2025年普通高等学校招生全国统一考试•全国二卷数学含答案详解及试卷分析

2025年普通高等学校招生全国统一考试·全国二卷数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为A.8 B.9 C.12 D.182.已知z=1+i,则1zA.-i B.i C.-1 D.13.已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=A.{0,1,2} B.{1,2,8}C.{2,8} D.{0,1}4.不等式x-A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}5.在△ABC中,BC=2,AC=1+3,AB=6,则A=A.45° B.60° C.120° D.135°6.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=A.3 B.4 C.5 D.67.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=A.-20 B.-15 C.-10 D.-58.已知0<α<π,cosα2=55,则sin(A.210 B.25 C.32二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则A.q=12 B.a5=C.S5=8 D.an+Sn=810.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则A.f(0)=0B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2C.f(x)≥2当且仅当x≥3D.x=-1是f(x)的极大值点11.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,A.∠A1MA2=πB.|MA1|=2|MA2|C.C的离心率为13D.当a=2时,四边形NA1MA2的面积为83三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=.13.若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=.14.一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为cm.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=12(1)求φ;(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-π6),求g(x16.已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求C的方程.(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为2,求|AB|.17.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.18.已知函数f(x)=ln(1+x)-x+12x2-kx3,其中0<k<1(1)证明:f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点.(2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点.(i)设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),证明:g(t)在区间(0,x1)单调递减;(ii)比较2x1与x2的大小,并证明你的结论.19.甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得1分,负者得0分.设每个球甲胜的概率为p(12<p<1),乙胜的概率为q,p+q=1,且各球的胜负相互独立,对正整数k≥2,记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率,qk为打完k(1)求p3,p4(用p表示);(2)若p4-p(3)证明:对任意正整数m,p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.

本卷答案仅供参考1.C【基础命题点】平均数【教材链接】人A必修二P203例4,P208练习T3;人B必修二P70练习AT3;北师必修一P168例1;湘教必修一P240例5、P241练习T2.152.A【基础命题点】复数的四则运算【教材链接】人A必修二P80练习T3;人B必修四P41练习BT3;苏教必修二P147本章测试T8;湘教必修二P108例3.1z3.D【基础命题点】集合的交运算【教材链接】人A必修一P12练习T2;人B必修一P16例1、P21习题1-1AT7;北师必修一P9例6;苏教必修一P14例1;湘教必修一P9例9、P12习题1.1T8.由题可得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1},故选D.4.C【基础命题点】分式不等式的解法【教材链接】人B必修一P75例3;苏教必修一P70习题3.3T15(3)(4);湘教必修一P54例4、P55练习T1(2).由x-4x-1≥2,得x-45.A【基础命题点】余弦定理的应用【教材链接】人A必修二P44练习T2、T3;人B必修四P9例2、P11练习AT3;湘教必修二P42例1、P43练习T1(2).通解cosA=(1+3)2光速解(根据边的大小关系排除)因为BC<AC,BC<AB,所以A为最小角,(题眼)所以A<60°,排除B,C,D,故选A.6.C【基础命题点】直线与抛物线的位置关系【教材链接】人A选必一P138练习T2;湘教选必一P148习题3.3T4.根据直线y=-2x+2得F(1,0),(题眼)所以C的准线方程为x=-1,C的方程为y2=4x,所以B(-1,4),所以A(4,4),所以|AF|=|AB|=5.7.B【综合命题点】等差数列的通项公式+等差数列的前n项和公式【教材链接】人A选必二P21例7、P23练习T3;湘教选必一P19例8、P21习题1.2T7(2).根据S3=3a2=6得a2=2,根据S5=5a3=-5得a3=-1,所以{an}的公差d=a3-a2=-3,所以a6=a3+3d=-10,所以S6=S5+a6=-5-10=-15.8.D【综合命题点】二倍角公式+两角差的正弦公式+同角三角函数的基本关系【教材链接】人A必修一P218例3;湘教必修二P81习题2.2T3.cosα=2cos2α2-1=2×15-1=-35,因为0<α<π,所以sinα=45,所以sin(α-π4)=22(sin9.AD【综合命题点】等比数列的通项公式+前n项和公式【教材链接】人A选必二P37练习T1(4);湘教选必一P35习题1.3T8(2).A(√)根据S3=a1+a2+a3=a3q2+a3q+a3=1q2+1q+1=7,得6q2-B(✕)a5=a3q2=1×(12)2=1C(✕)a1=a3q2=4,所以S5D(√)an=a1qn-1=4×(12)n-1=222n-1=23-n,Sn=a1(1-qn)1-q10.ABD【综合命题点】奇函数的性质+函数的极值【教材链接】人A必修一P86习题3.2T11,选必二P95例7;湘教必修一P86习题3.2T6,选必二P36练习T1(4).A(√)根据奇函数的定义有f(0)=0.B(√)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(x2-3)e-x+2,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)e-x-2.C(✕)当x>0时,f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x-1)(x+3)ex,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又f(3)=2,当x➝0+时,f(x)➝-1,所以由f(x)≥2得x≥3;当x<0时,f(-1)=2(e-1)>2,满足f(x)≥2,但-1∉[3,+∞).D(√)根据C解析知x=1是函数f(x)的极小值点,根据奇函数图象关于原点对称,知x=-1是函数f(x)的极大值点.高考风向多选题综合考查函数与导数将函数与导数融合在一道多选题中考查,既考查了分段函数、函数的奇偶性、函数的对应关系,又考查了函数的单调性与极值点.本题跨模块考查,更加综合,对学生的应变能力要求较高.11.ACD【综合命题点】双曲线+余弦定理【教材链接】湘教选必一P138习题3.2T8、P172复习题三T14.A(√)根据双曲线和圆的对称性,(题眼)知四边形A1MA2N为平行四边形,因为∠NA1M=5π6,所以∠A1MA2=πB(✕)解法一(余弦定理)如图,在△A1MO中,|MA1|2=|A1O|2+|OM|2-2|A1O||OM|cos∠MOA1=a2+c2-2accos∠MOA1=a2+c2+2ac×ac=3a2+c2,在△A2MO中,|MA2|2=a2+c2-2accos∠MOA2=a2+c2-2ac×ac【此思路是从“数”的角度分析,在两个三角形中,分别将需要求解关系的两条线段的长度用a,c表示出来,但是并不能直接得a,c的关系,需要找到这两条线段长度间的关系】在△A1MA2中,|A2A1|2=|MA1|2+|MA2|2-2|MA1||MA2|cosπ6,即4a2=2c2+2a2-23a2+c2×c2-a2×32,则13a2=c2,所以|MA1|2=16a2解法二(解析几何法)设M(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02+y02=c2,又y0=bax0,a2+b2=c2,联立可得x0=a,y0=b,所以M(a,【此思路找到直角三角形,减少了运算量,从“形”的角度分析了线段的比值关系】在Rt△A1A2M中,因为∠A1MA2=π6,所以|MAC(√)根据13a2=c2,得e=13.D(√)当a=2时,|MA1|=32,|MA2|=24,所以四边形NA1MA2的面积为|MA1||MA2|sinπ6=32解题关键圆锥曲线的对称性是解决问题、发现题目中数据关系的关键.12.2【基础命题点】平面向量的坐标运算+向量的垂直、模【教材链接】人A必修二P60复习参考题6复习巩固T8;湘教必修二P37例4、P40习题1.5T8.a-b=(1,1-2x),根据a⊥(a-b),得a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0,所以x=1,所以|a|=2.13.-4【基础命题点】函数的极值点【教材链接】人A选必二P104复习参考题5复习巩固T9;湘教选必二P36练习T2、P44习题1.3T11.f'(x)=(x-2)'[(x-1)(x-a)]+(x-2)[(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=0,(题眼)即(2-1)(2-a)=0,则a=2,经检验,满足题意,所以f(x)=(x-1)(x-2)2,所以f(0)=-4.14.2.5【创新命题点】圆柱形容器内放置两个同半径的球,需要将空间问题“平面化”,有一定的思维量,服务拔尖创新人才选拔【教材链接】湘教必修二P197习题4.5T5.【未确定两球处于什么位置关系时,所得到的半径最大,因此需要有一个验证和判断的过程,初步考虑两球球心在竖直方向上】设铁球半径为rcm,若两个铁球的球心在竖直方向上,且分别与两个底面相切,则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r,此时铁球的半径为94当两球球心不在竖直方向上时,设两个铁球的球心分别为O1,O2,此种情况下,当铁球半径最大时,如图1所示,圆柱与两铁球的轴截面如图2所示,(立体几何问题平面化思路,方便计算)其中ABCD为圆柱的轴截面,O2P⊥AB,O1P⊥AD,则有O2P=9-2r,O1P=8-2r,O1O2=2r,则有(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,即4r2-68r+145=0,即(2r-29)(2r-5)=0,解得r1=14.5(舍去),r2=2.5.因为2.5>94高考风向圆柱内置铁球本题不同于以往直接考查几何体的内切球,而是将两个铁球置于圆柱形容器内,需要借助轴截面考虑两个铁球与圆柱的位置关系,从而将立体几何问题平面化.本题需要学生能够想象并判断出两个铁球半径最大时的轴截面形状,重点考查学生空间想象能力以及逻辑思维能力.解题关键球与圆柱相切有多种情况,确定什么时候半径最大是解题关键.15.【创新命题点】创新试题设计,将三角函数图象与性质放在解答题中单独考查【教材链接】人A必修一P255复习参考题5综合运用T21;湘教必修一P206复习题五T9,必修二P81习题2.2T5、P82习题2.2T8.解:(1)因为f(0)=cosφ=12,且0≤φ<π,所以φ=π3(2)第1步:化简g(x)g(x)=f(x)+f(x-π6=cos(2x+π3)+cos2=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3=32cos2x-32sin2=3(32cos2x-12sin2=3cos(2x+π6).第2步:求g(x)的值域因为余弦函数y=cosθ的值域是[-1,1],令θ=2x+π6,那么函数y=3cosθ的值域就是[-3,3],所以g(x)的值域为[-3,3].第3步:求g(x)的单调区间易知余弦函数y=cosθ在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增,令2kπ-π≤2x+π6≤2kπ(k∈Z),得kπ-7π12≤x≤kπ-π12(k∈Z),所以g(x)的单调递增区间为[kπ-7π12,kπ-π易知余弦函数y=cosθ在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以g(x)的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+高考风向解答题考查三角函数而非解三角形本题作为解答题第一题,考查了三角恒等变换以及三角函数的图象性质,打破传统“解答题考查解三角形”的惯例,体现命题的灵活性与创新性.这种布局打破固定题型惯例,深化核心概念的考查方式,同时又坚持六大主线全覆盖,通过解答题与小题的搭配保证考查广度.这种设计既推动教学回归学科本质,又确保试卷结构的稳定性,符合高考改革的渐进式逻辑.16.【创新命题点】创新试题设计,以往作为压轴题的“圆锥曲线大题”在试卷中安排在第16题【教材链接】人A选必一P112练习T4(2);湘教选必一P126练习T2(1)、P128习题3.1T11.解:(1)第1步:根据长轴长求a的值由2a=4,得a=2.第2步:根据离心率及a,b,c之间的关系求b的值由题意得e=ca=22,则c=22a=2,又b2=a2-c2,所以第3步:得C的方程所以C的方程为x24+(2)第1步:联立直线与椭圆的方程,得到根与系数的关系由题意得l的斜率存在,设l:y=kx-2,代入x24+y22=1消去y并化简得(1+2k2)由Δ=16(2k2-1)>0,得k2>12设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+第2步:利用三角形的面积公式求k的值S△OAB=12×2×|x2-x1|=(x1+x2)第3步:利用弦长公式求|AB|所以|AB|=1+k2|x2-x=1+317.【综合命题点】线面平行的判定+二面角正弦值的求解解:(1)解法一第1步:利用线线平行得两组线面平行∵EB∥FC,EB⊄平面CD'F,FC⊂平面CD'F,∴EB∥平面CD'F,∵A'E∥D'F,A'E⊄平面CD'F,D'F⊂平面CD'F,∴A'E∥平面CD'F.第2步:利用两组线面平行得面面平行∵EB⊂平面BA'E,A'E⊂平面BA'E,EB∩A'E=E,∴平面BA'E∥平面CD'F.(题眼)第3步:利用面面平行得线面平行∵A'B⊂平面BA'E,∴A'B∥平面CD'F.解法二第1步:利用面面平行的判定定理得面面平行∵EB∥FC,A'E∥D'F,EB⊂平面BA'E,A'E⊂平面BA'E,FC⊂平面CD'F,D'F⊂平面CD'F,EB∩A'E=E,FC∩D'F=F,∴平面BA'E∥平面CD'F.(题眼)第2步:利用面面平行得线面平行∵A'B⊂平面BA'E,∴A'B∥平面CD'F.解法三第1步:补形,将梯形ABCD补形为平行四边形ABGD如图,延长DC至点G,使得DG=AB,连接GB,GD',∵AB∥CD,∴AB∥DG,又AB=DG,∴四边形ABGD是平行四边形,∴AD=BG,AD∥BG.第2步:利用翻折过程中与折痕平行的直线平行关系不变得到线线平行,进而证明A'B∥D'G翻折后,A'D'=BG,A'D'∥BG,∴四边形A'BGD'是平行四边形,∴A'B∥D'G.(题眼)第3步:利用线线平行得线面平行∵A'B⊄平面CD'F,D'G⊂平面CD'F,∴A'B∥平面CD'F.(2)第1步:找到面EFD'A'与面EFCB所成二面角的平面角∵∠DAB=90°,EF∥AD,∴∠FEB=90°,即AB⊥EF,翻折后,A'E⊥EF,EB⊥EF,∴面EFD'A'与面EFCB所成二面角的平面角为∠A'EB,(题眼)即∠A'EB=60°,同理∠D'FC=60°.第2步:找出3条两两垂直的线段,建立空间直角坐标系设AD=1,取CF的中点O,连接D'O,在△OD'F中,D'F=1,OF=12,∠D'FO=60°,由余弦定理得OD'=3∴D'F2=OF2+OD'2,∴OD'⊥OF.在线段EB上取一点M,使得EM=12,连接OM,则EM=OF,又EM∥OF,∴四边形EMOF∴EF∥OM,∵D'F⊥EF,CF⊥EF,D'F∩CF=F,∴EF⊥平面CD'F,即OM⊥平面CD'F,∴OM,OC,OD'两两垂直,(题眼)如图所示,以O为坐标原点,OM,OC,OD'的方向分别为x轴,y轴,z第3步:写出相关点及向量的坐标则B(1,32,0),C(0,12,0),D'(0,0,32),E(1,-12,0),F(0,-12,0),CB=(1,1,0),CD'=(0,-12,32),FE第4步:求平面BCD'的法向量设平面BCD'的法向量为m=(x1,y1,z1),则CB·m=0CD'·m=0,即x1第5步:求平面EFD'A'的法向量设平面EFD'A'的法向量为n=(x2,y2,z2),则FE·n=0FD'·n=0,即x2第6步:利用向量的夹角公式求平面与平面夹角的余弦值设平面BCD'与平面EFD'A'的夹角为θ,则cosθ=|m·第7步:利用同角三角函数的基本关系求二面角的正弦值∴sinθ=1-∴面BCD'与面EFD'A'所成二面角的正弦值为427.解后反思①如果已知空间几何体中两两垂直且第三条直线不太明显,就要利用题目中已有的线段长度、角度等去寻找垂直.②近年高考中的立体几何大题,一般遵循第(1)问利用传统法求解,第(2)问利用建系法求解,能用建系法突破角度、距离等问题,尽量用建系法,只要正确建立空间直角坐标系,写出相关点及向量的坐标,细心运算,一般都可以拿全分.③立体几何“翻折”问题在高考中屡见不鲜,考生在考场上完全可以借助草稿纸尝试翻折,这样更有助于考生直观感受几何体中的“隐蔽”信息.18.【开放命题点】第(2)(ii)问引入辅助函数探索极值点和零点之间的关系,逻辑性强,设问具有一定的开放性【教材链接】人A选必二P95例7.解:(1)【如何判定函数存在极值点?具体步骤:第一步,写清楚函数表达式;第二步,对函数求导,判定导函数的正负,确定原函数的单调区间;第三步,判定函数是否存在极值点】因为f(x)=ln(1+x)-x+12x2-kx3,k∈(0,1所以f'(x)=11+x-1+x-3kx2=1-1-当x>0时,令f'(x)=0,解得x=13所以当0<x<13k-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>13k-1时,f'(x)<0,所以x=13k-1是f(x【计算特殊点的函数值,结合零点存在定理证明零点的唯一性】因为f(13k-1)>f(0)=0,f(12k)=ln(1+12k)-所以∃x0∈(13k-1,12k),f所以x0是f(x)在(0,+∞)上唯一的零点.(2)(i)因为g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),所以g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1-t)=-3k(x1+t)21+x1+t(x1+t-x1)+-3【结合t∈(0,x1)判定导函数的正负,进而得函数的单调性】因为t∈(0,x1),所以t2-x12-2x1<0,(1+x1)2-t所以g'(t)=6kt即g(t)在区间(0,x1)单调递减.(ii)【如何比较2x1与x2的大小?作为本题第(2)问的第(ii)问,能不能利用第(1)问和第(i)问的结论呢?我们要明确2x1与函数f(x)的极值点有关,x2是函数f(x)的零点,函数g(t)与函数f(x)有关,故要想到利用函数g(t)与函数f(x)的单调性进行判断】由(i)得,g(t)在(0,x1)上单调递减,【利用第(i)问函数g(t)在(0,x1)上的单调性,判定g(x1)与g(0)的大小】所以g(x1)<g(0),【根据g(x1)=f(2x1)-f(0),g(0)=f(x1)-f(x1)=0,结合f(0)=0得出f(2x1)<0,再巧妙回扣函数f(x)的零点x2的定义将0转化为f(x2),最后利用函数f(x)的单调性判定2x1与x2的大小】即f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0,又f(0)=0,所以f(2x1)<0,因为x2是f(x)的零点,所以f(x2)=0,所以f(2x1)<f(x2),又x2>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1,+∞)上单调递减,所以2x1>x2.19.【创新命题点】设置了乒乓球练习的情境,引入了一组事件,并研究其概率之间的关系,这是对2024年数学高考新定义问题的延续,是在2025年进行的新探索解:(1)打完3个球后甲比乙至少多得2分,只有一种情况:甲全胜得3分.所以p3=p3.打完4个球后甲比乙至少多得2分,有两种情况:甲全胜得4分;甲胜3个球得3分,乙胜1个球得1分.所以p4=p4+C41·p3(1-p)=p3(4-3p)(2)由(1)可知p4-p3=p3(4-3p)-p3=3p3(1-p),【考虑每个球甲胜的概率p和每个球乙胜的概率q是对等的,所以可直接类比得出q4-q3】同理q4-q3=3q3(1-q)=3p(1-p)3.由p4-p3q4-q3=4,可得3p3(所以p=23.(3)由12<p<1,p+q=1,可知0<q<12<设随机变量X为“打完k个球后甲的得分”,则X~B(k,p),【打完2m个球后甲比乙至少多得2分,包括:甲得2m分,乙得0分;甲得2m-1分,乙得1分;……;甲得m+2分,乙得m-2分;甲得m+1分,乙得m-1分】p2m=p2m+C2m1·p2m-1q1+C2m2·p2m-2q2+…+C2mm【p2m的表达式比较复杂且不易化简,如果继续计算p2m+1,p2m+2,q2m等,会使问题更加复杂.注意到要证p2m+1-q2m+1<p2m-q2m,即证q2m-q2m+1<p2m-p2m+1,所以考虑寻求p2m+1与p2m的递推关系,同理也可得到q2m+1与q2m的递推关系,达到简化计算的目的】对于p2m+1,考虑前2m个球的情况.若打完2m个球后,甲、乙得分一样,或者甲比乙得分少,则第2m+1个球无论甲胜负,甲都不可能比乙至少多得2分.若打完2m个球后,甲比乙至少多得4分,则第2m+1个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分.若打完2m个球后,甲比乙恰好多得2分,则第2m+1个球甲必须胜才能满足甲比乙至少多得2分.所以p2m+1=(p2m-C2mm-1·pm+1qm-1)+p·C2mm-1·pm+1qm-1=p2m-q故p2m-p2m+1=q·C2mm-1·pm+1qm-1>0,同理q2m-q2m+1=p·C2mm-所以p2m-p2m+1q2m-q2m+1=q·C2mm-1·pm+1qm-1p·C【要证p2m-q2m<p2m+2-q2m+2,即证q2m+2-q2m<p2m+2-p2m,所以考虑寻求p2m+2与p2m的递推关系,同理也可得到q2m+2与q2m的递推关系】对于p2m+2,考虑前2m个球的情况.若打完2m个球后,甲比乙得分少,则剩下两个球(第2m+1和2m+2个球)无论甲胜负,甲都不可能比乙至少多得2分.若打完2m个球后,甲、乙得分一样,则剩下两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2分.若打完2m个球后,甲比乙恰好多得2分,则剩下两个球甲全胜,或者一胜一负都能满足甲比乙至少多得2分.若打完2m个球后,甲比乙至少多得4分,则剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分.所以p2m+2=p2·C2mm·pmqm+(1-q2)·C2mm-1·pm+1qm-1+(p2m-C=p2m+p2·C2mm·pmqm-q2·C2mm-=p2m+pmqm·(C2mm·p2-C故p2m+2-p2m=pmqm·(C2mm·p2-C2mm-1·pq),同理q2m+2-q2m=qmpm·(C2所以(p2m+2-p2m)-(q2m+2-q2m)=pmqm·C2mm·(p2-q2)>0,即p2m+2-p2m>q2m+2-q所以p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.综上,p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.2025年普通高等学校招生全国统一考试·全国二卷数学试卷分析2025年全国二卷数学试卷严格遵循《普通高中数学课程标准》和高考评价体系要求，坚持立德树人根本任务，注重考查学生的数学核心素养和关键能力，试题设计科学合理，难度梯度分明，具有较强的选拔性和导向性。一、试卷结构与题型分布试卷延续了以往的结构模式，分为选择题、填空题和解答题三大题型。选择题共12题，每题5分，满分60分；填空题共4题，每题5分，满分20分；解答题共6题，满分70分，其中必考题5题，选考题1题（2选1）。试卷整体知识覆盖全面，涵盖了高中数学的函数、几何、代数、概率统计等主要内容，各模块占比与往年基本保持一致，体现了高考的稳定性和连续性。二、考查内容与特点注重基础，强调通性通法试卷注重对基础知识和基本技能的考查，大部分试题源于教材和日常