2021北京重点校高一（上）期末数学汇编：集合与常用逻辑用语综合

4/132021北京重点校高一（上）期末数学汇编集合与常用逻辑用语综合一、单选题1．（2021·北京师大附中高一期末）已知平面向量满足，则“与互相垂直”是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2021·北京二中高一期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2021·北京·人大附中高一期末）若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知平面，和直线，且，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2021·北京二中高一期末）设函数，则对任意实数是的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．（2021·北京·101中学高一期末）向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2021·北京·101中学高一期末）已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（）A． B． C． D．8．（2021·北京·101中学高一期末）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分不必要条件9．（2021·北京·人大附中高一期末）“直线垂直平面内的无数条直线”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必安条件10．（2021·北京·清华附中高一期末）“，”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2021·北京·清华附中高一期末）已知集合与的交集为，则a的值可以为（）A．0 B．1 C．2 D．312．（2021·北京二中高一期末）已知集合，则（）A． B． C． D．二、解答题13．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记M（）=．（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．14．（2021·北京·101中学高一期末）设是由个实数构成的一个有序数组，记作．其中称为数组的“元”，称为数组的“元”的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的“子数组”．定义两个数组，的“关系数”为．（1）若，，且中的任意两个“元”互不相等，的含有两个“元”的不同“子数组”共有个，分别记为．①；②若，，记，求的最大值与最小值；（2）若，，且，为的含有三个“元”的“子数组”，求的最大值．15．（2021·北京二中高一期末）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合已知4，6，8，，2，4，8，．Ⅰ写出和的值，并用列举法写出集合；Ⅱ用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；Ⅲ有多少个集合对，满足P，，且？16．（2021·北京二中高一期末）已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.17．（2021·北京·清华附中高一期末）已知n为不小于3的正整数，记对于中的两个元素，，定义为，，…，中的最小值.（Ⅰ）当时，，，，求的值；（Ⅱ）若，为中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合.（Ⅲ）若，且对于任意的，均有，求L的最小值.18．（2021·北京二中高一期末）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.

参考答案1．C【分析】第一点：充分利用非零向量垂直与两向量数量积为零的相互转化；第二点：紧扣充分，必要条件的概念.【详解】若与互相垂直，则，展开得，把代入解得，，所以.若，则，有，所以与互相垂直.综上可知，“与互相垂直”是的充分必要条件.故选：C.2．C【分析】运用两直线平行的充要条件得出与平行时的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【详解】当时，，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行.当与平行时可得：，解得或.若时，由上可得与平行当时，，,此时两直线重合.所以当与平行时，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：C3．B【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．4．A【分析】根据线面平行关系，利用定义法直接判断即可.【详解】若，，则与无公共点，根据线面平行的定义，知；反过来，，不能推出，因为与可能相交；所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.5．A【分析】根据函数的奇偶性和单调性，由可得在上为奇函数，由时，为增函数，进行分析判断即可得解.【详解】根据题意可得，，所以为奇函数，由时，为增函数，由在上为奇函数，所以在上为增函数，，由，可得，可得，所以，由可得，所以，可得，故对任意实数是的充要条件.故选：A6．A【分析】先转化条件，再判断充分性成立和必要性,即可求解.【详解】解：由题意：，此时，不共线或反向共线，充分性：由“，不共线”可推出“”，所以充分性成立；必要性：若“”，推不出“，不共线”，所以必要性不成立.所以“，不共线”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．D【分析】求出函数的定义域后，由交集定义计算．【详解】由得，∴，又，∴．故选：D．8．A【详解】试题分析：α⊥β，b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.9．B【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】因为当直线垂直平面内的所有直线时，才能得到，所以由直线垂直平面内的无数条直线不一定能推出，但是由一定能推出直线垂直平面内的无数条直线，所以直线垂直平面内的无数条直线是的必要不充分条件，故选：B10．A【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】，时，，，时，，所以“，”是“”的充分而不必要条件，故选:.11．D【分析】由已知得到中的元素都不在中，即1和2都不满足不等式,由此得到的取值范围，从而做出判定.【详解】由已知得中的元素都不在中，即1和2都不满足不等式,所以且,所以,故选：D.12．B【分析】分析集合M中元素与集合N的关系即可得解.【详解】显然，集合M中只有两个元素，所以.故选：B13．(1)2,1;(2)最大值为4;(3)【详解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.14．（1）①6；②最大值为199，最小值为5；（2）1【分析】（1）①根据“子数组”的定义可得；②不妨设，则可得，根据可得最值；（2）分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，再结合不等式的性质即可求解.【详解】（1）①根据“子数组”的定义可得，的含有两个“元”的不同“子数组”有共6个，；②不妨设，，因为，则当时，取得最大值为，当是连续的四个整数时，取得最小值为；（2）由，且可知，实数具有对称性，故分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”的对称性，可只计算的最大值，因为，则，可得，故当时达到最大值，故；②当0不是中的“元”时，，又，则，当且仅当时，取到最大值，故，综上，.【点睛】本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解子数组的定义以及“关系数”的定义，巧妙利用不等式的性质求解.15．(1),,，(2)4，（3）128【详解】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,①且,则;②若且,则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值．（Ⅲ）由P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．试题解析：(Ⅰ),,.(Ⅱ)根据题意可知：对于集合,①且,则;②若且,则.所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4.(Ⅲ)因为,所以.由定义可知：.所以对任意元素,,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因为,所以满足题意的集合对的个数为.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,若且,则;若且,则，由此可得结论；(3)由题意易得，由定义可知：，易知，由可得，则结论易得.16．（Ⅰ）①不是的一个二元基底.；②是的一个二元基底.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ），的最小可能值为5.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等.【详解】分析：（I）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.．

（II）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即．

（III）由（Ⅱ）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得的最小可能值为5．详解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，.（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5.点睛：本题以一个集合为另一个集合的元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数解的讨论和两个计数原理等知识，属于难题．17．（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）利用定义计算即得;（Ⅱ）根据定义和条件得到不等式组，求解即得;（Ⅲ）先找一特例，使得,然后证明不可能更大即可.【详解】（Ⅰ），，，,=；（Ⅱ）若，，，,或.,解得或,即实数b的所有可能取值构成的集合;（Ⅲ）若，且对于任意的，均有，当时，，所以.若存在,使得,则,矛盾.所以