浙江省温州市实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

第第页浙江省温州市实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7 B．6 C．5 D．42．抛物线y＝（x-6）2+3的顶点坐标为（）A．（6，3） B．（-6，3） C．（6，-3） D．（-6，-3）3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（）A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：34．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有()A．15个 B．20个 C．30个 D．35个5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D＝60°，AB＝AC，则∠ABC等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．抛物线y＝-x2+bx+1与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135° B．90° C．60° D．45°8．利用圆的等分，在半径为23A．6 B．63 C．12 D．9．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25cm，AB＝2.5cm，CD＝6cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（）A．6cm B．132cm C．7cm D．1510．已知抛物线y＝x2-2mx（-1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（）A．-3 B．-1 C．0 D．1二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝6，则d的值是．12．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是．13．如图，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的B'处得△A'B'C，若∠A＝35°，则∠BCB'的度数为．14．如图，AB是△ADC外接圆的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为．15．如图，抛物线y=14x16．如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则GFGI的值是三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程）17．小明同学报名参加学校运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m(分别用A1、A2、田赛项目：立定跳远(用B表示).（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率为；（2）小明从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.18．如图，点E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．（1）求证：△AFD∽△DCE．（2）若AB＝4，AD＝2，CE＝1，求AF的长度．19．设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…0123…y…60-20…（1）求二次函数的表达式．（2）若点M（m，n）是抛物线上一点，且0＜m＜3，则n的取值范围是．20．我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点O，请根据下列要求在方格中画图．（1）在图1中，将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；（2）在图2中，作与△ABC相似的格点△AOD．21．如图，AB是⊙O的直径．菱形AOCD交⊙O于点C，点E．（1）连结AC，求证：CE=（2）连结BC，若AB＝25，BC＝15，求AE的长．22．图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.4m．以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求图2中抛物线的表达式．（2）记图2中的落球点为点E，则OE的长为多少？（3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m．若最后球也落在点E，则OD的长为多少？23．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O外，BC平分∠ABD交⊙O于点C，CD⊥BD于点D，连结OD交BC于点E．（1）求证：△ABC∽△CBD．（2）若AB＝4，∠ABD＝60°，求BD的长．（3）当△BOE是直角三角形时，求DEEO

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，∴OP<5，故答案为：D．【分析】根据⊙O的半径为5，点P在⊙O内，求解即可。2．【答案】A【解析】【解答】∵抛物线y＝（x-6）2+3，

∴顶点坐标为（6，3）.

故答案为：Ａ．

【分析】根据顶点坐标表达式写出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵AD：DB＝3：1，

∴AD：ＡB＝3：4，

∵DE∥BC，

∴△ADE~△ABC，

∴AE：AC＝3：4.

故答案为：B.

【分析】根据题意得出三角形相似，再根据形似的性质即可求出.4．【答案】D【解析】【解答】设袋中有黄球x个，由题意得x50解得x=15，则白球可能有50-15=35个．故选D．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．5．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠D＝60°，

∴BC⏜=120°，

∵AB＝AC，

∴BC⏜=AB⏜=60°

6．【答案】C【解析】【解答】解：∵y＝-x2+bx+1，

∴∆=b2-4ac=b2+4>0，

∴方程有两个不相等的实数根，

7．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC~△EDF，

∴∠DEF=∠CAB=135°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-135°=45°，

故答案为：D.

【分析】根据相似的性质求出∠CAB=135°，再根据三角形内角和求出即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形ABCDEF的面积，由对称性可知ON=MN=12OM=3在Rt△ONF中，ON=3∴NF=∴AF=2NF=2，∴S故答案为：B.【分析】根据题意把阴影部分的面积转化成正六边形的面积求解.9．【答案】B【解析】【解答】解：连接OC，OA，

∵刻度尺量得该纸条的宽为4.25cm，

∴EF=4.25，

∵EF⊥CD，CD∥AB，

∴EF⊥AB，

∵AB＝2.5cm，CD＝6cm．

∴AF=12AB=1.25，CE=12CD=3，

设OE=x，则OF=4.25-x，OA=OC，

∴CO2=OE2+CE2，AO2=OF2+AF2，

∴OE2+CE2=OF2+AF2即x2+32=（4.25-x）2+1.252

解之：x=1.25，

∴OA2=1.252+9

解之：OA=3.25，

∴纸杯的直径为3.25×2=132.

故答案为：B.

【分析】连接OC，OA，利用已知可得到EF的长，利用垂径定理可求出AF，CE的长，设OE=x，则OF=4.25-x，OA=OC，利用勾股定理可证得OE2+CE10．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=--2m2=m，

∵抛物线y＝x2-2mx（-1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），

∴x=m=12（p+p+2）=p+1，t=p2-2mp，

∴p=m-1，

∴t=（m-1）2-2m（m-1）=-m2+1，

当m＞0时t随m的增大而减小，

∵-1≤m≤2，

∴当m=2时，t有最小值为t=-22+1=-3.

故答案为：A.

【分析】利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，由抛物线y＝x11．【答案】9【解析】【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，

∴a：b=c：d即2：3=6：d，

解之：c=9.

故答案为：9.

【分析】利用比例线段，可得到a：b=c：d，代入计算求出c的值.12．【答案】8【解析】【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．

故答案为：8．【分析】正多边形的边数=360°÷一个外角的度数求解即可.13．【答案】70°【解析】【解答】解：∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的B'处得△A'B'C，

∴BC=B'C，∠ACB=90°，

∴∠B=∠CB'B，

∵∠B=90°-∠A=90°-35°=55°，

∴∠BCB'=180°-∠B-∠CB'B=180°-55°-55°=70°.故答案为：70°.

【分析】利用旋转的性质可证得BC=B'C，∠ACB=90°，利用等边对等角可证得∠B=∠CB'B，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠BCB'的度数.14．【答案】50°【解析】【解答】解：连接CB，

∵AC⏜=AC⏜，

∴∠B=∠D=40°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°-∠B=90°-40°=50°.

15．【答案】3【解析】【解答】解：连接AC，BD相交于点P，取OC的中点Q，连接PQ，

y=14x(x−8)=14x-42-4，

∴抛物线的对称轴为直线x=4，

∵点B（2，0），

∴点A（6，0），

当x=2时y=142-42-4=-3，

∴点C（2，-3）

∵GH平分矩形ABCD的面积，

∴直线GH经过点P，点P是AC的中点，

∴点P（4，-1.5）

∵平移，四边形OCHG是平行四边形，

∴PQ=CH，

∴PQ=12OA，

16．【答案】3​​​​​​​【解析】【解答】解：过点H作HN⊥AB于点N，过点H作HM⊥GJ，交JG的延长线于点M，

设正方形GICJ的边长为x，FI=y，

∵四边形ABCD，EFGH，GICJ是正方形，

∴∠B=∠EFG=∠FIG=90°，EF=FG，AB=BC，

∵∠BFE+∠GFI=90°，∠GFI+∠IGF=90°，

∴∠BFE=∠IGF，

∴△BFE≌△IGF（AAS），

同理可证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，

∴MG=NE=GI=BF=x，HM=BE=NH=FI=y，

∴AB=BC=2x+y，AN=2x+y-x-y=x，

∵S梯形ABCJ=S△NAH+S△NEH+S△BFE+S△IGF+S△HGJ+S正方形EFGH+S正方形GICJ，

S△HGJ=12GJ·HM=12xy=S△IGF，

∴S梯形ABCJ=5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ

∴12（x+2x+y）（2x+y）=5×12xy+（x2+y2）+x2，

整理得：y2=2x2，

∴FG2=3x2，

∴FG=3x

∴GFGI=3xx=3

【分析】过点H作HN⊥AB于点N，过点H作HM⊥GJ，交JG的延长线于点M，利用正方形的性质可证得∠B=∠EFG=∠FIG=90°，EF=FG，AB=BC，利用余角的性质可推出∠BFE=∠IGF，再利用AAS可证得△BFE≌△IGF，同理可证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，利用全等三角形的性质可知MG=NE=GI=BF=x，HM=BE=NH=FI=y，可表示出BC，AB，AN的长；再根据三角形的面积公式可得到S△HGJ=12xy=S△IGF；然后证明S梯形ABCJ=5S△IGF+S正方形EFGH17．【答案】（1）3（2）解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为6，所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率P1【解析】【解答】解：（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率P=3故答案为34【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算即可.18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF+∠CDE＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠DAF+∠FDA＝90°，∴∠FAD＝∠CDE，又∵∠C＝∠AFD＝90°，∴△AFD∽△DCE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4，∠ADC＝∠C＝90°．∵CE＝1，∴DE＝DC∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF+∠DAF＝90°．又∵∠ADF+∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF，∴△EDC∽△DAF，∴AFDC∴AF4∴AF＝817即AF的长度为817【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠ADC＝∠C＝90°，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠FAD＝∠CDE，利用有两组对应角分别相等的两个三角形相似，可证得结论.

（2）利用矩形的性质可证得DC＝AB＝4，∠ADC＝∠C＝90°，利用勾股定理求出DE的长，利用余角的性质可证得∠EDC＝∠DAF，因此可证得△EDC∽△DAF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AF的长.19．【答案】（1）解：把x＝0，y＝6；x＝1，y＝0；x＝2，y＝-2代入二次函数y＝ax2+bx+c得：c=6a+b+c=0解得：a=2b=−8∴二次函数的表达式为：y＝2x2-8x+6；（2）0＜n＜6【解析】【解答】解：（2）∵点M（m，n）是抛物线上一点，

∴2m2-8m+6=n，

∵0＜m＜3，

当m=0时，n=6；

当m=2时，n=8-16+6=-2；

当m=3时，n=18-24+6=0

∴当0＜m＜3时，则n的取值范围是-2＜n＜6.

故答案为：-2＜n＜6

【分析】（1）将x，y的三组对应值分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.

（2）将点M代入函数解析式，利用m的取值范围，将m=0，2，3代入函数解析式，可得到n的取值范围.20．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：如图，△AOD即为所求．【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，将△ABC绕点O顺时针旋转90°，可得到对称点A1、B1、C1；然后画出△A1B1C1.

（2）利用相似三角形的性质和勾股定理画出与△ABC相似的△AOD即可.21．【答案】（1）证明：连接AC，如图，∵四边形OADC为菱形，∴AC平分∠OAD，即∠EAC＝∠BAC，∴CE=（2）解：连接BE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵CE=∴OC⊥BE，∴EF＝BF，∴OF为△ABE的中位线，∴OF＝12在Rt△OBF中，BF2＝OB2-OF2＝（252）2-OF2在Rt△CBF中，BF2＝BC2-CF2＝152-（252-OF）2∴（252）2-OF2＝152-（252-OF）解得OF＝72∴AE＝2OF＝7．【解析】【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质可证得∠EAC＝∠BAC，利用在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可证得结论.

（2）连接BE，利用圆周角定理可证得∠AEB=90°，利用垂径定理可证得EF=BF，由此可证得OF为△ABE的中位线，利用三角形的中位线定理可推出OF＝1222．【答案】（1）解：建立如图2、3所示的直角坐标系，则点A、M的坐标分别为（0.0.3）、（1，0.4），设抛物线的表达式为：y＝a（x-1）2+0.4，将点A的坐标代入上式得：0.3＝a（0-1）2+0.4，解得：a＝-0.1，则抛物线的表达式为：y＝-0.1（x-1）2+0.4；（2）解：令y＝-0.1（x-1）2+0.4＝0，解得：x＝-1（舍去）或3（m），即OE＝3m；（3）解：设点D（m，0），则点E（3，0），设抛物线的表达式为：y＝-0.1（x-m）（x-3）＝-0.1x2+（0.3+0.1m）x-0.3m，则c−b24a解得：m＝3−22即OD长为（3−22【解析】【分析】（1）利用已知条件建立平面直角坐标系，可得到点A，M的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数解析式.

（2）由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OE的长.

（3）设点D（m，0），则点E（3，0），设抛物线的表达式为：y＝-0.1x2+（0.3+0.1m）x-0.3m，利用反弹后的最高高度变为0.2m，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可等等OD的长.23．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∵CD⊥BD于点D，∴∠CDB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD；（2）解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝2