（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练10.1.3 古典概型 精讲（原卷版）

10.1.3古典概型(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:写出基本事件题型2:古典概型的判断题型3:用列举法求古典概型的概率题型4:有放回与无放回问题的概率题型5:根据古典概型的概率求参数题型6:古典概型与其他知识的综合应用三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：古典概型1.1古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．1.2古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．知识点2：古典概型的概率计算公式2.1古典概型的概率计算公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．2.2古典概型的解题步骤求古典概型概率的步骤：（1）判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）（2）确定样本空间的样本点的总数（3）确定所求事件包含的样本点的个数（4）用公式求出事件发生的概率.二、重点题型分类研究题型1:写出基本事件典型例题例题1．连续掷一颗骰子两次，事件“向上的点数之和为”相对应的基本事件空间是____________________.例题2．从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组．(1)该活动包含了多少个基本事件？例题3．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么(1)写出试验的样本空间．同类题型演练1．在口袋中有除了颜色其他都相同的黑球白球各一个，有放回的摸取三次，依次观察摸出球的颜色，写出该试验样本空间．2．从甲､乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作(1)设5名同学为：甲､乙､，写出这一事件的样本空间；3．从至的个整数中随机取个不同的数．(1)写出所有不同的取法；题型2:古典概型的判断典型例题例题1．下列试验是古典概型的是()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为“取中白球”和“取中黑球”B．在区间上任取一个实数，使C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶例题2．下列是古典概型的是（

）①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④例题3．下列试验是古典概型的为______．①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．同类题型演练1．下列概率模型中，是古典概型的个数为（

）（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．42．（多选）下列问题中是古典概型的是（

）A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率B．从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率C．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率D．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率3．（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（

）A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲C．一只使用中的灯泡的寿命长短D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”4．在一次射击比赛中，某人可能打中的环数是环到环（必定为整数环）中的一个．此人打中的环数这个随机事件是否是古典概率模型？请说明理由．题型3:用列举法求古典概型的概率典型例题例题1．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（

）A． B． C． D．例题2．从正方形四个顶点及中心共五个点中任选三个,能确定一个平面的概率是______.例题3．抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的概率；(2)点数之和小于4的概率；(3)点数差的绝对值为3的概率．例题4．成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境保护等13大领域．已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中的值；(2)已知评分在的队伍有4支，若从评分在的队伍中任选两支队伍，求这两支队伍至少有一支队伍评分不低于85分的概率．同类题型演练1．已知集合，在集合A中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是______.2．由数字1，2，3，4构成的两位数中抽取一个，求：(1)所抽到数为偶数的概率；(2)所抽到数为3的倍数的概率；(3)所抽到数的个位和十位不相同的概率．3．掷两颗骰子，点数之差的绝对值出现哪个数的可能性最大？其出现的概率为多少？4．同时骰两枚骰子，求：(1)至少有一个点数为6的概率；(2)点数和为6的倍数的概率．5．2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.题型4:有放回与无放回问题的概率典型例题例题1．某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．(1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？例题2．口袋里共有4个球，其中有2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同。4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），试计算第二个人摸到白球的概率.同类题型演练1．天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．2．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？题型5:根据古典概型的概率求参数典型例题例题1．每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取次，依次得到个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则的最小值是（

）（参考数据）A．23 B．22 C．21 D．20例题2．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师人数为_____________．例题3．某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：专业机电维修艺术舞蹈汽车美容餐饮电脑技术美容美发招生人数就业率（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．同类题型演练1．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（

）A．4 B．5 C．12 D．152．中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本3．一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为___________．题型6:古典概型与其他知识的综合应用典型例题例题1．某校近期举行了“2022年新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛的200名学生的得分（满分100分），按照，，，，，，制作成如图所示的频率分布直方图，已知成等差数列.(1)求出的值，并计算参赛得分在的学生人数；(2)学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出2名学生交流新闻时事获取的途径，求这2人中恰有1人的得分在内的概率.例题2．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.例题3．青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：分数频率0.150.25m0.300.10(1)估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)用分层抽样的方法从这200份问卷得分在，，内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.同类题型演练1．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行､第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组；（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图(1)求a的值，并估计样本数据的中位数；(2)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人､现从这6人中随机抽取3人分享观看感想，求抽取的3人中恰有2人的观看时长在的概率.2．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间的概率.3．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”.阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：(1)求的值；(2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率．三、高考（模拟）题体验1．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（

）A． B． C． D．2．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工