可知，底面半径，∴.故答案为：5.例题2．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.【答案】.【详解】设圆锥底面半径为r，则由题意得，解得.∴底面圆的面积为.又圆锥的高.故圆锥的体积.例题3．已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形.(1)求该圆锥的高；(2)求圆锥的母线与底面所成角的大小.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为底面半径，所以底面周长，及侧面展开图的弧长为，因为侧面展开图的圆心角，所以侧面展开图的半径，及母线长为，根据勾股定理可知圆锥的高；（2）圆锥与底面所成角记作，则，所以.角度3：球的轴截面的有关计算典型例题例题1．已知球的半径为2，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设截面圆半径为，由球的性质可知：则截面圆的半径，所以球被平面截得的截面面积为，故选：.例题2．（多选）两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧，则；如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧，则.故选：AD.例题3．如图所示，球的半径为13，，则小圆的半径______．【答案】5【详解】由图知：.故答案为：例题4．将地球视为球体，记地球半径为，地球球心为，设,为赤道上两点，且半径与的夹角为(1)求线段的长；(2)赤道在､两点间的劣弧长.【答案】(1)(2)（1）在中，由余弦定理可得所以（2）赤道在A､B两点间的劣弧长：题型4：旋转体的展开图的最短距离问题角度1：圆柱的展开图的最短距离问题典型例题例题1．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A． B． C．3 D．2【答案】A【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，.故选A．例题2．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________．【答案】【详解】把圆柱的侧面沿剪开，然后展开成平面图形：矩形，在矩形中求最短距离即可．如图所示，连接，则即为蚂蚁爬行的最短距离．∵，且，∴∴蚂蚁爬行的最短路线的长为．故答案为：例题3．如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.若，是的中点，点是线段上一动点，则的最小值为______.【答案】【详解】将绕着PA旋转到使其与共面，且在AB的反向延长线上．，，，，由余弦定理得，∴的最小值为．故答案为：角度2：圆锥的展开图的最短距离问题典型例题例题1．如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（

）A． B．16 C．24 D．【答案】A【详解】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为，则由题可得，则，在中，，则小虫爬行的最短路程为.故选：A.例题2．如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，为底面圆心，，为底面半径，且是母线的中点，则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（

）A． B．-1 C． D．+1【答案】A【详解】如图为圆锥的侧面展开图，,，则，在中，，则，为M到B的路径中，最短路径的长.故选：A.例题3．如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆的直径为2，点在圆上，且，为线段上异于，的点，则的最小值为___________．【答案】【详解】将沿翻折，使得在平面上为如图所示，易得取最小值，此时三点共线.由题意可得，故，又，故正.根据对称性易得，且垂足为.故故答案为：角度3：圆台的展开图的最短距离问题典型例题例题1．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是___________.【答案】【详解】如图所示,设圆台的上底面周长为,因为扇环的圆心角是,所以又,所以.同理.所以故答案为:.例题2．如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点拉条绳子绕圆台侧面转到点，求这条绳长的最小值．【答案】．【详解】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由轴截面中与相似，得，可求得．设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为,扇形的半径为，扇形所在圆的周长为．所以的长度为所在圆周长的，所以．所以在中，，所以，即所求绳长的最小值为．同类题型演练1．圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短路径长为（

）A．10cm B． C． D．【答案】B【详解】如图（1）所示，正方形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5cm，设圆柱的底面半径为r，则，底面周长为.将圆柱沿母线AD剪开，展开图如图（2）所示，则从A到C的最短路径长即AC的长.∵，，∴.故选：

2．“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为km，B是山坡SA上一点，且km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（

）A．60km B．km C．72km D．km【答案】C【详解】该圆锥的母线长为，所以，则圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，展开圆锥的侧面，连接，过点S作的垂线，垂足为H，由两点之间线段最短，知观光公路为图中的，，记点P为上任一点，连接PS，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，则下坡段的公路，即图中的HB，由，得（km）．故选：C3．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（

）A．cm B．1cm C．cm D．cm【答案】D【详解】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，，则，，解得，．所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为和，腰长为，即,过点作,为垂足，所以，该圆台形容器的高为，故选：D．4．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺.（注：丈等于尺）【答案】【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：一条直角边（即圆木的高）长尺，另一条直角边长尺，因此葛藤长为尺.故答案为：.5．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．【答案】【详解】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形，所以，所以圆锥底面周长，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得，故，则，所以，所以小猫所经过的最短路程是．故答案为：6．圆台的上、下底面半径分别为10cm，20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的表面积为________.（结果中保留）【答案】.【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，因为扇环的圆心角是，故，所以.同理可得，所以，所以.故圆台的表面积为.故答案为:.三、高考（模拟）题体验1．如图，圆柱的底面半