课堂教学设计2-3 极限及其应用

课堂教学设计教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元2极限及其应用（2-3）知识目标（1）理解函数连续性(含左连续与右连续)的概念；（2）了解连续函数的性质和初等函数的连续性；（3）理解闭区间上连续函数的有界性、最值定理、零点定理与介值定理技能目标会判断函数间断点的类型；应用函数的连续性求函数的极限态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用极限知识解决实际问题教学重点（1）函数连续性的概念，间断点；（2）连续函数的性质和初等函数的连续性教学难点左连续与右连续、间断点的类型教学资源参考书作业【同步训练2-5】、【应用拓展】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入复习相关知识讲授法5’知识疏理2.3函数的连续性启发式教学法70’实例精讲【实例2-6】判断函数的连续性与间断点；【实例2-7】判断方程在指定区间内是否存在根启发式教学法释疑解难【问题2-1】如果f(x0)=A，则一定成立吗？【问题2-2】无限个无穷小的“和”一定是无穷小吗？【问题2-3】如何求有理分式函数的极限？【问题2-4】极限也等于1吗？问题教学法应用求解【日常应用】【应用2-1】应用求极限的方法求圆面积【应用2-2】探析影子长度的变化【经济应用】【应用2-3】求解产品利润中的极限问题【电类应用】【应用2-4】求RC串联电路中电压的极限值【机类应用】【应用2-5】求渐开线齿廓的极限启发式教学法同步训练【同步训练2-5】、【应用拓展】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿单元2极限及其应用（2-3）2.3函数的连续性2.3.1函数连续性的判定1．函数的增量设变量从它的初值变到终值，则终值与初值的差叫做自变量的增量，记为，即=－．我们称为自变量在点的增量，记为，即或；．假定函数在点的某一邻域内有定义，当自变量从变到时，函数相应地从变到，此时称与的差为函数的增量，记为，即=．即或，．这个关系式的几何解析如图2-10所示．【注意】：Δ表示增时的一个记号，增量可以是正值，也可以是负值，还可以是零．2．函数在一点处的连续性【定义2.12】：函数在一点处的连续性设函数在点的邻域U(,）内有定义，如果当自变量x在点的增量趋近于零时，对应的函数的增量也趋近于零，那么就称函数在点连续，用极限来表示，就是（2-1）或．函数在点连续又可叙述如下：【定义2.13】：函数在点连续设函数在点的某一邻域U(,）内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即（2-2）那么称函数y=在点连续．判断函数在点连续的条件也可以描述为：函数在点的左、右极限存在且相等，并等于其函数值．【说明】：在点连续，不仅要求在点有意义，即存在，而且要，即极限值等于函数值．【定理2.8】：在点连续在点既左连续，又右连续．例如，多项式函数在上是连续的；所以，有理函数在分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的．例如，在上是连续的．【示例2.15】：证明在点连续．证：，又，所以由定理2.8在点连续；即，所以在点连续．【示例2.16】：讨论函数y=,在的连续性．解：y=(x-2)=0-2=-2，y=(x+2)=0+2=2，因为，所以该函数在点不连续，又因为，所以为右连续函数．3．函数的间断点若在点不连续，就称为的间断点，或不连续点．间断点有下列三种情形之一：①在在没有定义；②虽在有定义，但不存在；③虽在有定义，且存在，但；那么称函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点．【注意】：函数在点连续必需满足三个条件．①在点处有定义；②在点处的极限存在；③在点处的极限值等于这点的函数值．而当上述三个条件有任意一条不满足时即为函数在这点间断．【示例2.17】：求函数的间断点．解：由于函数在没有定义，故是函数的一个间断点，如图2-11所示．例如，设，当，即极限不存在，所以为函数的间断点．因为，所以为无穷间断点．例如，在点无定义，且当时，函数值在与之间无限次地振荡，而不超于某一定数，这种间断点称为振荡间断点．例如，在点无定义，所以为其间断点，又，所以若补充定义，那么函数在点就连续了．故这种间断点称为可去间断点．例如，示例2.16的函数在点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于的，这种间断点称为跳跃间断点．例如在处即为跳跃间断点．几种常见的间断点类型归纳如下：①，为无穷间断点．②震荡不存在，为震荡间断点．③，为可去间断点．④，为跳跃间断点．如果在间断点处的左右极限都存在，就称为的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点．4．函数在区间上的连续性若，就称在点左连续；若，就称在点右连续．在区间内每一点都连续的函数叫做该区间内的连续函数．如果在上有定义，在内连续，且在右端点左连续，在左端点右连续，即=，=，那么就称函数在上连续．【示例2.18】：讨论函数，在点的连续性．解：函数的定义域是，因为，，左、右极限存在但不相等，所以不存在，即函数在点不连续．2.3.2初等函数的连续性及性质1．连续函数的运算【定理2.9】：连续函数的四则运算法则若均在连续，则及（）都在连续．即有限个连续函数的和、积、商（假定除式不为零）仍是连续函数．【定理2.10】：反函数的连续性函数与它的反函数在对应区间内有相同单调性．即如果在区间上单值、单调递增（递减）、且连续，那么其反函数也在对应的区间上单值、单调递增（递减）、且连续．例如，因为函数在区间内单值、单调递增且连续，所以其反函数在区间内单值、单调递增且连续．【定理2.11】：复合函数的极限设当时的极限存在且等于，即，又设在处连续，那么，当时，复合函数的极限存在，且等于，即．【定理2.12】：两个连续函数复合而成的复合函数仍是连续函数．设函数在点连续，且，函数在点连续，那么，复合函数在点处连续．例如，因为在处连续，在处连续，所以在处连续．【示例2.19】：求解：因为，及在点连续，故由定理2.11，原式．2．初等函数的连续性基本初等函数在各自定义域内连续，再由连续函数的运算，我们得到下面的定理：【定理2.13】：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．连续函数的图形一条连续不间断的曲线．上述初等函数连续性的结论提供了求初等函数极限的一个方法：如果是初等函数，且是其定义区间内的点，则在点连续，因此有．例如，是初等函数的一个定义区间（0，）内的点，所以．利用函数的连续来求极限．例如，．例如，．例如，．3．闭区间上连续函数的性质（1）最大值和最小值性质【定义2.14】：最大值和最小值性质设函数在区间上有定义，如果存在，使得对于任何的，①都有，则称是函数在区间上的最大值同，称为函数的最大值点．②都有，则称是函数在区间上的最小值，称为函数的最小值点．函数的最大值与最小值统称为最值．【定理2.14】：在闭区间上连续的函数一定有最大值与最小值．若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值．例如，在开区间上连续，但是它在该区间内既无最大值，也无最小值．【推论2.8】：有界性定理函数在闭区间上连续，则在该闭区间上必有界．（2）介值性质【定理2.15】：介值定理如果函数在闭区间上连续，且，则对介于与之间的任何数，在开区间内至少存在一点，使得成立）．如图2-14．如果函数在上有间断点，则介值定理的结论不成立．例如，函数y=f(x)=在闭区间上有定义，点是的间断点．【推论2.9】：在闭区间上连续的函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任何值．【定理2.16】：零点定理若函数在闭区间上连续，且与异号，则在开区间内至少有一点使得零点定理的几何意义是：如果连续的曲线弧f(x)的两个端点位于x轴的上、下两侧，那么这段曲线与x轴至少有一个交点（,0），即有．如图2-15所示．【说明】：零点定理又叫根的存在定理，在实际问题中经常用来确定方程的根的范围．【示例2.20】：证明：方程在区间内至少有一个根．证：因为函数是初等函数，所以在闭区间上连续，且，，由零点定理知，至少存在一点使得．即是方程的一个根．【释疑解难】【问题2-1】如果f(x0)=A，则一定成立吗？【问题2-2】无限个无穷小的“和”一定是无穷小吗？【问题2-3】如何求有理分式函数的极限？【问题2-4】极限也等于1吗？【应用求解】【日常应用】【应用2-1】应用求极限的方法求圆面积【问题描述】由【引例2-2】的分析可知，使用圆的内接正n边形的面积近似计算圆面积时，内接正n边形的边数愈大则正多边形的面积愈接近于圆的面积．即当n无限增大时，内接正3×边形的面积An会无限地趋近圆面积的实际大小A．由于半径为R的圆内接正n边形的面积为：S(n)=，周长l为：l(n)=2nRsin()．试应用极限的方法求圆面积和圆周长．【问题求解】当n→+∞时，，，所以sin()～，sin()～==即圆面积的计算公式为．2nRsin()=2nR=即圆周长的计算公式为．【应用2-2】探析影子长度的变化【问题描述】若一个人沿直线走向路灯正下方的那一点，如图2-19所示，探析其影子长度如何变化？【问题求解】设路灯的高度为u，人的高度为h，人离是路灯正下方那一点的距离为x，人的影子长度为y．由相似三角形对应边成正比例得：于是y=x，其中为常数，当人越靠近目标，其影子长度越短．当人越来越接近目标（x→0）时，显然人影长度越来越短，即y逐渐趋于0，即=0．【经济应用】【应用2-3】求解产品利润中的极限问题【问题描述】已知东风轮胎公司生产x个汽车轮胎的成本函数为C(x)=300+（元），生产x个汽车轮胎的平均成本为，当产量很大时，每个轮胎的成本大致接近多少元？【问题求解】当产量很大时，每个轮胎的成本大致为极限值．===+=0+=100．【电类应用】【应用2-4】求RC串联电路中电压的极限值【问题描述】如图2-20所示的RC串联电路中，已知在t=0瞬间将开关S合上，电路接通直流电源，其电压为，电压开始对电容元件充电，电容C上的电压逐渐升高，若=20V，电容C=0.5F，电阻R=4.8Ω，(0)=0，则电压随时间t变化的规律为：=20(1-)，试求充电后的极限值．【问题求解】应用求极限的方法求解RC串联电路中电压的极限值：=20(1-)=20(1-)=20．【机类应用】【应用2-5】求渐开线齿廓的极限【问题描述】以同一基圆上产生的两条相反的渐开线为齿轮的齿廓，即为渐开线齿轮，如图2-21所示．当直线AB沿半径的圆作纯滚动时，直线上任一点K的轨迹DKE，称为该圆的渐开线．该圆称为基圆，该直线称为发生线，如图2-22所示．由渐开线的形成可知，渐开线有以下性