专项突破05代数式的概念与整式的加减（知识技巧点拨16种高频考察题型共48题）原卷版

专项突破05代数式的概念与整式的加减（知识技巧点拨+16种高频考察题型共48题）TOC\o"12"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：代数式 2知识点梳理02：列代数式 2知识点梳理03：代数式求值 3知识点梳理04：整式 3知识点梳理05：单项式 3知识点梳理06：多项式 3知识点梳理07：同类项 4知识点梳理08：合并同类项 4知识点梳理09：去括号法则 4知识点梳理10：添括号法则 5知识点梳理11：整式的加减运算法则 5优选题型考点讲练 5题型1代数式书写方法 5题型2已知字母的值，求代数式的值 6题型3已知式子的值，求代数式的值 7题型4程序流程图与代数式求值 7题型5用代数式表示数、图形的规律 8题型6已知同类项求指数中字母或代数式的值 9题型7合并同类项 10题型8整式的加减运算 11题型9整式的减中的化简求值 12题型10整式动减中的无关型问题 13题型11整式加减的应用 15题型12单项式规律题 17题型13将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 18题型14数字类规律探索 19题型15图形类规律探索 20题型16带有字母的绝对值化简问题 22知识点梳理01：代数式代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．知识点梳理02：列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．知识点梳理03：代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．知识点梳理04：整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．知识点梳理05：单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．知识点梳理06：多项式（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．知识点梳理07：同类项用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.【名师点拨】1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．知识点梳理08：合并同类项1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．【名师点拨】合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．(2)合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.知识点梳理09：去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．【名师点拨】(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“”号时，可以看作1与括号内的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．知识点梳理10：添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“”号，括到括号里的各项都要改变符号．【名师点拨】(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：知识点梳理11：整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．【名师点拨】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．题型1代数式书写方法1．（2425七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（）（1）113x2y；（2）ab÷cA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2223七年级上·浙江宁波·期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（

）A．3b÷2 B．334b C．−a3．（2425七年级上·吉林·期中）下列书写∶①−1a；②223a2b；③5a2b3题型2已知字母的值，求代数式的值4．（2526七年级上·河北邯郸·阶段练习）根据所给的条件，求出各式的值：(1)若2a−3+b−22(2)已知a=3，b=2，且5．（2526七年级上·全国·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．(1)直接写出a+b,cd,m的值；(2)求m+cd+a+b6．（2526七年级上·安徽亳州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，通过数轴可以把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是建立“数形结合思想”的基础．如图，以1cm为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上从左到右依次有A，B，C三点，且数轴上点A、点B和点C(1)若数轴上点A和点C这两点所表示的数互为相反数，则数轴上原点对着直尺上的刻度是，点B在数轴上所表示的数是________．(2)若点B在数轴上所表示的数是−1．5，分别求出点A、点(3)若数轴上A，B，C三点在数轴上所表示的数分别为a，b，c，当点C到原点的距离为2026时，求a−b+c的值．题型3已知式子的值，求代数式的值7．（2526七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点与表示数−2的点距离为4．(1)若a−3+c+32=0(2)求5cd−m8．（2526七年级上·四川南充·阶段练习）定义abcd为二阶行列式，规定它的运算abcd法则为ad−bc，那么当9．（2526七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如果有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为12，求m题型4程序流程图与代数式求值10．（2526七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个“数值转换机”的示意图．若x=−5，y=−3，则输出结果为．11．（2526七年级上·山东青岛·阶段练习）如图是一个“数值转换机”，若开始输入x的值为26，第1次输出的结果为27，则第2025次输出的结果是．12．（2023七年级上·河南漯河·竞赛）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，依次继续下去…，第101次输出的结果是（

）A．8 B．4 C．2 D．1题型5用代数式表示数、图形的规律13．（2025七年级上·江苏·专题练习）如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形：（1）拼1条金鱼需要根火柴；（2）拼3条金鱼需要根火柴；（3）拼n条金鱼需要根火柴．14．（2526七年级上·江西上饶·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④后面的横线上写出相应的等式：①1=12；②1+3=22；③(2)请猜想1+3+5+7+9+…+19=；(3)请用上述规律计算：1+3+5+…+99．15．（2526七年级上·北京·阶段练习）观察下列各数，找出规律后填空：(1)−1，2，−4，8，−16，32，……，第10个数是_____．(2)1，−3，5，−7，…，第15个数是_____．(3)1，−4，7，−10，13，…，第100个数是_____．题型6已知同类项求指数中字母或代数式的值16．（2425七年级上·广东揭阳·期末）若关于x，y的单项式3x4ym+2与−217．（2425七年级上·福建厦门·期中）若单项式a2bn与−18．（2223七年级上·江苏苏州·期末）已知xa+by20与x10yb为同类项，数轴上两点A，(1)a=______，b=______，线段AB=______；(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（t<10），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF题型7合并同类项19．（2526七年级上·山东青岛·阶段练习）小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2−5x−6，试求A−B的值”时．小红误将A−B看成A+B(1)试求A−B的正确结果；(2)当x=−4时，求A−B的值．20．（2526七年级上·福建福州·阶段练习）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．(1)直接写出A，B，C三点所表示的数A______，B______，C______；(2)动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动；①求18秒后动点P与点B之间的距离；②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．这三个点在运动过程中，是否存在3MP−QM为定值，若存在，请求出该值，若不存在，请说明理由．21．（2526七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a,b,c在数轴上的位置如图：(1)①用“<”或“>”填空：a−c0，b−a0；②填空：a−c=，|b−a|=(2)化简：b+2−(3)若a+b+c=0，且b与−2的距离和c与−2的距离相等，则a+b−c−(−3c−b)=．题型8整式的加减运算22．（2526七年级上·山东青岛·阶段练习）计算或化简求值：(1)(−4)×(−8)−(−5)×−7(2)−5(3)997(4)−3(5)先化简，再求值：4xy−x2+5xy−y223．（2324八年级上·全国·期末）已知A=3x−4xy+7y，B=−3x+2xy+y．(1)化简A−B；(2)当x+y=12，xy=−1，求(3)若A−B的值与y的取值无关，求A−B的值．24．（2425七年级上·河南驻马店·期末）已知A=3a2b−2ab2+abc，晓风错将“(1)计算B的表达式；(2)求正确的结果的表达式；(3)晓华说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，题型9整式的减中的化简求值25．（2526七年级上·辽宁·阶段练习）如图1，是由两个圆柱体组成的瓶子，瓶内盛满水，两个圆柱体的底圆直径分别为2a和a，高分别为6和2．如图2的底圆直径分别为12(1)当a=10时，试求一共需要多少个图2这样的杯子．(2)直接回答当a=m时，一共需要多少个图2这样的杯子．26．（2526七年级上·全国·课后作业）在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当x=−3,y=−3.5时，求多项式x2+4xy+2y(1)请你说明小明的说法是正确的理由．(2)接着王老师又出示了一道题：“设a,b,c为常数，关于x,y的多项式M=ax2+bxy+cy2−3y−2,N=2x27．（2526七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：当a=2024，b=−2025时，求多项式7a小明说：“本题中‘a=2024，b=−2025’是多余的条件．”小强马上反对说：“这不可能，多项式中含有a和b，不给出a，b的值，怎么能求出多项式的值呢？”你同意谁的观点？请说明理由．题型10整式动减中的无关型问题28．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，①小长方形的较长边为(y−12)cm②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(x−y+4)cm③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④若y=20时，则阴影A的周长比阴影B的周长少8cm①③ B．②④ C．①④ D．①③④29．（2526七年级上·重庆·阶段练习）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）．(1)制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示）(2)某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下：甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折；乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃．当x=0.1，y=2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？30．（2526七年级上·江苏泰州·阶段练习）【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，但却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点．【自主回忆】：（1）请写出一个你对绝对值的了解：________．【引导思考1】：（2）分类讨论：如果a=3，b=【引导思考2】：几何意义：a−b表示数a、b在数轴上对应的点A、B之间的距离（3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s．若q−s=11，p−r=13，p−s=19【尝试应用】：（4）符号：fP,a=x,y表示：对于数轴上任一点P，x和yx<y是与点P相距a个单位长度a>0的两点．如果点P、Q是数轴上的两个动点，fP,3=x,y，fQ,5=m,n（其中x<y，m<n）．两点同时从原点出发，题型11整式加减的应用31．（2425七年级上·安徽·期末）观察下列单项式：−x，3x2，−5x3，7x4，⋯⋯，−37x(1)这组单项式的系数的符号规律是；系数的绝对值规律是．(2)这组单项式的次数的规律是．(3)根据上面的归纳，可以猜想第n个单项式是(只能填写一个代数式)．(4)请你根据猜想，写出第2008个、第2009个单项式，它们分别是、．32．（2425七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式abc中任意两个字母交换位置，可得到代数式bac、acb、cba，因为abc=bac=acb=cba，所以abc是对称式；而代数式a−b中字母a、b交换位置，得到代数式b−a，因为a−b≠b−a，所以任务：(1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）；①a+b+c；②a2−b；③ab2(2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次；(3)已知A=2a2−433．（2425七年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料，解答问题：一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子a×b中两个字母交换位置，可得到b×a，因为a×b=b×a，所以a×b是对称式．而式子a−b中的字母a，b交换位置，得到式子b−a，但是a−b≠b−a，所以a−b不是对称式．(1)①a+b；②a2b；③(2)写出一个只含有字母a，b且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______；(3)已知A=2a2+4b2题型12单项式规律题34．（2425七年级上·吉林长春·期末）有一列式子，按一定规律排列成−2a，4a3，−8a5，16a7，A．−2na2n−1 B．(−2)na35．（2425七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式：第1个单项式：2a第2个单项式：4a第3个单项式：6a第4个单项式：8a……(1)第5个单项式为______．(2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）．(3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为2+2+2+1+3+5=15，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和．36．（2223七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：−x，3x2，−5x3．7x(1)首先杨老师给出如下四个引导问题：①这组单项式中不变的是什么？直接写下来．②这组单项式中系数的符号规律是什么？③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？④这组单项式的次数规律是什么？同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究：⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数）⑥第2023个单项式是__________．(2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移．按一定规律排列的等式：第一个等式：32第二个等式：52第三个等式：72第四个等式：92…，第n个等式是：__________（n是正整数）；(3)请你利用以上结论计算20232题型13将多项式按某个字母升幂（降幂）排列37．（2425七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，则a+b>0；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式a2+b2−2ab按b的升幂排列是a2−2ab+b2；④若多项式xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个38．（2425七年级上·四川成都·期中）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式5x3−3x2(1)把多项式−3x3+2x−4(2)若关于a，b的多项式ka3b3−2(3)已知M，N均为关于x，y的三次三项式，其中M=x2y+xy2+nx3，N=−x2y−mx39．（2425七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式3x(1)当a=1，b=−1时，该多项式的次数为__________，一次项为__________；(2)在（1）的条件下，若x=2，y=−1，求多项式的值；(3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如2a3+5ab2(4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列．题型14数字类规律探索40．（2526七年级上·重庆江北·期中）计算：12+141．（2526七年级上·安徽淮北·阶段练习）某一动点在一条数轴上移动，第1次向数轴正方向移动1个单位长度，记作+1；第2次向数轴正方向移动2个单位长度，记作+2；第3次向数轴负方向移动3个单位长度，记作−3；第4次向数轴负方向移动4个单位长度，记作−4；第5次向数轴正方向移动5个单位长度，记作+5；第6次向数轴正方向移动6个单位长度，记作+6；第7次向数轴负方向移动7个单位长度，记作−7；第8次向数轴负方向移动8个单位长度，记作−8……直到第2026次移动后结束．若按照此规律，第2026次移动后，动点最终在数轴上的位置所表示的数是（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．202742．（2526七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们其持征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3(1)猜想并写出：19×10(2)探究并计算下列各式：①11×2②1题型15图形类规律探索43．（2526九年级上·重庆·阶段练习）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（

）A．24 B．26 C．28 D．3044．（2526七年级上·四川内江·阶段练习）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出12【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为12“破浪”小组是这样思考的：设S=1将等式两边同时乘12得1将上式减去下式得12S=12−【过程思考】(1)图中阴影部分的面积是