2025年普通高等学校招生全国统一考试•全国一卷数学含答案详解及试卷分析

2025年普通高等学校招生全国统一考试·全国一卷数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(1+5i)i的虚部为A.-1 B.0 C.1 D.62.已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为A.0 B.3 C.5 D.83.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍,则C的离心率为A.2 B.2 C.7 D.224.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-π3)的图象的一个对称中心,则aA.π6 B.π3 C.π25.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-34A.-12 B.-14 C.146.帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为级数名称风速大小(单位:m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7图1图2A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是A.(0,1) B.(1,3)C.(3,+∞) D.(0,+∞)8.已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则A.AD⊥A1CB.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1D.CC1∥平面AA1D10.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-32的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点EA.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6D.|AE|·|BE|≥1811.已知△ABC的面积为14,cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=1A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=2C.sinA+sinB=6D.AC2+BC2=3三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=.13.若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于.14.有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:组别超声波检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值;(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附:χ2=n(P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.16.已知数列{an}中,a1=3,an(1)证明:数列{nan}是等差数列;(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)设PA=AB=2,BC=2,AD=1+3,且点P,B,C,D均在球O的球面上.(i)证明:点O在平面ABCD内;(ii)求直线AC与PO所成角的余弦值.18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22(1)求C的方程.(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.19.(1)求函数f(x)=5cosx-cos5x在区间[0,π4(2)给定θ∈(0,π)和a∈R,证明:存在y∈[a-θ,a+θ]使得cosy≤cosθ;(3)设b∈R,若存在φ∈R使得5cosx-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立,求b的最小值.

本卷答案仅供参考1.C【基础命题点】复数乘法+复数概念【教材链接】人A必修二P70练习T1,P80练习T1;人B必修四P51复习题A组T5(3);苏教必修二P147本章测试T1;湘教必修二P102例1.(1+5i)i=-5+i,其虚部为1.故选C.2.C【基础命题点】集合补集+集合中元素个数【教材链接】人A必修一P13例5;人B必修一P20练习AT4;北师必修一P10例7;苏教必修一P12练习2;湘教必修一P8例7.U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故∁UA={2,4,6,7,8},故∁UA中有5个元素.故选C.3.D【基础命题点】双曲线离心率+基本量计算【教材链接】人A选必一P124例3;人B选必一P155练习AT3;湘教选必一P135例5.依题意得b=7a,又c2=a2+b2,所以c2=a2+(7a)2=8a2,即c=22a,故e=22.故选D.4.B【基础命题点】正切函数图象的对称性【教材链接】人A必修一P214习题5.4T19;湘教必修一P187习题5.3T7.令x-π3=kπ2,k∈Z,得x=kπ2+π3,k∈Z,故y=2tan(x-π3)的图象的对称中心为(k5.A【基础命题点】分段函数+函数性质【教材链接】人A必修一P86习题3.2T11,P203练习T4,P214习题5.4T15、T18;人B必修一P140复习题B组T5;湘教必修一P86习题3.2T7.通解当x∈[-1,0]时,-x+2∈[2,3],所以当x∈[-1,0]时,f(x)=f(-x)=f(-x+2)=5-2(-x+2)=1+2x,所以f(-34)=1-32=-光速解f(-34)=f(34)=f(34+2)=5-2×(36.A【创新命题点】设置新情境——帆船比赛,引入视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概念,与地理知识紧密结合,考查向量的相关知识【教材链接】湘教必修二P25例5.真风风速对应的向量=视风风速对应的向量-船行风风速对应的向量=视风风速对应的向量+船速对应的向量=AB,如图,|AB|=22∈(1.6,3.3),故选A.7.B【综合命题点】直线与圆的位置关系+点线距易得圆心(0,-2)到直线y=3x+2的距离d=2.当r=d-1=1时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有一个,当r=d+1=3时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有三个,故当1<r<3时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有两个.故选B.8.B【创新命题点】在题目形式和语言叙述方面都进行了创新,需要学生进行探索和尝试【教材链接】湘教必修一P125习题4.3T11.解法一令2+log2x=3+log3y=5+log5z=0,得x=14,y=127,z=155,此时x>y>z;令2+log2x=3+log3y=5+log5z=5,得x=8,y=9,z=1,此时y>x>z;令2+log2x=3+log3y=5+log5z=8,得x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>解法二设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t,则x=2t-2=f(t),y=3t-3=g(t),z=5t-5=h(t),在同一平面直角坐标系中画出函数f(t),g(t),h(t)的图象,(提示:可先画出y=2t,y=3t,y=5t的图象,然后分别向右平移2,3,5个单位长度,即可得到函数f(t),g(t),h(t)的图象)由图可知x,y,z的关系不可能为x>z>y,故选B.9.BD【基础命题点】空间中线线、线面位置关系的判断【教材链接】人A必修二P148练习T4,P159练习T4,P162习题8.6T4;湘教必修二P182习题4.4T2,P203复习题四T3.A(✕)由三棱柱的性质可知,AA1⊥平面ABC,则AA1⊥AD,假设AD⊥A1C,又AA1∩A1C=A1,AA1,A1C⊂平面AA1C1C,所以AD⊥平面AA1C1C,矛盾,所以AD与A1C不垂直.B(√)因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,则AA1⊥BC,因为D为BC的中点,AC=AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA1=A,AD,AA1⊂平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,又BC∥B1C1,所以B1C1⊥平面AA1D.C(✕)AB∥A1B1,AD与AB相交,所以AD与A1B1异面.D(√)CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1D,AA1⊂平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D.故选BD.10.ACD【综合命题点】抛物线的定义+抛物线的几何性质【教材链接】湘教选必一P149习题3.3T11、T12.A(√)直线l为抛物线的准线,由抛物线的定义,可知|AD|=|AF|.通解B(✕)当AB⊥x轴时,A(32,3),B(32,-3),E(-32,0),|AB|=6,|AE|=32,此时|AEC(√)易知直线AB的斜率不为0,设直线AB:x=my+32,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+32y2=6x,得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,|D(√)当m=0,即AB⊥x轴时,由B知,|AE|=|BE|=32,|AE|·|BE|=18.当m≠0时,直线EF:x=-1my+32,E(-32,3m),|EF|=9+9m2,S△AEB=12|AE|·|BE|sin∠AEB=12|AB|·|EF|=12(6+6m2)·9+9m2=9(1+故选ACD.光速解(二级结论)B(✕)以焦点弦为直径的圆与准线相切,AB为直径,AE为弦,所以|AB|>|AE|.C(√)抛物线的焦点弦中通径最短,p=3,则|AB|≥2p=6.D(√)由选项B可知AE⊥BE,如图,设∠AFx=θ,由S△AEB=12|AE|·|BE|=12|AB|·|EF|,可得|AE|·|BE|=|AB|·|EF|=2psin2故选ACD.11.ABC【综合命题点】三角恒等变换+解三角形A(√)【如何判断A选项呢?发现所给式子中有2A,2B,考虑利用余弦的二倍角公式化简变形即可判断】cos2A+cos2B+2sinC=1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2,所以sin2A+sin2B=sinC.B(√)【根据正弦定理得出a2+b2≥c2,利用分类讨论的方法判断出a2+b2=c2,得出C=π2,再结合题目中的第三个条件cosAcosB·sinC=14,进而求解】令a=BC,b=AC,c=AB,则asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC的外接圆半径),由sin2A+sin2B=sinC,得a2+b2=c·2R≥c2.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形,则A+B>π2,即A>π2-B,则sinA>sin(π2-B)=cosB,所以sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,矛盾.故a2+b2=c2,即C=A+B=π2,所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=0,又cosAcosBsinC=cosAcosB=14,所以sinAsinB=14.因为S△ABC=12absinC=12ab=14,所以ab=1C(√)【一般情况下,多选题各个选项之间有关联,所以利用选项A及选项B中sinAsinB=14可以作出判断】(sinA+sinB)2=sin2A+sin2B+2sinAsinB=sinC+2sinAsinB=1+2×14=32,所以sinAD(✕)【在直角三角形中,利用勾股定理可快速作出判断】AC2+BC2=AB2=c2=2.故选ABC.12.4【基础命题点】导数的几何意义(设切点求切线法)【教材链接】人A选必二P82习题5.2T11.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点坐标为(x0,ex0+x0+a),由y=ex+x+a得y'=ex+1,所以y'

x=x0=ex0+1=2,解得x0=0,所以切点坐标为(0,1+a),又切点(0,1+a13.2【基础命题点】等比数列前n项和公式+等比数列前n项和的性质【教材链接】人A选必二P36例8;湘教选必一P34练习T2,P35习题1.3T8(3).解法一(基本量法)设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sn,因为等比数列{an}的各项均为正数,所以q>0,又S4=4,S8=68,所以q≠1.由S4=4得a1(1-q4)1-q=4①,由S8=68得a1(1-q8)1-解法二(等比数列前n项和性质法)设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sn,因为等比数列{an}的各项均为正数,所以q>0,因为S4=4,S8=68,所以S8-S4=64,因为S4,S8-S4,S12-S8,…成等比数列,且公比为q4,所以q4=S8-S4S14.6125【教材链接】北师选必一P202习题6-2A组T6;湘教选必二P134练习T1(2)、T4.X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)=C51(15)3=5125=125,P(X=2)=C52(15)3×6=60125=1225,X123P11212所以E(X)=1×125+2×1225+3×命题人思维破译本题是在同学们都很熟悉的情境中再创新的题目.同学们比较熟悉的情境是若有放回地取球,以取到的球的最小号码或最大号码为随机变量X;若有放回地取球,一般与二项分布联系起来,例如以取到1号球的次数为随机变量X,等等.因此,本题情境是同学们熟悉的,但随机变量X的定义为这5个球中至少被取出1次的球的个数,既出乎意料又在情理之中,体现了反套路,反刷题.此题本身不是很难,只要把取球的过程想清楚,很好解决,旨在让学生学会思考问题,不是靠记忆来解题.15.【创新命题点】创设新情境——某疾病与超声波检查结果的关系,考查古典概型与独立性检验(运算求解能力)【教材链接】人A选必三P132例4,P134练习T3,P140复习参考题8T8;北师选必一P257习题7-3T2;湘教选必二P191案例.解:(1)由题表可知,检查结果不正常者有200人,检查结果不正常者中患有该疾病的有180人,所以由样本估计总体得p=180200=0.9.(2)零假设H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关.χ2=1000所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.高考风向增强同一主题必修模块与选必修模块间的联系本题围绕疾病与超声波检查结果的关系,第(1)问根据必修概率中的频率估计概率,让必修概率知识落地;第(2)问考查选必修中的独立性检验,通过同一主题,串联必修与选必修统计概率内容,强化知识联系.16.【创新命题点】数列问题中融入函数、导数,创新问题情境(逻辑思维能力、运算求解能力)【教材链接】人A选必二P40习题4.3T3;湘教选必一P51复习题一T3,选必二P51复习题一T15.解:(1)an+1n=ann+1+1n(n又1×a1=3,所以{nan}是首项为3,公差为1的等差数列.(2)(错位相减法)由(1)可知数列{nan}的通项公式为nan=3+(n-1)×1=n+2,又f'(x)=a1+2a2x+…+mamxm-1,故f'(-2)=3+4×(-2)+…+(m+2)×(-2)m-1,所以-2f'(-2)=3×(-2)+4×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m.两式相减,得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m=73-(m+73)×(-2)m所以f'(-2)=79-(m3+7高考风向将导数融入数列作为第16题,不是压轴,但却将数列与导数综合在一起进行考查,乍一看,(1)(2)问之间关联并不明显,但如果顺着要求的f'(-2),将f(x)求导,则能看出两问之间的关系.在对二项展开式的考查中,有一类题与之类似:已知(x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,求a1+2a2+3a3+…+nan.这类题与第16题有异曲同工之妙,均是利用导数实现an的系数的逐级递增.本题的两问层层递进,不仅强调了数列的函数性质,又巧妙考查了错位相减法的应用,还可以利用二项展开式的性质进行求解,不仅跨章节,更跨模块,也是首次将数列、导数、二项展开式综合在一起考查.试题设计新颖,考查角度独特,要求学生不仅掌握基础知识,更要学会融会贯通,举一反三.17.【创新命题点】一改以往求线面角、面面角的设问,与球的切接问题结合求异面直线所成的角,让人耳目一新【教材链接】人A必修二P164习题8.6T21,选必一P39例10、P49复习参考题1T12;湘教必修二P204复习题四T7,选必二P111复习题二T12.解:(1)因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又AD⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.(2)(i)以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1+3,0),P(0,0,2),设O(a,b,c),因为点P,B,C,D均在球O的球面上,所以|OB|=|OC|=|OD|=|OP|,则(a-2)2+b2+c2=(a-2)2+(b-2)2+c2=a2+(b-1-3)2+c2=a2+b2+(c-2)2,得a=0,b=1,c=0,即O(0,1,0),所以点O在AD上,即点O在平面ABCD内.(ii)AC=(2,2,0),PO=(0,1,-2),则cos<AC,PO>=AC·PO所以直线AC与PO所成角的余弦值为23.高考风向解答题中考查球本题第(2)问创新考查形式,以往高考题中球的考查往往放在小题中,本次在解答题中考查,同时呼应了2025年1月份的八省联考最后一题.采用坐标法设出球心坐标,联立方程可求出球心位置,确定球心O的坐标后向量PO的坐标就能确定,进而可求出直线AC与PO所成角的余弦值.总的来说,本题对立体几何主干知识中线面位置关系及夹角进行了重点考查,难度适中.18.【综合命题点】椭圆方程+动点的轨迹问题+两动点间距离的最值问题(逻辑思维能力、运算求解能力、化归与转化思想)【教材链接】人A选必一P112练习T4;湘教选必一P126练习T2,P156习题3.4T10.解:(1)由题意知ca=2设a2=9t,t>0,则c2=8t,所以b2=t.又|AB|2=a2+b2=10t=10,所以t=1,所以C的方程为x29+y2=1(2)(i)设R(x,y),由(1)知A(0,-1),又P(m,n),【关键一步:线段长度的乘积如何运用?常规思路是用两点间的距离公式,但计算量很大,再看看题目给的点R在射线AP上这个条件,想到使用向量的数量积计算,将模长计算与坐标运算相结合,就更方便了】所以AP·AR=(m,n+1)·(x,y+1)=mx+(n+1)(y+1)=|AP|·|AR|·cos0=3.①【共线条件如何转化?共线这个条件正常就用斜率(斜率存在)转化较为简单,如果用向量,写起来就相对麻烦了】由kAP=kAR,得n+1m【如何消元?这也是本题的一个难点,这里很关键的一点是将y+1作为整体代入消元,这样计算量就小很多】由①②得x=3mm2+(n故R(3mm2+((ii)由(i)得kOR=n+2-m2-n23m=3kOP=3【轨迹方程的几何意义?借助点P的轨迹为圆,很快就能想到要转换,否则两个动点间距离的最值问题很难求解】即m2+(n+4)2=18.【圆上的点为何转换为圆心?这应该是高中数学中一个较为常见的问题,看到椭圆上的点应该能很快想到三角换元(或椭圆的参数方程,其本质上是同角三角函数的平方关系,这在高考中经常使用),求最值时变量越少,思维就越简单,计算才会越方便】由题设Q(3cosθ,sinθ),K(0,-4),则|KQ|2=(3cosθ)2+(sinθ+4)2=-8sin2θ+8sinθ+25,【代数换元转化为二次函数?这里不进行代数换元也可以,但换了之后书写更方便,同时借助二次函数求最值也更加方便】设s=sinθ,则|KQ|2=-8s2+8s+25=-8(s-12)2+27(-1≤s≤1),故当s=sinθ=12时,|KQ|取得最大值,且|KQ|max=33,故|PQ|的最大值为|KQ|max+32=3(3+2)命题人思维破译第(2)(i)问中将线段长度的乘积问题转化为向量问题能有效简化运算,对学生的思维要求很高;第(2)(ii)问如果没有将两个动点的距离的最值问题转化为定点到动点的距离的最值问题,而是直接计算两个动点的距离的最大值,则难度较大.19.【创新命题点】突破以往以幂指对函数为情境设置函数导数试题的模式,以三角函数设置情境,新颖独特【教材链接】人A选必二P93例6;湘教必修一P207复习题五T10,选必二P51复习题一T17.解:(1)解法一第1步:求f'(x)因为f(x)=5cosx-cos5x,所以f'(x)=-5sinx+5sin5x.第2步:令f'(x)=0,求出导函数的零点,讨论函数f(x)的单调性令f'(x)=0,得sinx=sin5x,又x∈[0,π4],所以x=5x或x=π-5x所以x=0或x=π6,所以x,f'(x),f(x)的关系如表所示:x0(0,π6π(π6,πf'(x)0大于00小于0f(x)单调递增极大值单调递减第3步:求f(x)在区间[0,π4因为f(π6)=5cosπ6-cos5π6所以函数f(x)=5cosx-cos5x在区间[0,π4]的最大值为33.解法二第1步:求f'(x)因为f(x)=5cosx-cos5x,所以f'(x)=-5sinx+5sin5x.第2步:对f'(x)提取公因式,进行分析f'(x)=5(sinxcos4x+sin4xcosx-sinx)=5sinx(cos4x+4cos2x·cos2x-1)=5sinx·4cos2x(1-4sin2x),易得当x∈[0,π4]时,5sinx·4cos2x≥0,令f'(x)>0,得x∈(0,π6),令f'(x)<0,得x∈(π6,第3步:写出x,f'(x),f(x)的关系所以x,f'(x),f(x)的关系如表所示:x0(0,π6π(π6,πf'(x)0大于00小于0f(x)单调递增极大值单调递减第4步:求f(x)在区间[0,π4因为f(π6)=5cosπ6-cos5π6所以函数f(x)=5cosx-cos5x在区间[0,π4]的最大值为33.解法三第1步:求导并化简由题得f'(x)=-5sinx+5sin5x=5×2cos5x+x2sin5x-第2步:写出x,f'(x),f(x)的关系由x∈[0,π4],得sin2x≥0,故x,f'(x),f(xx0(0,π6π(π6,πf'(x)0大于00小于0f(x)单调递增极大值单调递减第3步:求f(x)在区间[0,π4因为f(π6)=5cosπ6-cos5π6所以函数f(x)=5cosx-cos5x在区间[0,π4]的最大值为33.(2)解法一第1步:根据周期性写出a的范围因为余弦函数的周期为2π,所以不妨设a∈(0,2π],第2步:分a≤2θ和a>2θ两种情况讨论当a≤2θ时,a-θ≤θ,则θ∈[a-θ,a+θ),此时存在y=θ,使得cosy=cosθ;当a>2θ时,θ<a-θ≤2π-θ,作出余弦函数的大致图象(如图所示),所以cos(a-θ)≤cosθ,只需要取y=a-θ,即可得到cosy≤cosθ.第3步:得出结论综上可得,给定θ∈(0,π)和a∈R,存在y∈[a-θ,a+θ]使得cosy≤cosθ.解法二(反证法)第1步:假设结论不正确假设cosy>cosθ对任意y∈[a-θ,a+θ]恒成立,第2步:根据余弦函数的图象与性质得出y的取值范围由cosy>cosθ得2kπ-θ<y<2kπ+θ,k∈Z,这与a∈R,任意y∈[a-θ,a+θ]矛盾,所以假设不正确,故一定存在y∈[a-θ,a+θ]使得cosy≤cosθ.解法三(综合法)第1步:当θ∈(0,π2当θ∈(0,π2]时,cos(a+θ)+cos(a-θ)=2cosacosθ≤2cosθ所以cos(a+θ)与cos(a-θ)中至少有一个小于等于cosθ.第2步:反证法证明以上结论否则cos(a+θ)>cosθ,cos(a-θ)>cosθ,这与cos(a+θ)+cos(a-θ)=2cosacosθ≤2cosθ矛盾.第3步:当θ∈(0,π2所以一定存在y=a-θ或y=a+θ,使得cosy≤cosθ.第4步:当θ∈(π2当θ∈(π2,π)时,π+a-θ∈[a-θ,a+θ],π-θ∈(0,π2),由以上分析知,此时,一定存在y=π+a-θ,使得cosy≤cos第5步:总结综上,对于给定θ∈(0,π)和a∈R,存在y∈[a-θ,a+θ]使得cosy≤cosθ.(3)第1步:特殊值φ=0探路令h(x)=5cosx-cos(5x+φ),当φ=0时,因为h(x)=h(-x),h(x)=h(x+2π),所以h(x)为偶函数,且2π为h(x)的周期,所以讨论h(x)在[0,2π)上的情况,由(1)可知h(x)在(0,π6)上单调递增,在(π6,5π6)上单调递减,在(5π6,π)上单调递增,结合对称性,及h(π)=-4,可知x∈[0,2π)时h(x)≤33,所以此时b第2步:根据φ的任意性,将问题进行转化要证33为b的最小值,对于任意的φ,只需要证明h(x)的最大值不小于33,只需要证明存在x0,使得h(x0)≥33.第3步:利用(2)的结论进行求解当|x0|≤π6时,令y0=5x0+φ,则y0∈[-5π6+φ,5π6由(2)可知,取θ=5π6,a=φ,可得存在y0∈[-5π6+φ,5π6+φ]使得cosy0≤cos5π所以h(x0)=5cosx0-cos(5x0+φ)=5cosx0-cosy0≥5×32-(-32)=3综上可得,bmin=33.2025年普通高等学校招生全国统一考试•全国一卷数学试卷分析一、试卷整体评价2025年全国一卷数学试卷严格遵循《普通高中数学课程标准》和高考评价体系要求，以“立德树人、服务选才、引导教学”为核心目标，在保持稳定性的基础上适度创新。试卷结构合理，难度梯度分明，既注重基础知识和基本技能的考查，又突出对数学思想方法、关键能力及数学核心素养的综合检测，全面覆盖高中数学主干内容，充分体现了“基础性、综合性、应用性、创新性”的命题原则，对高中数学教学具有积极的导向作用。二、试卷结构与题型分布（一）结构保持稳定试卷沿用以往“选择题+填空题+解答题”的三大题型结构，共22题，满分150分。其中：选择题12题，每题5分，共60分；填空题4题，每题5分，共20分；解答题6题，共70分（第17-21题每题12分，第22题10分）。（二）内容分布均衡试卷对高中数学知识模块的考查比例与往年基本一致，重点突出函数与导数、几何与代数、概率与统计三大主干内容，同时兼顾其他知识模块：函数与导数：约占22%（33分），涉及函数性质、导数应用、不等式证明等；几何与代数：约占35%（52分），涵盖立体几何（空间几何体体积表面积、线面位置关系证明、空间向量计算）、解析几何（直线与圆、椭圆、抛物线的方程与性质、综合应用）；概率与统计：约占15%（22分），包括随机变量分布列、期望方差、统计图表分析、回归方程等；三角函数与解三角形：约占10%（15分），考查三角恒等变换、三角函数图像性质、正弦余弦定理应用；数列：约占8%（12分），涉及等差等比数列基本量计算、递推关系求通项、数列求和；其他内容：约占10%（15分），包括集合、复数、程序框图、二项式定理、排列组合等基础知识点。三、试题特点分析（一）注重基础，强调通性通法试卷开篇选择题（1-8题）、填空题（13-14题）及解答题前3题（17-19题）均为基础题，直接考查教材核心概念和基本方法，难度较低，旨在引导学生回归教材、夯实基础。例如：第1题考查集合交集运算，直接运用集合定义即可求解；第3题复数四则运算，突出对数学运算核心素养的初步检测；第17题数列题，以等差数列为背景，考查通项公式与前n项和公式的基本应用，解法常规，步骤简洁；第18题立体几何题，通过直棱柱模型考查线面平行的证明及点到平面距离的计算，学生可采用几何法或空间向量法，体现通性通法的重要性。（二）能力立意，突出核心素养试卷通过设计多层次、多维度的问题，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养：逻辑推理与数学运算：第2