四川省达州市重点中学2023-2024学九年级上学期数学期中考试试卷（含答案）

第第页四川省达州市重点中学2023-2024学九年级上学期数学期中考试试卷一、选择题：(每小题4分，共40分。)1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+1C．(x−1)(2．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形3．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其他均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是()A．110 B．15 C．134．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A．22 B．2 C．4 D．5．已知△ABC如图所示，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）A． B．C． D．6．若a5=b7=A．14 B．42 C．7 D．147．某城市前年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到今年底增加到363公顷。设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A．300(1+x)C．300(1+2x)8．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+1x（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是1x，矩形的周长是2（x+1x）；当矩形成为正方形时，就有x=1x（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+1x）=4最小，因此x+1x（A．10 B．5 C．15 D．209．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），下列结论错误的是（）A．ACAB=BCAC B．BC210．.如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。）11．菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积为。12．已知关于x的方程x2-mx-6=0的一个根为2，则m=，另一根是.13．关于x的方程kx2−2x+1=014．如图，在△ABC中，DE∥BC，DEBC=215．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则AEED的值是16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为三、解答题：（本大题4个小题，共86分）解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步骤。17．解方程：（1）2x2-2x-1=0（2）(x－2)2－3(x－2)＝0．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4）C（-2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．19．已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x-k-1=0．（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足1x20．第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．21．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）若商场只要求保证每天的盈利为4320元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？（2）若该商场经理想让这种水果每天的盈利为4600元，商场经理的想法能实现吗？如果能请求出每千克应涨价多少元，如果不能请说明理由。22．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E．

求证：BE2=DE•AE．24．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；（3）拓展探究：如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，当BC=3时，试求出AB的值．25．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似。（3）当t为何值时，△APQ的面积为165

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得(x−1)(x+2)2．【答案】D【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选D．【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．3．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得吃到红豆粽的概率是22+3+5=15，4．【答案】A【解析】【解答】解：作D关于AE的对称点D'，过D'作D'P'⊥AD于P'，如图所示：∵DD'⊥AE，∴∠AFD=∠AFD'，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D'AF，∴D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=4，∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD'=45°，∴AP'=P'D'，∴在Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2=AD'2，AD'2=16，∵AP'=P'D'，2P'D'2=AD'2，即2P'D'2=16，∴P'D'=22，即DQ+PQ的最小值为22，故答案为：A【分析】作D关于AE的对称点D'，过D'作D'P'⊥AD于P'，先根据三角形全等的判定与性质证明△DAF≌△D'AF得到D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=4，进而根据轴对称-最短距离问题得到D'P'即为DQ+PQ的最小值，再根据正方形的性质得到∠DAD'=45°，从而结合题意运用勾股定理即可求解。5．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得AB=AC=6，∴∠A=180°−∠B−∠C=30°，∠C=75°，

A．三角形各角的度数分别是52.5°，52.5°，75°，不与△ABC相似，A不符合题意；C．三角形各角的度数分别为30°，75°，75°，与△D．三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，不与△ABC相似，D不符合题意；【分析】由题意得AB=AC=6，∠B=75°，进而根据等腰三角形的性质结合题意得到∠A=180°−∠B−∠C=30°，6．【答案】D【解析】【解答】解：∵a∴a=5k,∵3a−2b+c=3∴3×5k−2×7k+8k=3，解得k=1∴a=∴2a+4b−3c=2×5故答案为：D【分析】先根据比例的性质得到a=5k,b=7k,7．【答案】B【解析】【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意得300(1+x)2=363，

8．【答案】A【解析】【解答】解：∵x>0，∴在原式中分母分子同除以x，即x2在面积是25的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是25x矩形的周长是2(当矩形成为正方形时，就有x=25x（解得x=5，这时矩形的周长2(∴x2+25x（x>0故答案为：A【分析】根据分式的混合运算结合题意进行计算即可求解。9．【答案】B【解析】【解答】解：∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A不符合题意；AC2=AB•BC，故B符合题意，ACABBCAC故答案为：B．

【分析】根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，再化简并逐项判断即可。10．【答案】D【解析】【解答】解：∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，∴点P是Rt△MBC和Rt△∴MP=NP=12BC∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，∴∠AMB=∠ANC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMB∴AMAB=AN∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，∴点P是Rt△MBC和Rt△∴MP=NP=BP=CP=1∴点M，N，B，C共圆，∴∠NPM=2∠ABM，Rt△ABM中，∠A=60°∴∠ABM=30°，∴∠NPM=60°，∵PN=PM，∴△PMN是等边三角形，③当∠ABC=45°时，△∴BN=22BC故答案为：D【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意即可判断①；进而根据相似三角形的判定与性质证明△AMB∽△ANC，从而即可判断②；根据直角三角形斜边上的中线的性质得到MP=NP=BP=CP=1211．【答案】24【解析】【解答】解：由题意得菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，

∵菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，

∴x1x2=48，

∴菱形的面积为1212．【答案】1；-3【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-mx-6=0的一个根为2，

∴4-2m-6=0，

解得m=-1，

∴x2+x-6=0，

∴2+x2=-1，

∴x2=-3，

∴13．【答案】k＜1且k≠0【解析】【解答】解：由题意得k≠0，△=4-4k＞0，

∴k＜1且k≠0，

故答案为：k＜1且k≠0

【分析】根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根的判别式即可求解。14．【答案】18【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵DEBC∴S△∴S△故答案为：18【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明△ADE∽△ABC，进而即可求解。15．【答案】3【解析】【解答】解：∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥∴∠ABE=∠ECD=45°，∠BAE=∠EDC=30°，∴△ABE∴AEED∵AC=AB，∴AEED∵tan∠D=∴AEED故答案为：3【分析】先根据平行线的判定与性质得到∠ABE=∠ECD=45°，∠BAE=∠EDC=30°，进而根据相似三角形的判定与性质证明△ABE∽△DCE16．【答案】(【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的点A的坐标为(1,0)，点∴OA=1，OD=2，由勾股定理得AD=5，OA∵∠ADO+DAO=90°，∠DAO+BAA∴∠ADO=BAA由题意得∠DOA=ABA则△DOA∴A1∵AD=AB=5∴A1则第二个正方形的面积为S1同理可得第三个正方形的面积为S2依此类推，第n个正方形的面积为Sn则第2014个正方形的面积为：S2014故答案为：5⋅【分析】先根据正方形的性质结合勾股定理求出AD=5，OAOD=12，进而根据相似三角形的判定与性质证明△DOA∽△ABA1即可求出17．【答案】（1）解：这里a=2，b=-2，c=-1。∵b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12＞0∴x=2+122×2=即x1=1+32x2=（2）解：（x-2）（x-2-3）=0（x-2）（x-5）=0x-2=0，或x-5=0x1=2，x2=5。【解析】【分析】（1）根据题意运用公式法解一元二次方程即可求解；

（2）根据题意运用因式分解法解一元二次方程即可求解。18．【答案】（1）解：见解析：如图：△A1B1C1即为所求。（2）解：见解析：如图：△A2B2C2即为所求。【解析】【解答】解：如图所示：

【分析】（1）根据作图-旋转先描出A1，B1，C1点，进而连线画图即可求解；

（2）根据作图-位似先描出A2，B2，C2点，进而连线画图即可求解。19．【答案】（1）解：∵△=（2k-1）2-4（-k-1）=4k2-4k+1+4k+4=4k2+5＞0，

∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2=1-2k，x1•x2=-k-1，

∵1x1+1x2=1

∴x1+x2=x【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。20．【答案】解：根据题意，列出树状图如下：由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果

P（都是红球）=49P（1红1绿球）=49【解析】【分析】先根据题意画出树状图，进而即可得到共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，再根据等可能事件的概率即可求解。21．【答案】（1）解：设每千克应涨价x元，则（10+x）（400-20x）=4320

解得x=2或x=8，

为了使顾客得到实惠，所以x=2（2）解：该商场经理想法不能实现。设每千克应涨价x元，则（10+x）（400-20x）=4600该方程无解，所以不可能。【解析】【分析】（1）设每千克应涨价x元，进而根据“每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，要求保证每天的盈利为4320元”即可列出一元二次方程，从而即可求解；

（2）根据题意列出一元二次方差，从而根据方程无解即可求解。22．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．23．【答案】证明：∵BE⊥AE∴∠E=900

∵∠C=900

∵∠ADC=∠BDE（对顶角相等）

∴∠CAD=∠DBE

∵AD是∠CAB的角平分线

∴∠CAD=∠BAD

∴∠BAD=∠DBE

∵∠E=∠E

∴△DBE∽△BAE相似

∴BE/DE=AE/BE

∴BE2=DE•AE【解析】【分析】先根据对顶角得到∠CAD=∠DBE，进而根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。24．【答案】（1）解：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE＋∠DEA=125°，

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC＋∠DEA=125°．

∴∠ADE=∠BEC，