专题142全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）数学沪科版2024八年级上册（原卷版）

专题14.2全等三角形的判定（一）（举一反三讲义） 【沪科版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1“边角边”（SAS）证明三角形全等】 2【题型2“角边角”（ASA）证明三角形全等】 3【题型3“角角边”（AAS）证明三角形全等】 4【题型4“边边边”（SSS）证明三角形全等】 5【题型5三角形的稳定性】 6【题型6斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 8【题型7灵活选用方法证明三角形全等】 9【题型8二次证明三角形全等】 11知识点1基本事实“边角边”（SAS）1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点2基本事实“角边角”（ASA）1.两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点3“角边角”的推论“角角边”（AAS）1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点4基本事实“边边边”（SSS）1.三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点5三角形的稳定性生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．知识点6斜边、直角边定理（HL）1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2.数学语言表达:如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′∴Rt【题型1“边角边”（SAS）证明三角形全等】【例1】（2425八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．△ABC中．AB=AC，AD平分∠BAC．点E为AD上一点．则图中全等三角形有对．【变式11】（2425八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【变式12】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF（点B，E，C，F在同一条直线上）．求证：△ABC≌△DEF．【变式13】（2025·安徽·一模）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3【题型2“角边角”（ASA）证明三角形全等】【例2】如图，已知∠3=∠4，要说明△ABC≌△DCB，若以“ASA【变式21】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【变式22】（2425八年级上·云南临沧·期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，AB=AD，∠B=∠D．求证：△ABC≌△ADE．【变式23】如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线MN上取A，B两点，再在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，过点D再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在一条直线上，若此时测得DE=16m，AM=0.5m，BN=1.5m，则池塘两岸M，N【题型3“角角边”（AAS）证明三角形全等】【例3】（2425八年级上·四川眉山·期末）如图，∠ACB=90°，CA=CB，分别过点A，B作过点C的直线的垂线AM，BN．若AM=3cm，BN=5cm，则A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【变式31】（2425八年级上·重庆万州·期中）如图，AE∥FD,CE∥FB，要使△EAC≌△FDB，需要添加的条件可以是下列选项中的（

）A．AB=BC B．∠E=∠F C．∠A=∠D D．AE=DF【变式32】（2425七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知AD是△ABC边BC的中线．CE∥BF，CE、BF与直线AD的交点分别为点E、F，请说明△CDE与△BDF全等的理由．【变式33】如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CBE≌△ACD；③AB=CE；④

【题型4“边边边”（SSS）证明三角形全等】【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．【变式41】（2425八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的判定依据是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【变式42】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．【变式43】（2425八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E，求∠EDC的度数．【题型5三角形的稳定性】【例5】（2425七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（

）A．两点之间，线段最短B．三角形的任意两边之和大于第三边C．两点确定一条直线D．三角形的稳定性【变式51】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性【变式52】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是．【变式53】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上根木条．【题型6斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】【例6】（2425八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：．

【变式61】如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，点B在CD上，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（

）A．CE=BC B．AB=DEC．∠A=∠D D．∠ABC=∠E【变式62】（2425八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=∠BAC，F为边AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌【变式63】（2425八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段AB上，且AD=BC，分别过点C，D在AB的异侧作FC⊥AB，ED⊥AB，连接EF交AB于点G，(1)求证：DE=CF．(2)求证：G是线段AB的中点．【题型7灵活选用方法证明三角形全等】【例7】（2425八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】我们知道：三角形全等的判定方法有：“SSS，SAS，ASA，AAS”，面对于“SSA”，课本第38页提供了如下材料：思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不一定成立．那么，什么情况下，“SSA”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．【初步思考】我们不妨设这个对应角为∠B，然后对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】(1)第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了△ABC≌△DEF．请聪明的你完成李明的推理过程；(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．①如图4，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，则△ABC≌△DEF的结论是否仍然成立；请说明成立的理由；②如图4，△ABC和△DEF是不全等的，∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：．【变式71】（2425八年级上·山西晋城·期末）如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与△ABC全等的是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式72】（2425七年级下·北京·期中）下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有．①AB=3，BC=7，CA=11，②∠A=30°，∠B=70°，AC=3；③∠A=30°，AB=7，BC=11；④∠A=30°，AB=14，BC=9．【变式73】（2425九年级上·贵州遵义·期中）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=FC，∠A=∠EDF，请从以下三个选项中①AB=DE，②∠ACB=∠DFE，③∠B=∠E，选择一个选项作为已知条件，使得△ABC≌△DEF．(1)你选择添加的选项是______（填序号）；(2)添加条件后，请证明△ABC≌△DEF．【题型8二次证明三角形全等】【例8】（2425八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形ACBD中，E是对角线AB上一点，AC=AD，BC=BD，求证：△AEC≌△AED．【变式81】（2425七年级下·全国·随堂练习）如图，△ABC和△DCB的顶点A和D在BC的同侧，AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O，试说明：△ABO≌△DCO．下面是小明的解答过程：解：在△ABC和△DCB中，因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以△ABC−△OBC≌△DCB−△OBC，所以△ABO≌△DCO．请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来．【变式82】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【变式83】在解决线段数量关系问题