（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.5.3 平面与平面平行 （精讲）（解析版）

8.5.3平面与平面平行(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:判断面面平行题型2:证明面面平行题型3:补全面面平行的条件题型4:面面平行与线线平行题型5:面面平行证明线面平行题型6：线面平行、面面平行的探索性问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：平面与平面平行的判定定理（1）两个平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。）（2）符号语言（3）图形语言（4）定理应用线线平行面面平行知识点2：平面与平面平行的性质定理（1）平面与平面平行的性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.（2）符号语言（3）图形语言（4）定理应用面面平行线线平行知识点3：直线与平面、平面与平面之间位置关系的相互转化由直线与直线平行可以判定直线与平面平行;由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行;由直线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.二、重点题型分类研究题型1:判断面面平行典型例题例题1．在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（

）．①都垂直于平面，那么②都平行于平面，那么③都垂直于直线，那么④如果，是两条异面直线，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，，所以，所以因为，，所以同理，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，所以，故④正确.故选：D例题2．设为两个不同的平面，则的充要条件是（

）A．内有无数条直线与平行B．垂直于同一平面C．平行于同一条直线D．内的任何直线都与平行【答案】D【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.故选：D例题3．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：（1）与平面平行的平面为______；（2）与平面平行的平面为______；（3）与平面平行的平面为______．【答案】

平面

平面

平面【详解】因为为长方体，所以平面∥平面，平面∥平面，同时∥，∥，又因为平面，平面，所以∥面，∥平面，因为，所以平面∥平面.故答案为：①平面；②平面；③平面.同类题型演练1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（

）A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判断都不对【答案】C【详解】一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若这两条直线相交且这两条直线平行于另一个平面，则可得这两个平面平行；若这两条直线平行，则这两个平面可能相交也可能平行；故选：C.2．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【详解】①，，由平行公理4得，正确；②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；③，则或，故错误；④，；则或，故错误；⑤，，，由线面平行的判定定理可得．故选：A.3．（多选）已知直线，和平面，，下列说法中不正确的有（

）A．若，，，则B．若，，则C．若与为异面直线，且，，，，则D．若，，则【答案】BD【详解】对于A：，，，由线面平行的性质,则；故A正确；对于B：，，,则，可以平行、相交、或异面；故B错误；对于C：与为异面直线，且，，，，根据面面平行的判定定理的推论,则；故C正确；对于D:当若，，则或,故D错误；故选：BD题型2:证明面面平行典型例题例题1．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.【详解】（1）如图，连接，∵分别是的中点，∴.又∵平面，平面，∴直线平面.（2）连接SD，∵分别是的中点，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.例题2．在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)16【详解】（1）证明：，四边形是平行四边形，．又平面平面平面．分别为的中点，是的中位线，．平面平面平面．平面，平面平面．（2）平面平面．又平面，平面是四棱锥的高，且．．又平面，平面．．例题3．（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;（2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即，，，，，证明：假设，∵，，，∴，同理可得，，∴，与矛盾，所以不成立，所以.（2）取中点，连接，，，∵为正方体，，为，中点，∴，，，，∴四边形，为平行四边形，，，∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面.例题4．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)设为棱上的中点，求证：平面平面．【详解】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，因E，F分别是BC，CM的中点，则有EFBM，又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，所以EF平面BDD1B1．（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，而E是BC的中点，于是得EGBD，而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，从而得EG平面BDD1B1，由（1）知EF平面BDD1B1，EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，因此，平面GEF平面BDD1B1，所以当G是DC的中点时，平面GEF平面BDD1B1．同类题型演练1．如图，为不共线的三点，，且；求证：平面平面；【详解】证明：，且，四边形和四边形是平行四边形，，平面，平面，平面；，平面，平面，平面.又，平面.平面平面2．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．【详解】证明：如图，连接．因为，分别是，的中点，所以．因为∥，，所以四边形为平行四边形，所以，所以．因为平面，平面，所以平面．同理可证平面．又因为，，平面，所以平面平面．3．如图，在正方体中，E，F，H，G分别是棱，，，的中点.求证：平面平面.【详解】连接，因为，，，分别是棱，，，的中点，所以，，所以，又平面，平面，所以平面，连接，连接交于，交于，交于，则，所以，又，，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，，所以平面平面.4．如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为，分别是的中点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面平面．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1），平面，.（2）连接，分别为中点，，，，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面；同理可得：平面，又，平面，平面平面.题型3:补全面面平行的条件典型例题例题1．已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（

）A．， B．， C．， D．与、所成角相等【答案】C【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求；B：由，，则、可能相交或平行，不合要求；C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合.D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求；故选：C例题2．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．因为平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面故在线段上存在一点，使平面平面．例题3．如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析．（1）证明：如图，连接交于，连接.因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以在中，是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：连接，，因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.由（１）知平面，又因为，，平面，所以平面平面.例题4．已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且.(1)作出平面和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；(2)若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.【答案】(1)答案见解析(2)，证明见解析【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为，因为四边形ABCD为正方形，所以，故，所以，又因为，所以，所以.又平面，PQ不在平面内，故平面.（2）当的值为时，能使平面平面.证明：因为，即，故，所以.又平面，PR不在平面内，所以平面，又，平面.所以平面平面.同类题型演练1．设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（

）A．是直线且， B．是异面直线，C．是相交直线且， D．是平行直线且，【答案】C【详解】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，是相交直线且，，，，由平面和平面平行的判定定理可得.故选C.2．如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点Q，使平面平面．（1）证明：过点作，交于点，连接，因为为的三等分点，可得，又因为为的三等分点，可得，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又由平面，平面，所以平面.（2）证明：取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点，在中，因为分别为的三等分点，可得，所以，因为平面，平面，所以平面；又由（1）知平面，且，平面，所以平面平面，即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面．3．如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．因为为的中点，所以，．又，，所以，．因此四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）解：如图所示，取的中点，连接，，所以又，所以．又，所以四边形为平行四边形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因为，故平面平面．4．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？【答案】（1）证明见解析；（2）是中点.【详解】（1）在四棱柱中，连接，如图，因，分别是，的中点，则有，又平面，平面，所以平面；（2）是中点，使得平面平面，理由如下：取CD的中点G，连接EG，FG，而是的中点，于是得，而平面，平面，从而得平面，由(1)知平面，，且平面，因此有平面平面，所以当是的中点时，平面平面.题型4:面面平行与线线平行典型例题例题1．已知长方体，平面平面，平面平面，则与的位置关系是()A．平行

B．相交

C．异面

D．不确定【答案】A【详解】平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可得与平行，故选A例题2．平面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是______．【答案】平行【详解】平面平面，平面平面，平面平面,由面面平行的性质定理可推出：.故答案为：平行.例题3．如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点，求证：】详解】解：由长方体的性质知：平面平面，又面，所以平面，又因为面面，且面，所以.同类题型演练1．已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是___________【答案】平行或异面【详解】由题意，，，，故直线m与n没有交点，故直线m与n平行或异面故答案为：平行或异面2．如图所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱台，求证：B1D1∥BD.【详解】根据棱台的特征知：侧棱BB1与DD1相交，所以平面BB1D1D.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.3．如图，平面，平面，，，，.(1)求证：；【详解】（1）证明：由题知，，平面，平面,所以平面，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面,平面平面所以.题型5:面面平行证明线面平行典型例题例题1．如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件______时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）【答案】点在线段上（答案不唯一）【详解】取中点，连接，连接，如图，由已知得，与、都平行且相等，因此与平行且相等，从而是平行四边形，，分别是中点，则，平面，平面，所以平面，同理平面，而，平面，所以平面平面，因此只要，就有平面．故答案为：点在线段上（答案不唯一）．例题2．如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面【详解】如图所示，过点作，交于点，连接，因为，，可得，所以，，而平面，平面，所以平面，同理得平面，又因为，所以平面平面，又由平面，所以平面.例题3．如图，在长方体中，，，为的中点，，分别在线段，上，且，求证：平面.【详解】在长方体中，取的中点，连接，如图，因G为AB的中点，则，而平面，平面，从而平面，四边形为矩形，而，则有，又，即有四边形为平行四边形，则，而平面，平面，从而平面，而，平面，因此平面平面，又平面，从而平面.例题4．如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接证明：平面；【详解】如图，在四棱锥中，取的中点，连接．因为分别为的中点，，所以又平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．同类题型演练1．如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面【详解】取的中点，连接，，则，，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；2．如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面【详解】因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因为平面，平面.3．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，证明：直线平面【详解】证明：取的中点，连接、、，在正方体中，且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则且，又因为且，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，因为且，故四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.4．如图①，在直角梯形中，，，，为的中点，、、分别为、、的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证：在四棱锥中，平面.【答案】证明见解析【详解】证明：在四棱锥中，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，在图①中，，且，为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为、分别为、的中点，所以，，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，因此，平面.题型6：线面平行、面面平行的探索性问题典型例题例题1．如图，在正方体中，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】取C1D1，D1D，CD，FG中点分别为E、F、G，H，连接EP，AF，FG，AG，AH，如图所示：∵P为CC1的中点，则平面A1BP即为平面A1BPE，EP∥DB，FG∥DB，A1E∥AG，EP∥FG，∵FG⊄平面A1BPE，AG⊄平面A1BPE，∴FG∥平面A1BPE，AG∥平面A1BPE，又FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，∴AFG∥平面A1BP，∴当Q运动到FG中点H时，此时AH⊂平面AFG，AH∥平面A1BP，AQ的最小值为AH，∵AB＝2，∴AF＝AG，FG，在Rt△AFH中，AH，故AQ的最小值为，故选：B．例题2．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图，取中点，中点，连接，所以，正方体中，易得，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，可得,则当在中点时，取得最小值为，当在两端时，取得最大值为，所以长度的取值范围是.故选：D.例题3．如图，已知在三棱柱中，是棱的中点，试问在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】存在点E，E为AB的中点.【详解】存在点E，当E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连结DF，则DF∥B1C1.因为DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1.因为AB的中点为E，连结EF，ED，所以EF∥AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.因为DF∩EF＝F，EF，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面AB1C1.因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.例题4．如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.(1)证明：平面；(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析，的最大值为2【详解】（1）证明：取的中点，连接.中，分别为的中点，，分别为的中点，，，故四边形为平行四边形，，平面平面，平面.（2）解：取中点为，连接，，在中，分别为的中点，，平面平面，平面.因为且，且、分别为、的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，，且，平面平面，平面.又，且平面，故平面平面.所以点存在，且，即点在线段上移动，可使平面平面，当点运动到时，此时的最大值，最大值为2.同类题型演练1．在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】取线段的中点为，连接，因为侧面为矩形，D是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面，因为，所以平面平面，因为M是四边形内的动点，平面ABD，所以点的轨迹是线段，因为，，所以，，所以线段长度的最小值为.故选：D2．在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是线段的中点，点M在正方形内（含边界），记过E，F，G的平面为，若，则的取值范围是______.【答案】【详解】如图，取中点为，连结.由已知，且，所以四边形是平行四边形，所以，且.又分别是线段的中点，所以，，所以，所以平面即为平面.易知，又，所以四边形是平行四边形，所以，又，，所以，同理由，可得.因为平面，平面，，所以平面.则由，平面，可知，平面，平面.又点M在正方形内，平面平面，所以.所以的长即为点到线段上点的距离，因为，所以当点为线段的中点时，最小，此时；当点与线段端点重合时，最大，此时.所以的取值范围是.故答案为：.3．如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明【答案】G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面，证明见解析【详解】证明：如图所示：取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．证明：连接DE．因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，所以，且，则四边形是平行四边形，故．又平面，平面所以平面．因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，则且，四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面，，所以平面平面．4．在长方体中，，P为的中点．(1)已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)分别是棱的中点；(2).（1）依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，则，在长方体中，，则有四边形为平行四边形，于是得，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，所以分别是棱的中点.（2）在长方体中，，P为的中点，则，，，设点到平面的距离为，由得：，即，解得，所以点到平面的距离是.5．如图所示，已知四棱柱的底面为菱形.（1）证明：平面平面；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；在的延长线上取点，使.【详解】（1）由棱柱的性质可知，，∵平面，平面，∴平面，同理可证平面，而，平面，∴平面平面；（2）存在这样的点，使平面，∵，∴四边形为平行四边形，∴，如图所示：在的延长线上取点，使，连接，∵，=，∴，∴四边形为平行四边形，则，∴，又平面平面，∴平面.三、高考（模拟）题体验1．如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】在正方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵正方体的棱长为，∴，，，∴.故选：A.2．若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（

）A．，，，B．，，C．，，，D．，，【答案】A【详解】对于A，如图，，，结合，，可知，故A正确；对于B，如图，，可能异面，故B错误；对于C，如图，，可能相交，故C错误；对于D，如图，可能相交，故D错误.故选：A．3．已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】对于A，由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知，选项A错误；对于B，由平面与平面平行的判定定理可知，若，则结论不成立，所以选项B错误；对于C，因为是不全平行的共面直线，即至少两条相交，所以成立.故选C正确；对于D，由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知，选项D错误.故选:C4．（多选）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（

）A．F为的中点 B．F为的中点 C．F为的中点 D．F为的中点【答案】ACD【详解】如图，分别是棱的中点，易证与共面，由，平面，平面，则平