2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：单调性1

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单调性1一、单选题1．（2021·北京市十一学校高一期中）设奇函数的定义域为，当时，是增函数，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．以上结果都不对2．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的函数，其中表示不超过的最大整数，，给出下列四种说法：①，使得是一个增函数；②，使得是一个奇函数；③，使得在区间上有唯一零点.其中，正确的说法个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·北京·北师大二附中高一期中）已知函数f(x)=x|x|，若对任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(-∞，-1) B．(-∞，-1] C．(-∞，-2) D．(-∞，-2]4．（2021·北京·101中学高一期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（）A． B．C． D．5．（2021·北京八十中高一期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．6．（2021·北京八中高一期中）给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2021·北京市第十三中学高一期中）函数的单调减区间为（）A． B．C． D．8．（2021·北京师大附中高一期中）下列函数中，在区间（0，＋∞）上不是单调函数的是（）A．y＝ B． C． D．二、多选题9．（2021·北京市十一学校高一期中）下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（）A． B． C． D．三、填空题10．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③不等式的解集为；④关于的方程的解集中所有元素之和为.其中所有正确结论的序号是___________.11．（2021·北京市十一学校高一期中）已知，函数的零点在区间中，则的值是______.12．（2021·北京市十一学校高一期中）写出“函数在区间上单调递减”的一个充分不必要条件：___________.13．（2021·北京市十一学校高一期中）函数是定义在R上的奇函数，，且对于都有，则不等式的解集为___________.14．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）设定义在R上的函数满足：（1）当时，；（2）；（3）当时，，则在下列结论中：①②在R上是递减函数；③存在，使④若，则，．其中正确结论的命题为__________．15．（2021·北京市第十三中学高一期中）能够说明“若对任意的都成立，则函数在是增函数”为假命题的一个函数是_________.四、解答题16．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在R上的函数满足：①；②为奇函数；③，都有；④都有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.17．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）函数为定义在上的奇函数，已知当时，.（1）当时，求的解析式；（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若，求的取值范围.18．（2021·北京·101中学高一期中）已知二次函数满足：①；②当时，函数取得最小值2.（1）求的解析式；（2）记.①若是定义域上的单调函数，求在的取值范围；②记的最小值为，求方程的解集.19．（2021·北京·101中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）若实数满足不等式，求的取值范围20．（2021·北京·清华附中高一期中）已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的，都有．（1）求和的值；（2）证明：为奇函数，并且；（3）若在区间上单调递减，直接写出关于的不等式的解集21．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）用单调性的定义证明的单调性；（3）若对于，不等式恒成立，求的取值范围.22．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数且.（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；（2）证明函数在上是增函数.23．（2021·北京·北师大二附中高一期中）己知函数(b，c为常数)，f(1)=4，f(2)=5.（1）求函数f(x)的解析式；.（2）用定义证明∶函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.24．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数.（1）用单调性定义证明：函数在上递减；（2）直接写出函数的定义域和奇偶性，并画出函数的大致图象；（3）设，若对于，总，使恒成立，求实数a的取值范围.25．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数在上有意义，且对任意满足．（1）求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；（2）若时，，判断在的单调性，并说明理由．（3）在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）①若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由．②记表示两数中的较大值，若对于任意，，求实数的取值范围？26．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知函数的定义域为R，且满足对于任意，都有，且当时，，且．（1）求与的值；（2）判断的奇偶性；（3）判断的单调性，并证明；（4）解不等式．27．（2021·北京八十中高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且．（1）求函数的解析式，以及零点．（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明．（3）判断函数在区间上的单调性．（只需写出结论）（4）在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的示意图．28．（2021·北京四中高一期中）已知函数．（1）应用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增；（2）求在区间上的最大值与最小值．注：证明（1）只能用函数单调性定义证明．29．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数．（1）判断函数是否具有奇偶性？并说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：在（-1，＋∞）上是增函数；（3）求函数在区间［1，4］上的值域．30．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知函数（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（2）解不等式．

参考答案1．C【分析】当时，不等式显然成立，再讨论当时不等式的解集，综合即得解.【详解】解：奇函数在上为增函数，（1），函数在上为增函数，且（1），当时，不等式显然成立，当时，则不等式等价为时，，此时；当时，，此时，综上不等式的解为或，故不等式的解集为：.故选：C2．B【分析】举反例和，，得到①②错误，计算满足有唯一零点，得到答案.【详解】①，，故①错误；②若，使得是一个奇函数，则，，，，故假设不成立，②错误；③当时，，当时，，当时，满足在区间上有唯一零点，③正确.故选：B.3．C【分析】首先结合已知条件可知为奇函数，利用奇偶性的对称性和函数解析式求出单调性，然后将不等式转化为，结合函数单调性和恒成立含义即可求解.【详解】因为，所以，故为奇函数，因为当时，单调递增，故在上单调递增，因为对任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立，所以当时，恒成立，从而，即对任意的x≤1恒成立，从而，即实数m的取值范围是.故选：C.4．C【分析】利用解析式结合函数图象逐项判断即可.【详解】解：对A，，为反比例函数在第一象限的图象，所以是单调递减，故A错误；对B，，该函数为开口向上，对称轴为，所以在上先减再增，故B错误；对C，，为单调递增的一次函数，故C正确；对D，，为单调递减的一次函数，故D错误.故选：C.5．B【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B6．B【分析】根据指对幂函数的性质依次判断即可得答案.【详解】解：对于①，在上单调递增；对于②，在上单调递减；对于③，时，在上单调递减；对于④，在上单调递增；故在区间上单调递减的函数的序号是②③故选：B7．D【分析】根据反比例函数的单调性即可得出答案.【详解】解：由函数，定义域为，得其单调减区间为.故选：D.8．C【分析】由基本函数的性质分析判断即可【详解】对于A，在（0，＋∞）上单调递增，所以A错误，对于B，在（0，＋∞）上单调递增，所以B错误，对于C，在（0，＋∞）上不是单调函数，所以C正确，对于D，在（0，＋∞）上单调递增，所以D错误，故选：C9．AB【分析】根据函数解析式直接判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的单调性，即可得出合适的选项.【详解】对于A选项，因为的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又该函数在区间上单调递减，故A正确；对于B选项，因为的定义域为R，其定义域关于原点对称，且，所以函数偶函数，又该函数在区间上单调递减，故B正确；对于C选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故C不正确；对于D选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故D不正确.故选：AB.10．①③④【分析】由函数的奇偶性与单调性可判断①②③，令，则有，从而可求出，进而求出，即可判断④【详解】因为定义在上的偶函数在上单调，且，，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递减，故①正确；因为偶函数在上单调递增，所以时，，故②错误；偶函数在上单调递增，，，由可得，所以，解得或，故③正确；令，则，可化为，解得或，即或，所以或，解得或或或，关于的方程的解集中所有元素之和为，故④正确.故答案为：①③④11．【分析】先判断出函数在R上单调递增，又由，，可得出存在唯一的零点在区间中，由此可得答案.【详解】解：因为函数在R上单调递增，又，，所以函数存在唯一的零点在区间中，又函数的零点在区间中，所以，故答案为：.12．（答案不唯一）【分析】由函数在区间上单调递减可得，再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由函数在区间上单调递减可得，所以“函数在区间上单调递减”的一个充分不必要条件为.故答案为：（答案不唯一）13．【分析】由题可得函数在上为增函数，函数在上为增函数，不等式等价于或，解之即得.【详解】∵函数是定义在R上的奇函数，，∴，又都有，∴函数在上为增函数，函数在上为增函数，∴由得，由得，由得，或，∴.故答案为：14．①②③【分析】通过赋值可得，进而可判断①，再根据单调性的定义及条件可判断②，由②得单调性和可判断③，由可判断④.【详解】当时，令时，，因为，所以，所以，所以①正确；由①知，，所以有，任意的且，因为，则，所以，，所以，所以在R上是递减函数，②正确；因为，在R上是递减函数，所以当时，，③正确；由，结合①得，，④错误.故答案为：①②③.15．（答案不唯一）【分析】根据题意函数可为，说明此函数在上不是增函数即可.【详解】解：根据题意函数可为，则对于任意的都有，函数在上都是增函数，又，则函数在上不是增函数，所以函数能够说明题中命题为假命题.故答案为：.（答案不唯一）16．（1）偶函数，理由见解析（2）函数在上的单调递增，理由见解析（3）【分析】(1)利用给定条件求出g(0)，再借助赋值法及奇偶性定义即可判断作答.(2)利用(1)的结论结合赋值法和函数单调性定义即可证得结论.(3)利用(1)，(2)的结论脱去法则“f”转化为恒成立的不等式求解作答.（1）函数是R上的偶函数，因都有，则取，有，而，则有，取，可得，即，恒有，所以函数是R上的偶函数.（2）函数在上的单调递增，因都有，而为奇函数，是偶函数，则有，两式相减得：，，则因，则，，而当，，于是有，因此，，即，所以函数在上的单调递增.（3）由(1)知，函数是R上的偶函数，则，由(2)知，，，则有，，，又在上的单调递增，则有在上的单调递增，从而有，因，恒成立，则，，令，即，成立，而二次函数有零点，且对称轴为，因此，，解得，所以实数k的取值范围.17．（1）；（2）在上的单调递增，证明见解析；（3）【分析】（1）由奇偶性的定义结合已知求解即可；（2）先判断，再用单调性的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性与单调性求解即可（1）函数为定义在上的奇函数，时，.当时，，所以，所以时，求的解析式为；（2）在上的单调递增；证明：设，则，因为，所以，，即，所以在上的单调递增；（3）因为函数为定义在上的奇函数，且在上的单调递增，所以函数在上单调递增，由得，所以，解得，所以的取值范围是18．（1）（2）①；②【分析】（1）依题意设，，再根据，代入求出，即可求出函数解析式；（2）①首先求出的解析式，求出函数的对称轴，函数在区间单调，则对称轴不在区间内，即可得到不等式，解得即可；②根据对称轴与区间的位置分类讨论，求出函数的最小值，即可得到的解析式，再分类讨论计算可得；（1）解：依题意设，，又，所以，解得，所以；（2）解：①因为，所以，对称轴为，开口向上，所以或，解得或，即；②因为，对称轴为，开口向上，当，即时；当，即时；当，即时；所以，所以的图象如下所示：因为，所以或或解得或即的解集为19．（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）由求得，再由求得，得解析式；（2）用增函数的定义证明；（3）由奇函数性质变形不等式，再由单调性化简后可得结论．（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，，又，所以，，满足．所以；（2）设，则，，，所以，即，所以是增函数；（3）不等式化为，是奇函数，所以，又是增函数且，所以，解得．所以的取值范围是．20．（1），.（2）证明见解析（3）【分析】（1）令，可得求得，再令，可得求得.（2）分别令和，求得，进而得到，得出函数为定义域上的奇函数，再令，结合，即可得到.（3）根据函数为奇函数，得到，转化为，由函数在区间上单调递减，且，证得函数在区间上单调递增，结合，列出不等式组，即可求解.（1）解：因为函数满足，且当时，恒成立，令，可得，因为，所以，令，可得，即，因为，且当时，恒成立，所以.（2）解：由题意，函数的定义域关于原点对称，令，可得，令，可得，用代换，可得，所以，因为，，所以，所以函数为定义域上的奇函数.令，可得，因为，可得，即.（3）解：因为函数为奇函数，可得，则不等式，即为，因为，所以，由函数在区间上单调递减，且，设且，可得，则所以，即，所以函数在区间上单调递增，所以不等式转化为，解得，解不等式的解集为.21．（1）（2）单调递增，证明见解析.（3）【分析】（1）由奇函数列方程，可求出a；（2）先判断在R上单减，利用单调性的定义可证明；（3）利用为奇函数及在R上单增，将不等式转化为对任意恒成立，利用分离参数法求出k的范围.（1）解：∵为定义域为的奇函数，∴，所以.经检验成立（2）解：由（1）知：，则在R上单增，下面进行证明：任取，且，∴∵为增函数，，∴，∴，∴，∴在R上单增.（3）解：∵为奇函数，∴对任意，不等式恒成立可化为：对任意恒成立，又在R上单增，不等式等价于对任意恒成立，即恒成立.记，，只需，所以，所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）函数奇偶性的应用：①一般用或；②有时为了计算简便，我们可以对x取特殊值:或；（2）证明函数的单调性一般用：①定义法；②导数法；（3）分离参数法是解决恒（能）成立问题的常用方法.22．（1）是奇函数，证明过程见解析；（2）证明过程见解析.【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；（2）根据单调性的定义进行证明即可.（1）函数在其定义域上是奇函数，证明过程如下.证明：函数且，即的定义域为，关于原点对称又函数在其定义域上是奇函数（2）证明：设，，且，则又，，即函数在上是增函数.23．（1）（2）证明见解析【分析】(1)结合已知条件利用待定系数法求解即可；(2)首先设任意的，，且，然后利用作差法比较和大小，再结合函数单调性的定义即可证明.（1）由题意可知，，解得，，故函数f(x)的解析式为：.（2）设任意的，，且，则，因为，，且，所以，，即，从而，即，故函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.24．（1）证明见解析；（2）函数的定义域为，函数为奇函数，图象见解析；（3）.【分析】（1）利用单调性的定义即证；（2）利用函数解析式及函数单调性即得；（3）由题可得当时，，再通过分类讨论可求函数在上的值域，（1）且，∴，∵，∴，∴即，∴函数在上单调递减.（2）函数的定义域为，函数为奇函数，函数的大致图象为：（3）∵函数为奇函数，函数在上单调递减，∴函数在上为减函数，∴当时，，又，∴当时，，显然不合题意，当时，时，，若对于，总，使恒成立，则，解得，当时，时，，若对于，总，使恒成立，则，解得，综上所述，实数a的取值范围为.25．（1），奇函数；证明见解析（2）在上是单调递减函数；理由见解析（3）①不存在；理由见解析；②.【分析】（1）令，得到，再令，可得，劲儿可得出结论；（2）设任意，，令，进而可得，判断其正负，结合单调性的概念即可得出结论.选①结合函数单调性可得，进而可得，解不等式即可得出结论；选②令，，所以，进而分和两种情况讨论即可求出结果.（1）令，则，解得，令，则，则，又因为定义域为，关于原点对称，所以为奇函数．（2）在上是单调递减函数．理由：设任意，，令，则，即：，因为，，所以，所以，所以，因为时，，所以，故，所以，所以在上为单调递减函数．（3）选①由（2）知，在上是单调递减函数，且．所以，，因为，所以，所以，即，，，所以，即，又因为，所以不存在实数使得恒成立．选②，由（2）知，在上是单调递减函数，且．所以，所以，所以，令，，所以，若，；若，，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以．综上，实数m的取值范围为．【点睛】含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.26．（1），（2）见解析（3）见解析（4）或【分析】（1）通过赋值可得解；（2）令，结合可判断；（3）令，由可判断；（4）由，可得，进而得解.（1）令，则，即，，；（2）令，则，即，可得为奇函数；（3）是上的减函数下证明：令，则，由时，，可得，即有，即，即，则是上的减函数；（4），由（3）知是上的减函数，所以，解得或.故不等式的解为或.27．（1），零点为；（2）在上是单调递减，证明见解析．（3）函数在区间上单调递增．（4）函数图象见解析；【分析】（1）依题意