（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 （精讲）（解析版）

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:空间中两条直线位置关系的判断题型2：直线与平面的位置关系题型3：平面与平面的位置关系题型4：异面直线题型5：异面直线所成角题型6：由异面直线所成角求参数题型7：空间点、直线、平面之间的位置关系的综合问题题型8：平面分空间问题一、必备知识分层透析知识点1：异面直线（1）异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（2）异面直线的画法画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托（3）异面直线的判定①定义法②两直线既不平行也不相交知识点2：空间中直线与直线的位置关系eq\a\vs4\al(位置,关系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))知识点3：空间中直线与平面的位置关系（1）直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示图形表示（2）直线与平面的位置关系的分类①按公共点个数分类：②按直线是否在平面内分类：（3）直线与平面的位置关系的画法①直线在平面内的画法把直线画在表示平面的平行四边形内②直线与平面相交的画法把直线的一部分画在表示平面的平行四边形外，作出有且只有一个的交点，直线被平面遮挡的部分不画或画为虚线③直线与平面平行的画法把直线画在表示平面的平行四边形外，并使直线与表示平面的平行四边形的组对边平行.知识点4：空间中平面与平面的位置关系（1）平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示图形表示（2）平面与平面的位置关系的分类（3）平面与平面的位置关系的画法①两个平面平行的画法当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行②两个平面相交的画法：被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画二、重点题型分类研究题型1:空间中两条直线位置关系的判断典型例题例题1．已知三条直线，，满足且，则与（

）A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面【答案】B【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.例题2．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（

）．A．直线 B．直线C．直线 D．直线．【答案】A【详解】如图，易知，所以，且，所以为梯形，故与EF相交，A正确；因为，所以，故B错误；因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选：A例题3．在正方体中，点，分别在上，且，则与的位置关系是____________．【答案】平行【详解】解：连接并延长，交于点M，易得，所以，所以M为AD中点，连接BF并延长，交AD与点N，易得，所以，所以N为AD中点，所以M，N重合，所以，所以故答案为：平行同类题型演练1．已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（

）A．不可能平行，也不可能垂直 B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，但不可能平行 D．可能平行，也可能垂直【答案】D【详解】如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和垂直；如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和平行；综上，m，n在平面内的射影可能平行，也可能垂直.故选：D.2．如图，在正方体中，E，F分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线相交的是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】A【详解】连接，则，由，可得四边形为平行四边形，∴，，所以，即四边形为梯形，故直线与直线相交，直线与直线为异面直线，直线与直线为异面直线，直线与直线为异面直线.故选：A.3．若空间三条直线、、满足，，则直线与（

）A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交【答案】B【详解】，则、所成的角为直角，又因为，所以，、所成的角为直角，即.故选：C.题型2：直线与平面的位置关系典型例题例题1．如果直线，和平面满足，，那么．()【答案】错误【详解】根据空间中线面的位置关系可得，若满足a∥α，b∥α，则a∥b或a，b相交，或a，b异面，故原命题错误.故答案为：错误例题2．已知，且，那么直线与平面的位置关系是（

）A．必相交 B．必平行C．相交或平行 D．平行或在平面内【答案】D【详解】因为，且，那么直线b在内或平行.故选：D例题3．（多选）若存在直线和直线，满足与不平行，则下列说法正确的是（

）A．内一定存在直线与平行 B．可能与平面平行C．内一定存在直线与垂直 D．可能与平面垂直【答案】BCD【详解】依题意可得l与平面相交，则内一定不存在直线与l平行，故A错；l可能与平面平行或l可能与平面垂直，故BD正确；不论l与平面平行或相交，内一定存在直线与l垂直，C正确．故选：BCD同类题型演练1．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交 D．a与b无公共点【答案】D【详解】因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，而直线b⊂平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．故选：D.2．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若直线与平面没有公共点，那直线与平面只能平行，故充分条件成立；若直线与平面平行，则直线与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充分必要条件.故选：C3．已知直线m、n，平面，在下列命题中，真命题的个数是______．（1）若，，则；（2）若，，则．【答案】0【详解】（1）由，，可得或，故错误；（2）由，，可得或m、n异面，故错误.故答案为：0.4．在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面有______．【答案】平面【详解】如图，长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面为平面；故答案为：平面.题型3：平面与平面的位置关系典型例题例题1．平面∥平面，，则直线和的位置关系（

）A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面【答案】B【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点，∵，，∴直线，没有公共点∴直线，的位置关系是平行或异面，故选：B.例题2．，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（

）A．若，,则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】C【详解】A项：若，，则或，故选项A不正确；B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确；C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确；D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确.故选：C.例题3．已知直线，和平面，，若，，，，则，的位置关系是________．【答案】平行或相交【详解】若a∥b，则α，β相交或平行；若a，b相交，则α，β平行；故答案为：平行或相交.同类题型演练1．设为平面，点，则下列结论正确的是（

）A．过点有且只有一条直线与平行 B．过点没有直线与平行C．过点有且只有一个平面与平行 D．过点有无数个平面与平行【答案】C【详解】因为点，故过点有无数条直线与平行，故错误；过点有且只有一个平面与平行，故正确，错误.故选：.2．已知平面，且，，则直线a，b的关系为（

）A．一定平行 B．一定异面C．不可能相交 D．相交、平行或异面都有可能【答案】C【详解】由平面，且，可知直线a，b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．故选：C．3．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】B【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.题型4：异面直线典型例题例题1．异面直线指的是（

）A．两条不相交的直线 B．两条不平行的直线C．不同在某个平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线【答案】D【详解】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.故选：D.例题2．在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是弧的中点，是的中点，则（

）A．，与是共面直线 B．，与是共面直线C．，与是异面直线 D．，与是异面直线【答案】D【详解】在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，如图，，，，在中，是的中点，是的中点，，与是共面直线，若AC与EF是共面直线,则在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线，故选：D．例题3．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条.【答案】3【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面，由图可知九条棱中，，，，，与相交，没有直线与平行，所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，，故答案为：3同类题型演练1．如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在长方体中，，当是与的交点时，平面，与相交，A不是；当点与重合时，平面，与相交，B不是；当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是；因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是.故选：D2．正方体中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有（

）．A．4条 B．6条 C．8条 D．10条【答案】B【详解】如图，在正方体中，与面的对角线异面的棱有，，，，，，共6条．故选：B3．已知直线．如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值．那么这样的直线有__________条．【答案】无数【详解】如图所示：，异面，则平面内任意一条与平行的直线都满足要求，故答案为：无数题型5：异面直线所成角典型例题例题1．若直线，为异面直线，则与所成的角的大小可以为()【答案】错误【详解】异面直线所成的角的大小范围为大于小于等于，故不可能取135°．故答案为：错误例题2．在正方体中，异面直线与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】异面直线与夹角等于与夹角；连接，则为异面直线AB1与BD所成的角，为正三角形，所以，所以异面直线与夹角为.故选：B例题3．已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与，所成角都是的直线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【详解】在直线上取线段，过作，过作平面平面，且使平面平分，显然，在平面的两侧能分别取得点，使，．过作、，则直线就是满足条件的直线，所以满足条件的直线有两条，故选B．例题4．已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________.【答案】或【详解】如图，因为、、分别为、、的中点，故，，故与所成的角即与所成的角为，且与相等或者互补，故或.故答案为：或例题5．如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点作的垂线交圆于点，则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知B在直角梯形中，因为B为的中点，，所以，连接，易证四边形为矩形，所以，所以为异面直线与所成的角，在中，，所以,连接，在中，由，，得；在中，，所以，故选：B.同类题型演练1．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角．又，．又，，，为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．2．在正方体中与成角的面对角线的条数是（

）A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【详解】如下图所示：由图可知，和均为等边三角形，与成且相交的面对角线有：、、、，共条；由于，，，，所以，与成且异面的对角线有：、、、，共条.其中，面对角线、与垂直，.综上所述，在正方体中与成角的面对角线的条数是.故选：C.3．在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角的正切值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】连接与交于，因为是正方体，且P为的中点，所以，所以为直线PB与所成的角.设正方体的棱长为2，则在中，，，所以所以直线PB与所成的角的正切值为故选：A4．如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】连接，由棱柱的性质得，所以是异面直线与所成角或其补角；由正三棱柱的性质及，得，，，在中，由余弦定理，得，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.5．异面直线a与b成60°角，若，则c与b所成的角等于__________【答案】60°【详解】∵异面，，∴c与b相交或异面.当c与b相交时，根据异面直线a与b所成角的概念可知c与b所成的角为60°角；当c与b异面时，自空间不在上的一点分别作的平行线,∵，∴,根据异面直线所成角的定义，相交直线所成的不超过直角的角既是异面直线a与b所成的角，又是异面直线c与b所成的角，根据异面直线a与b成60°角，故异面直线c与b所成的角为60°角.故答案为：60°.题型6：由异面直线所成角求参数典型例题例题1．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，，在中，因为为中点，所以，，因为与所成的角为，所以或，当时，为等边三角形，所以，当，由余弦定理可得，即，所以的长为1或.故选：C.例题2．在长方体中，底面是边长为1的正方形，异面直线与所成角的大小为，则该长方体的表面积与体积的比值是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，连结，则，，，异面直线与所成角是，，解得：，所以长方体的表面积，体积,所以该长方体的表面积与体积的比值.故选：D例题3．如图，已知空间四边形两对角线和的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是_________;【答案】【详解】因为，，，分别为，，，中点，所以，，且，，所以四边形为平行四边形，因为与所成角为，所以平行四边形的一个内角为，所以.故答案为：.例题4．如图，在空间四边形中，，，分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，求的长．【答案】或4.【详解】如图所示：取的中点E，连接．因为M，N分别是的中点，所以且，且，从而（或其补角）即为与所成的角．又异面直线与所成的角为，所以或，当时，由余弦定理可知.当时，由余弦定理可知例题5．已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面.(1)若，求四棱锥的体积；(2)若直线与的夹角为，求的长.【答案】(1)12(2)【详解】（1）∵PD⊥平面ABCD，平面，∴点到平面的距离为，，∵，,∴，∵底面ABCD为正方形，边长为3，∴底面ABCD的面积为9，∴四棱锥P-ABCD的体积，（2）∵，∴直线AD与BP的夹角的平面角为，∵直线AD与BP的夹角为60°，∴，设，则，，在中，，，，由余弦定理可得∴，∴.同类题型演练1．在长方体中，与所成的角为30°，则A． B．3 C． D．【答案】D详解：如图所示，连接，，是异面直线与所成的角，即，在中，，在中，有，即.故选D.2．在空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，且与所成的角为60°，则的长为（

）A．1或 B．或 C．1或 D．或【答案】C【详解】连接EF，FG，EG，如图，依题意，，且，因与所成的角为60°，则或，当时，是正三角形，，当时，，所以的长为1或.故选：C3．某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且，异面直线所成角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，圆柱的直观图如图所示，连接，设圆柱底面圆的圆心为O，半径为r，由知，E为的中点，C为的中点，连接，则，即异面直线所成角为或其补角，连接，由正视图知，则，在中，，即，在中，有，而异面直线所成角的余弦值为，即，在中，由余弦定理得：，即，解得，该圆柱的轴截面矩形对角线，又圆柱的轴截面矩形是其外接球截面大圆的内接矩形，则该圆柱的外接球的半径，所以该圆柱的外接球的表面积为.故选：A4．已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________.【答案】或【详解】取中点，连接，因为分别为的中点，所以，，所以异面直线与所成的角即为或其补角，当异面直线与所成的角为时，，且，所以为等边三角形，所以；当异面直线与所成的角为的补角时，，且，所以，所以，综上可知，长为或，故答案为：或.5．如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.【答案】1或【详解】取BC的中点M，连接ME，MF，如图.则ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.当∠EMF＝60°时，；当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，.故EF的长度为1或.题型7：空间点、直线、平面之间的位置关系的综合问题典型例题例题1．在正方体中，，分别是线段，的中点，则异面直线，所成角余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示：F是线段的中点，连接交于F，由正方体的性质知，知异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，故或其补角是异面直线EF与所成角.设正方体边长为2，在直角中，，，故故选：C例题2．在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图：过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，则，所以，设正方体的棱长为，则，，所以,当且仅当与重合时，取得等号，所以的最小值是.故选：.例题3．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】分别取棱，的中点G，H，连接AH，HQ，NH，MG，GH.易证四边形APQH是平行四边形，四边形MNHG是平行四边形，则，，故是异面直线PQ与MN所成的角或其补角.因为，，所以，，，则，故异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.故选：B例题4．如图所示，在正方体中，点在线段上运动，设异面直线与所成的角为，则的最小值是___________.【答案】【详解】在正方体中，，四边形是平行四边形，，与成角可化为与成角，由正方体的特征可知三角形是正三角形，故当与重合时，，当与重合时，与平行而不是异面直线，，由余弦函数的图像可知，在单调递减，所以最小值是.故答案为：同类题型演练1．如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：取的中点F，连接，，，则因为点E，F分别为，的中点，所以，所以，所以或其补角为AC与DE所成的角，设正方体的棱长为2，则，所以，故选：C2．在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：延长，交直线于点M，延长交于点，连接，则直线即为交线，又，则即为l与所成的角，设正方体棱长为1，因为E为的中点，，所以为的中点，为的中点，点为的中点，为的中点，则，又，所以，所以，则，，，所以，即l与所成角的余弦值为.故选：D.3．已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设底面圆的半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以，即，因为直线与直线所成角的范围为，所以当直线与底面圆相切时，直线与母线所成角最大为，则该直线与母线所成的角的余弦值的最小值为；当直线过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线与母线所成角最小，则该直线与母线所成的角的余弦值的最大值为，即该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为.故选：A4．（多选）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线AM与BN是平行直线B．直线BN与MB1是异面直线C．直线MN与AC所成的角为60°D．平面BMN截正方体所得的截面面积为【答案】BCD【详解】对于A，假设直线与是平行直线，则四边形为平面图形，平面平面，且平面平面，平面平面，，则，与矛盾，故A错误；对于B，平面，平面，平面，由异面直线的定义可得，直线与是异面直线，故B正确；对于C，连接，，可得，为直线与所成的角，而，可得直线与所成的角为，故C正确；对于D，连接，可知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，棱长为2，，，，等腰梯形的高为，，故D正确．故选：BCD．题型8：平