（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练第六章 平面向量及其应用章末题型大总结 精讲（原卷版）

第六章平面向量及其应用全章总结(精讲）目录一、数学思想方法1、数形结合思想2、分类讨论思想3、函数与方程思想4、转化与化归思想二、重点题型精讲1、平面向量的线性运算及坐标运算2、平面向量的数量积及应用3、平面向量的共线4、平面向量的夹角与垂直5、向量的模与距离6、平面向量与其它知识的交汇题7、应用正弦定理、余弦定理解决平面几何问题8、正弦定理、余弦定理与其它知识的综合一、数学思想方法1、数形结合思想向量中的数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的;二是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的.实质是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来处理问题有关解三角形问题,自然离不开三角形,通常要把已知量和待求量集中在一个或几个三角形中,数形结合进行求解.1．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了两点，在､处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且的距离为10米，则旗杆的高度为（

）A．5 B． C．10 D．2．（多选）如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（

）A．点在线段上时，为定值B．点在线段上时，为定值C．的最大值为D．使的点轨迹长度为3．中国古塔多为六角形或八角形﹒已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，，则__．4．如图，在平行四边形中，点满足，，与交于点，设，则_____.5．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）2、分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的答案实质上,分类讨论思想就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想在解三角形时,会牵涉分类讨论思想,如:直角三角形中斜边的不确定,某一角的正弦值的不确定,三角形形状的不确定等,都要用到分类讨论的思想,实施的关键是明确对象、不重不漏、逐级讨论、综合作答.1．若正n边形的边长为2，，则（

）A．6 B．8 C．10 D．122．在中，若，则这个三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．在中，角的对边分别为，且，则的面积为（）A．或 B．或 C．或 D．或4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若函数在上存在零点，则（

）A．或 B．或 C． D．5．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是________．①若A＝30°，b＝5，a＝2，则有2解

②若，则③若，则为锐角三角形

④若，则为等腰三角形或直角三角形3、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想,主要是依据题意构建恰当的函数,或建立相应的方程来解决问题,是历年高考的重点和热点.详细点说,所谓的函数思想是指先用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再运用函数的图象与性质解决相关的问题而所谓的方程思想是分析数学中的等量关系,去构建方程或方程组,通过求解或利用方程的性质解决问题.在本章中,用余弦定理解三角形时,由于公式中有四个未知量,因此需要知三求一,对于所要求的量,可以当作方程中的未知数,通过解方程得到.在实际应用题中,通过利用正弦定理、余弦定理建立目标函数,用函数的思想解决些关于求距离、高度、角度、三角形面积等问题.1．如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（

）A． B． C． D．2．在中，，，，Q为内一点，.若，则__________.3．如图所示，点是内一点，若，，，且，则________.4．已知三角形两边之和为10，其夹角的余弦是方程的根，求这个三角形周长的最小值.5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．6．已知的内角的对边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)设，且，求边.4、转化与化归思想解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程,运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对原问题来说,转化为自己较熟悉的问题),通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化”的思想方法.在解三角形时,常用正弦定理或余弦定理“化边为角”或“化角为边”,从而发现三角形中各元素之间的关系在实际应用中,也常建立数学模型将实际问题转化为数学问题来解决.因此要理解并领悟“化归与转化”的数学思想,以便应用到要解决的问题中去.1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（

）A．2 B．4 C．6 D．82．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，的面积．(1)求C；(2)求的值．3．已知的三个角、、的对边分别是、、，且满足．(1)求；(2)若，，求点到边的距离．4．在中，内角所对的边分别为，且．(1)求．(2)若，求．5．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且．(1)求角A的大小；(2)求面积的最大值．二、重点题型精讲1、平面向量的线性运算及坐标运算1．如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（

）A．B．C．D．2．在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（

）A． B． C． D．3．如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则（

）A． B． C． D．4．已知向量，满足，，，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．25．（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（

）A．最大值为 B．最大值为1C．最大值是2 D．最大值是6．已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.2、平面向量的数量积及应用1．在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（

）A． B． C．10 D．202．在中，，则为（

）.A．4 B．3 C． D．53．如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”，我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，设，为线段上的动点，且满足，若，则（

）A．0 B． C． D．5．在中，，点是的中点，则（

）A． B．7 C． D．6．如图在△ABC中，，F为AB中点，，，，则（

）A．0 B．1 C． D．27．平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB，∠ADC=，则的最小值为（

）A．- B．-1 C．- D．-8．点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．已知等边的边长为6，平面内一点P满足，则____________．10．在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.(1)若，求的值；(2)求的最小值.3、平面向量的共线1．在△中，点D满足=，直线与交于点，则的值为（

）A． B． C． D．2．已知中，点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．3．已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（

）．A． B． C． D．4．设为基底向量，已知向量，，，若三点共线，则实数的值等于（

）A．2 B．－2 C．10 D．－105．已知向量，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数的值为（

）A．-4 B． C． D．46．如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，.(1)用和表示向量，；(2)若，求实数λ的值.7．如图，在中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则____________，的最小值为_____________.4、平面向量的夹角与垂直1．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，且，则实数的值为__________.3．已知向量，且，则___________．4．已知向量，若，则___________.5．设，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为___________.6．已知向量.(1)求与的夹角；(2)若向量满足∥，求的坐标.7．已知向量.(1)若，求；(2)若，向量，求与夹角的余弦值.8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），B（2，－3）．(1)若，求实数的值；(2)设C（－6，k），若，的夹角为钝角，求实数k的取值范围．9．已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，求与的夹角的余弦值．10．已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.5、向量的模与距离1．若单位向量，的夹角为，向量（），且，则（

）A． B．－C． D．－2．已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.3．已知为单位向量，且，则__________.4．若，且的最大值为，则__________.5．已知，则______.6．已知向量，，且，则______．7．在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，的值为______．8．已知向量，满足，且.（1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值.（2）当，取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果做出几何解释.9．已知，，，点O为坐标原点．(1)若A，B，C三点共线，且，求；(2)若，求的最小值．10．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.(1)设，求的值；(2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值.6、平面向量与其它知识的交汇题1．如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．42．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知向量，，，设函数.(1)求函数最小正周期和严格单调增区间；(2)求函数在恒成立，其实数的取值范围.6．已知点在锐角所在的平面内，且满足，若，则的值为___________；若，其中为的面积，则的最小值为___________.7、应用正弦定理、余弦定理解决平面几何问题1．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示，为街道路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面，喷射角.若，，则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为（

）A． B． C． D．2．如图，在平面四边形中，，，，，，则（

）A．1 B．3 C．2 D．43．如图，是等边三角形，是等腰三角形，交于，则__________.4．如图，平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值为______．5．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？6．市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为，A､B､C､D在同一平面内，路宽米，设.(1)求灯柱AB的高；(2)市政部门应该如何设置的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01