（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷（解析版）

第六章平面向量及其应用章节验收测评卷一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则不是共线向量【答案】C【详解】A.因为向量不能比较大小，所以该选项错误；B.若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；C.若，则，所以该选项正确；D.若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.故选：C2．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，，，因为E，F分别为AB，CD的中点，所以，，所以，所以，即.故选：A.3．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中的值为（

）A． B． C．6 D．【答案】C【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故选：C．4．若向量，满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知得，，，，所以.故选：C．5．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．6．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（

）A．49 B．7 C． D．【答案】D【详解】因为，故可得，根据余弦定理可得，故，不妨取中点为，故，故.即边上的中线长为.故选：.8．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】∵是的垂心，延长交与点，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨设，其中，∵，∴，解得或，当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.故，则，∴是锐角，，于是，解得.故选：A.二、多选题9．已知向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则的值为B．若则的值为C．若，则与的夹角为锐角D．若，则【答案】AB【详解】解：对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时与同向，此时与的夹角为，故C错误；对于D：若，则，即，即，解得，当时，，，显然，当时，，，此时，故D错误；故选：AB10．中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，得：，，A正确；对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，则，B正确；对于C，与不共线，C不正确；对于D，连接CH，BH，由选项A知，，而，则四边形是平行四边形，，D不正确.故选：AB11．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（

）A．若为直角三角形，则；B．若，则为等腰三角形；C．若，则的面积为；D．若，则．【答案】BD【详解】根据题意，依次分析4个结论：对于A，根据题意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，则a：b：c＝ln2：ln4：lnt，故可设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．则有b﹣a＜c＜b+a，则kln2＜c＜3kln2，变形可得2＜t＜8，当时；c最大，若为直角三角形，则，即，解得；当时；若为直角三角形，则，即，解得综上：或，故A错；由题意，abcosC＝abmc2，∴m．若，则解得t=4，故，为等腰三角形；B正确；对于C，当t＝4，a＝kln2时，则b＝kln4，c＝klnt＝kln4，则有b＝c＝2a，此时等腰△ABC底边上的高为，三角形面积为，C错；对于D，当,则有a2+b2﹣c2＜0，即解得由选项A,B的解析知kln2＜c＜3kln2综合两式得，故m选项D正确；综合可得BD正确；故选：BD．三、填空题：12．已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．【答案】【详解】解：与夹角为锐角时，；解得；当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数的取值范围为.故答案为：.13．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________.【答案】【详解】由题意，，，所以．故答案为：．14．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的最大值为_________；设D是上一点，且，则的最大值为_________．【答案】

【详解】（1）由余弦定理知：又由正弦定理化简得：，即，即，又，化简得，则，，又，，故当时，取最大值为.（2）由题意得，在与中，分别有，又，化简得整理得：令，结合辅助角公式有，所以的最大值为故答案为：；四、解答题15．已知向量(1)若求的坐标；(2)若（5－2）⊥（＋），求与的夹角．【答案】(1)，或(2)（1）设，由且，得，，或，，或．（2），，设与的夹角为，则，又与的夹角为．16．已知两个不共线的向量，的夹角为，且，.(1)若与垂直，求；(2)若，求的最小值及对应的的值，并指出此时向量与的位置关系.【答案】(1)(2)时，的最小值为，与垂直(1)解：∵与垂直，∴，∴，即.∵，，∴，∴.∵，∴，∴.(2)解：当时，，所以，∴时，的最小值为，此时，∴与垂直.17．如图，在四边形中，，．且______；在①、②、③中选一个作为条件，解答下列问题；①；②；③．(1)求四边形的面积；(2)求的值．【答案】(1)条件选择见解析，面积为(2)【详解】（1）选①：，故，因为，所以，因为，所以，由余弦定理得：，故，因为，所以，因为，且为钝角，故，所以，故，又，故四边形的面积为；选②：，即，在中，，故为锐角，所以，由余弦定理得：，结合，解得：，因为，所以，因为，且为钝角，故，所以，故，又，故四边形的面积为；选③：，即，即，因为，所以，因为，所以，由余弦定理得：，故，因为，所以，因为，且为钝角，故，所以，故，又，故四边形的面积为；（2）选①②③，均求出，由图可知为锐角三角形，，由余弦定理得：，结合，解得：，由正弦定理得：，即，解得：.18．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角的对边分别为且，是的平分线交于点，若，求：(1)求角；(2)求的最小值.【答案】(1)条件选择见解析，(2)9【详解】（1）若选①：∵，由正弦定理得，则，又∵，所以，且，所以.若选②：∵，由正弦定理得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以.若选③：由，得，即，所以，又，所以.（2）因为是的平分线交于点，，所以，∵，则，即，整理得，即，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值9.19．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北60°方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口A，，在A的东偏北的方向（A，两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A，之间相距较远，计划在A，之间设置一个服务区.(1)若在的正北方向且，求A，到市中心的距离和最小时的值；(2)若到市中心的距离为，此时设在的平分线与的交点位置，且