第十二章因式分解（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第十二章因式分解（举一反三讲义）全章题型归纳 【沪教版五四制2024】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 3【题型1因式分解的概念】 3【题型2确定公因式】 4【题型3运用提公因式分解因式】 6【题型4运用公式法因式分解】 7【题型5运用提公因式法和公式法因式分解】 9【拔尖篇】 11【题型6利用因式分解进行数的简便计算】 11【题型7利用因式分解进行求值】 13【题型8利用因式分解判断数的整除】 14【题型9因式分解与三角形的综合应用】 17【题型10因式分解与图形面积】 21知识点1因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．知识点2用提公因式法分解因式1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．2.怎样确定公因式（五看）：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号：若多项式中首项符号是“”，则公因式的符号一般为负．3.提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．4.提公因式法分解因式的一般步骤：①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；②提公因式并确定另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．知识点3用平方差公式分解因式1.平方差公式的等号两边互换位置，得a2−b2=语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．知识点4用完全平方公式分解因式1.完全平方公式的等号两边互换位置，得a2+2ab+语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．3.公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．【培优篇】【题型1因式分解的概念】【例1】（2425七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（）A．aa+b+1B．2C．9D．x2【答案】C【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．【详解】解：A、aa+b+1B、2aC、9bD、x2故选：C．【变式11】（2425八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为x+5，则n的值为（A．−10 B．2 C．10 D．15【答案】C【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为x+m，则x2【详解】解：设另一个因式为x+m，则x2而x+mx+5所以5+m=7，解得：m=2，n=5×2=10，故选：C．【变式12】根据下边图形写一个关于因式分解的等式．

【答案】2【分析】根据图形的面积=大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．【详解】解：图形的面积=2a+b又∵图形的面积=2a∴2a故答案为：2a【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．【变式13】（2425八年级上·陕西渭南·阶段练习）甲同学分解因式x2+ax+9时看错了9，分解结果为x+2x+4，则多项式x【答案】x+3【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式x2+ax+9时，甲看错了9，分解结果为x+2x+4【详解】解：∵分解因式x2+ax+9时，甲看错了9，分解结果为∴在x+2x+4=x∴x2故答案为：x+32【题型2确定公因式】【例2】（2425八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式9x2y−3xA．3y B．3xz C．3xy D．3x【答案】C【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握确定多项式各项的公因式，需找出系数部分的最大公约数和各字母的最低次幂是解题关键．根据公因式的定义即可求解．【详解】解：∵9x∴多项式9x2y−3x故选：C．【变式21】写出一个公因式为b的多项式：．（写一个即可）【答案】b2【分析】本题考查了因式分解，以及多项式的定义，掌握公因式的定义是解题关键．根据多项式的定义和公因式为b作答即可．【详解】解：公因式为b的多项式：b2故答案为：b2【变式22】（2425九年级下·贵州六盘水·阶段练习）小红和小华在用提公因式法对多项式2x2−4xA．2 B．x C．2x D．2【答案】C【分析】此题考查了公因式的含义，解题的关键是掌握公因式的含义．根据公因式是指多项式中各项都含有的相同因式求解即可．【详解】解：2x2−4x故选：C．【变式23】整式a2−a和a−12【答案】a−1【分析】本题考查确定公因式，先对a2【详解】解：∵a2∴a2−a和a−12故答案为：a−1．【题型3运用提公因式分解因式】【例3】（2425九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图是甲、乙两位同学因式分解−x2+x甲同学：原式=−xx−1乙同学：原式=x1−xA．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确【答案】A【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．【详解】解：−x2+x=−x故甲、乙的结果都正确．故选A．【变式31】（2425九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式x2y−3+xA．y−3x2+xC．y−3x2−x【答案】D【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式xy−3【详解】解：x==xy−3故选：D．【变式32】（2425八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知x−y=5,xy=3则xy2【答案】−15【分析】本题考查因式分解，将式子xy【详解】解：∵x−y=5，∴y−x=−5，∵xy=3∴xy故答案为：−15【变式33】（2425八年级上·河南驻马店·阶段练习）若多项式x+22x−1−x+2可以因式分解成2x+mx+n【答案】3或−3【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案．【详解】解：∵x+22x−1−x+2∴x+2==2=2x+m故m=2，n=−1或m=−1，n=2，则m−n=3或m−n=−1−2=−3．故答案为：3或−3．【题型4运用公式法因式分解】【例4】下列多项式：①−4x2−y2；②4x2−−yA．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤【答案】B【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可．【详解】解：①−4x②4x③a2④x+1+x⑤m2∴综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤．故选：B．【变式41】（2425八年级下·山西运城·期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（

）A．a2−2a+1 B．a2−4 C．【答案】B【分析】本题考查了平方差公式分解因式．根据平方差公式a2【详解】解：A：a2B：a2−4符合平方差公式，分解为C：a2−a，可提取公因式a，分解为D：a2−4a，可提取公因式a，分解为故选：B【变式42】（2025·黑龙江大庆·一模）分解因式：x2【答案】x−y+3【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可．【详解】解：x===【变式43】在有理数范围内分解因式:6x2【答案】2x−y−1【分析】利用十字相乘法分解6x2−5xy+y2可得2x−y【详解】6====故答案为：2x−y−13x−y+2【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．【题型5运用提公因式法和公式法因式分解】【例5】（2425八年级上·山东烟台·期中）请完成下列各题：(1)分解因式：x3(2)分解因式：x3【答案】(1)x−1(2)x−3【分析】本题主要考查了分解因式：（1）先把原式变形为x3（2）先把原式变形为x3【详解】（1）解：x3===x−1（2）解：x====x−3【变式51】（2025·山东聊城·三模）因式分解：m2x−y+9【答案】x−y【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可．【详解】解：m===x−y故答案为：x−ym+3n【变式52】（2425七年级上·上海·阶段练习）因式分解：a−b2−4【答案】a−b+1【分析】本题考查因式分解，将原式化为a−b2−4a−b【详解】解：a−b=====a−b+1故答案为：a−b+1a−b−5【变式53】（2425八年级上·山西朔州·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是x−yx+yx2+y2，若取当x=9，y=9时，则各个因式的值是x−y=0，x+y=18，xA．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了因式分解的应用,用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到x2x−y【详解】解：∵4x3−xy2∴各个因式的值是x=11，2x−y=12，2x+y=32，∴组成的密码应包含11，12，32，∴组成的密码共有6种：，113212，，123211，，321211，∴不能组成的密码为．故选：D．【拔尖篇】【题型6利用因式分解进行数的简便计算】【例6】计算1−122A．512 B．12 C．712【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式=1−=1=1=7故选：C．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．【变式61】已知20102021−20102019=A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．【答案】B【分析】将20102021−2010【详解】解：2010=∴2010∴x=2019故选：B．【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式62】利用因式分解计算：(1)2018(2)102【答案】(1)4035(2)40000【分析】（1）根据平方差公式a2（2）根据完全平方公式a2【详解】（1）解：原式=2018+2017=4035×1=4035；（2）解：原式====40000．【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键．【变式63】简便计算：(1)2×(2)1−【答案】(1)20000(2)11【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．（1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可；（2）运用平方差公式进行变形进行计算即可．【详解】（1）解：2×=2=2=2×=20000；（2）解：1−===11【题型7利用因式分解进行求值】【例7】（2425八年级上·山东烟台·期中）已知(m+2n)2+2m+4n+1=0，则(m+2n)2024A．−1 B．−2 C．1 D．2【答案】C【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式(m+2n)2+2m+4n+1=0的左边分解因式可得：m+2n+12=0，从而可得【详解】解：(m+2n)整理得：(m+2n)2分解因式可得：m+2n+12∴m+2n=−1，∴m+2n故选：C．【变式71】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知a+b=2，ab=2，则12【答案】4【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式12ab，再利用完全平方公式分解因式得到【详解】解：∵a+b=2，∴1====4，故答案为：4．【变式72】（2425七年级上·广东广州·期中）已知x5+x+1=0，则x3【答案】−1【分析】本题考查了因式分解的应用．将x5+x+1=0左边分解因式得x3−x【详解】解：∵x5∴x5∴x3∴x3−x∵x2∴x2∴x3故答案为：−1．【变式73】已知实数a，b满足a−b2=4，则代数式3a−【答案】−4【分析】此题考查利用公式分解因式，非负数的性质，解题关键是找到a的取值范围．先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可．【详解】解：∵a−b2=4∴3a−=−(∵a=∴a=4时，3a−a3a−故答案为：−4【题型8利用因式分解判断数的整除】【例8】（2425七年级下·江苏苏州·期末）若m是一个正整数，且m除以3余2．判断2m【答案】2m2−5m+11【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整除，掌握完全平方公式是解题的关键．根据题意设m=3k+2，代入代数式，即可得2m2−5m+11=9(2【详解】解：2m2−5m+11由题意设m=3k+2（k为正整数），则2=2=2(9=18=18=9(2k∴2m2−5m+11【变式81】（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数n，可得多项式2n+52−9的结论最为恰当的是（A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除【答案】B【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断．【详解】解：2n+5==4n+4无论n为奇数或偶数，n+4与n+1必为一奇一偶，其乘积为偶数，故4n+4该式恒为8的倍数，因此对任意整数n，原式必被8整除．故选：B．【变式82】（2425八年级上·甘肃张掖·期末）已知整式A=3m+2,B=3m−2,m为任意有理数．(1)A⋅B+4的值可能为负数吗？请说明理由；(2)试说明：当m是整数时，A2【答案】(1)不可能，理由见解析(2)见解析【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，整式的混合运算．（1）利用平方差公式，整式的混合运算计算；（2）利用平方差公式计算．【详解】（1）解：∵A=3m+2,B=3m−2,m为任意有理数，∴A⋅B+4=(3m+2)(3m−2)+4=9=9m∵9m∴A⋅B+4的值不可能为负数；（2）解：A==(3m+2+3m−2)(3m+2−3m+2)=6m⋅4=24m，∵m是整数，∴24m能被24整除．∴m是整数时，A2【变式83】（2425八年级下·河北保定·期末）观察：观察下列各式：7+22−22=11×7发现：比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除．验证：（1）7+102−10（2）设偶数为2n，试说明比2n大7的数与2n的平方差都能被7整除；延伸：（3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”．【答案】（1）27；（2）见解析；（3）见解析【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式、分解因式的应用等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键．（1）先运用平方差公式化简7+102（2）根据“比2n大7的数与2n的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答；（3）根据“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答；【详解】解：（1）∵7+102∴7+102故答案为：27．（2）设偶数为2n，则比2n大7的数为2n+7，由题意得：2n+72==74n+7∵4n+7为整数，∴74n+7∴比2n大7的数与2n的平方差都能被7整除．（3）∵比整数k大3的数为k+3，∴k+32∵6k+9=6k+6+3，∴6k+9被6整除的余数是3，∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3．【题型9因式分解与三角形的综合应用】【例9】阅读材料：若m2−2mn+2n解：∵m∴m∴(m−n)∴(m−n)2=0∴n=4,m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2−2xy+2y(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−10a−12b+61=0(3)已知a−b=8,ab+c2−16c+80=0【答案】(1)9(2)△ABC的最大边c的值为6，7，8，9或10(3)8【分析】（1）根据x2−2xy+2y2+6y+9=0，应用完全平方公式得x−y2+（2）首先根据a2+b2−10a−12b+61=0得a−52+b−62（3）把b=a−8代入ab+c2−16c+80=0，得a−42+c−82【详解】（1）解：∵x2∴x2∴x−y2+y+32=0∴x−y=0，y+3=0，∴x=−3，y=−3，∴xy=−3×即xy的值为9；（2）∵a2∴a2∴a−52+b−62=0∴a−5=0，b−6=0，∴a=5，b=6，∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且c为最大边，∴6−5<c<6+5，c≥6，∴6≤c<11，∴△ABC的最大边c的值为6，7，8，9或10；（3）∵a−b=8，∴b=a−8，∵ab+c∴aa−8即a2∴a2∴a−42+c−82=0∴a−4=0，c−8=0，∴a=4，c=8，∴b=a−8=4−8=−4，∴a+b+c=4+−4∴a+b+c的值为8．【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式的应用，三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，正确理解阅读材料并能运用其方法及公式是解题的关键．【变式91】已知a，b，c为△ABC三边的长，当2a2+b2【答案】等边三角形【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式对原式正确的因式分解是解题的关键．先分组因式分解，然后再根据非负数的性质求得a、b、c的关系即可解答．【详解】解：2a2aa−b2∴a−b=0，a−c=0，∴a=b，a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【变式92】（2425八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读理解：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2x2这种分解因式的方法叫分组分解法．解决问题：(1)分解因式：a2(2)△ABC三边a，b，c满足a2−ab−ac+bc=0，判断【答案】(1)a−2+b(2)△ABC是等腰三角形．【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义．（1）先将前三项分为一组，运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解即可；（2）先运用因式分解，将等式变形为a−ba−c=0，从而得出a=b或【详解】（1）解：a===a−2+b（2）解：a2aa−ba−ba−ca−b=0或a−c=0，a=b或a=c，∵a，b，c是△ABC的三边，∴△ABC是等腰三角形．【变式93】（2425八年级下·山东济南·阶段练习）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2+2mn+2n2−6n+9=0解：m2∴即m+n∴m+n=0，n−3=0，∴m=−3，n=3，为什么要对2n(1)若x2−4xy+5y(2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2【答案】(1)x=−2(2)三角形的周长为16或17【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再结合非负数的性质计算即可得解；（2）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再结合非负数的性质计算得出a=5，b=6，再由等腰三角形的定义，分两种情况，分别计算即可得解．【详解】（1）解：∵x2∴x2∴x−2y2∴x−2y=0，y+1=0，∴x=−2，y=−1；（2）解：∵a2∴a2∴a−52∴a−5=0，b−6=0，∴a=5，b=6，∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a为腰长时，三边长为5，5，6，能组成三角形，△ABC的周长=5+5+6=16；当b为腰长时，三边长为5，6，6，能组成三角形，△ABC的周长=5+6+6=17；综上所述，三角形的周长为16或17．【题型10因式分解与图形面积】【例10】（2425七年级下·山东聊城·期末）阅读以下材料：材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2．材料2：分解因式：(a−b)2解：将“a−b”看成整体，令a−b=A，则原式=A2−2A+1=(A−1)2上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你根据以上材料解决下列问题：(1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________；(2)计算：20252(3)根据材料2进行因式分解：①x2②x2【答案】(1)a(2)4×(3)①x+2y+2x+2y−2；②【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握整体思想换元．（1）原式利用图形面积即可求解；（2）原式中50=2×25整理后，利用完全平方公式分解即可；（3）①原式中x2+4xy+4y2利用完全平方公式分解，令②原式添加辅助项+4y2−4y2利用完全平方公式分解，得(x−2y)【详解】（1）解：a2（2）2025====4000000=4×10（3）x=(x+2y)令x+2y=A，原式==A+2再将x+2y=A还原，得到：原式=x+2y+2②x===(x−2y)令x−2y=A，原式==A+3y再将x−2y=A还原，得到：原式=x−2y+3y【变式101】（2425七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且m>n．（以上长度单位：cm）(1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；(2)观察图形，可以发现代数式2m(3)若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm【答案】(1)6(2)m+2n(3)9【分析】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．（1）根据整式的加减混合运算法则计算；（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；（3）变形完全平方公式，代入计算即可．【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为2m+n，一条水平裁剪线长为m+2n，∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：2m+2n（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得m+2n2m+n，由九个小图形之和可得2∴2即2m2+5mn+2故答案为：(m+2n)(2m+n)；（3）解：依题意得，2m2+2∴m∵(m−n)∴(m−n)【变式102】（2425七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读理解：若x满足30−xx−10=1