第三章圆的基本性质（举一反三讲义）数学浙教版九年级上册（原卷版）

第三章圆的基本性质（举一反三讲义）全章题型归纳 【浙教版】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 9【题型1圆的相关概念及性质】 9【题型2图形的旋转】 10【题型3垂径定理及其应用】 11【题型4圆心角、弧、弦的关系】 12【题型5圆周角定理】 13【题型6圆内接四边形的性质】 15【题型7点和圆的位置关系】 16【题型8正多边形】 16【题型9弧长的计算】 18【题型10扇形面积的计算】 19【题型11圆锥的侧面积】 20【拔尖篇】 22【题型12圆与函数的综合】 22【题型13圆与格点作图】 23【题型14圆中的最值问题】 24【题型15隐圆问题】 26【题型16圆中的多结论问题】 27知识点1圆的定义及表示方法1.定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”．（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．确定一个圆需要两个要素圆心：确定圆的位置，圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的特性（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．知识点2圆的有关概念弦与直径连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．2.弧、半圆、劣弧、优弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（3）弧3.等圆与等弧能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．同圆或等圆的半径相等.知识点3垂直于弦的直径1.圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．2.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．③AM③AM=⑤A①CD是直径②CD⊥AB如图，④A⇒3.垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．①①CD是直径如上图，②AM=（AB不是直径）③CD⊥AB⑤A④A⇒由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．知识点4弧、弦、圆心角圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角．圆的旋转对称性将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心．圆心角及其所对的弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．如图，①如图，①∠AOB=∠C⇒②A③AB=推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，如上图，②AB⇒①∠AOB=∠C③AB=如上图，③AB=CD如上图，③AB=CD⇒①∠AOB=∠C②AB=由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”．知识点5圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，∠ABC=1圆周角定理的推论（1）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，AC=BD⇒（2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB=90°；∠ACB=90°（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．圆周角与圆心角的区别圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个联系两边都与圆相交知识点6圆内接多边形圆内接多边形的定义（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．知识点7点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为点知识点8三角形的外接圆1.圆的确定经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤：如图，（1）连接AB，BC；（2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O；（3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求．2.三角形的外接圆（1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点．（3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．（4）三角形的外心的位置类型锐角三角形直角三角形钝角三角形图示位置外心在三角形内部外心是斜边的中点外心在三角形外部知识点9正多边形及有关概念1.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．2.圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆．3.与正多边形有关的概念（1）中心，即正多边形的外接圆的圆心；（2）半径，即正多边形的外接圆的半径；（3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角；（4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离．知识点10正多边形的有关计算设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则（1）每个内角为(n−2)⋅180°n；每个中心角为（2）半径、边长、边心距的关系为R（3）周长l=na；面积以正六边形为例：知识点11正多边形的画法画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法：1.用量角器等分特点：（1）可以画出任意正多边形；（2）边数很大时，容易产生较大误差．步骤：（1）用量角器画一个等于360°n的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的（2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点；（3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形．2.用尺规等分特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确．画正六边形的步骤：（1）作直径AD；（2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E；（3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF．知识点12弧长公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR360，即πR180知识点13扇形及扇形的面积公式1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是πR2360，于是圆心角为知识点14圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．3.圆锥的基本特征（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．（2）圆锥的母线长都相等．（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．4.圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=πrl．全面积就是它的侧面积与它的【培优篇】【题型1圆的相关概念及性质】【例1】如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（

）A．25° B．30° C．50° D．60°【变式11】如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【变式12】如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，求证：OE=OF．【变式13】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在⊙A上，则⊙A与数轴正半轴的交点E表示的数为．【题型2图形的旋转】【例2】（2425九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（

）A．将甲绕点O顺时针旋转90°．B．将乙绕点O逆时针旋转90°．C．将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°．D．将甲先向下平移至点O和F重合，再绕点F逆时针旋转90°．【变式21】（2025·陕西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AC=2，M为AC边的中点．将△ABC绕点M旋转一定角度得到△A′B′C′，点A，B，CA．2 B．3 C．1 D．1【变式22】（2021九年级上·陕西西安·阶段练习）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．【变式23】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均为格点．请仅用无刻度直尺完成下列画图，并保留画图痕迹（画图结果用实线表示画图过程用虚线表示）．(1)将△ABC绕点O旋转180°，得到△DEF，画出△DEF．(2)作△ABC的边AB上的高CH．【题型3垂径定理及其应用】【例3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，交AB于点E，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D=30°，AB=43，则⊙O的半径为【变式31】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．(1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC；(2)如图2，若AB=6，CD=8，DF是圆的直径，连接CF，求⊙O的半径．【变式32】（2025·江西九江·三模）如图，AB是⊙O的直径，四边形AFDE是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．(1)在图1中，点F与点O重合，请作出AD的中点G．(2)在图2中，请作出AD的中点H．【变式33】（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离L=40m，弓形的高度S=10(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱桥线上的对应点E、F的距离均应不小于2m．某日，测得拱顶C点高出水面15m．现有一艘货轮露出水面部分的高度为13.2m，AB=14【题型4圆心角、弧、弦的关系】【例4】（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，M为劣弧AC上一点，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，翻折后点M恰好与圆心O重合，则∠B的大小等于（

）A．50° B．55° C．60° D．65°【变式41】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上位于直径AB同侧的两点，且AD=BC，连接(1)求证：△ABD≌△BAC；(2)连接OC，若OC⊥BD，求∠ABD的度数．【变式42】（2025·青海西宁·中考真题）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点(1)求证：∠AOE=∠AOF；(2)求证：四边形AMON是菱形；(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．【变式43】如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与A、C重合），连接DO并延长交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若△CDG的周长记为C1，△ABC的周长记为C2，则C1

【题型5圆周角定理】【例5】（2025·山东青岛·二模）如图，AB，DE是⊙O的直径，C是AE的中点，连接AC，CE，BE，BD，BC，若∠A=62°，则∠D的度数为（

）A．34° B．31° C．30° D．24°【变式51】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，且AC平分∠BAO，D是⊙O上一点，连接CD，BD．若∠ACB=20°，则∠D的度数为．【变式52】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的直线CE，交OF于点E，其中OC⊥CE．(1)求证：EC=ED；(2)若OA=8，EF=6，求AD的长．【变式53】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．(1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC；(2)如图2，若AB=6，CD=8，DF是圆的直径，连接CF，求⊙O的半径．【题型6圆内接四边形的性质】【例6】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【变式61】如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1:2:4，则∠D=．【变式62】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分∠BDE．(1)求证：CA=CB；(2)若点B为CAD的中点，DE=2，CE=6时，求【变式63】（2025·安徽六安·三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE并延长交BA延长线于点F．(1)求证：AF=BC；(2)若BC=2，求EF的长．【题型7点和圆的位置关系】【例7】矩形ABCD中，AB＝8，BC=35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PDA．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．【变式71】（2425九年级上·广东江门·期末）如图，在⊙O中，弦MN的长为23，点A在⊙O上，MN⊥OA,∠ANM=30°．若⊙O所在的平面内有一点P，且OP=2，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【变式72】点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是．【变式73】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【题型8正多边形】【例8】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是．【变式81】（2025·河南濮阳·二模）如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，点C在⊙O上，∠ACB=30°，则n=（

）A．4 B．6 C．8 D．12【变式82】（2425九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目：(1)如图①，在⊙O内，作任意两条直径AB、CD，顺次连接A、C、B、D，则画出了⊙O的一个内接矩形，请说明理由；(2)如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法）【变式83】（2425九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图；(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF．(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH．(3)图②中正八边形ABCDEFGH的面积为______．【题型9弧长的计算】【例9】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线A．5π B．4π C．72【变式91】（2025·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E．(1)如图1，连接DE，求∠ADE的度数；(2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=6，求DE的长．【变式92】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF．(1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数；(2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；(3)当∠EOF=150°时，求EMF的长．【变式93】（2025·四川凉山·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°，若BC=22，则BC的长为【题型10扇形面积的计算】【例10】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形ABCD中，AB=42，AD=2，以AB为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（

A．4π−8 B．2π−4 C．43π−8【变式101】（2425九年级上·广东韶关·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，把△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C′处，则ACA．16π B．12π C．8π D．4π【变式102】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23，点C在OB上，且OC=AC．延长CB到D，使CD=CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为（结果保留π【变式103】（2425九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，点O､B的坐标分别为0,0､3,0，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得△OA(1)画出△OA′B(2)求旋转过程中点B所经过路径BB(3)求线段OA在旋转过程中扫过的平面图形的面积【题型11圆锥的侧面积】【例11】综合与实践主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．在制作好的生日帽中，AB=6cm，l=6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点【变式111】（2025·浙江温州·二模）如图，圆锥的底面半径OB=5，高OA=12，该圆锥的侧面积是（

）A．60π B．85π C．65π【变式112】（2025·江苏徐州·二模）圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是°．【变式113】在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸片重叠部分三层，且每层为(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2【拔尖篇】【题型12圆与函数的综合】【例12】（2526九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的坐标分别为−2,0、0,4，过点M的直线与⊙M的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接AE、OD、BD．已知(1)⊙M的直径为________，点M的坐标为________；(2)求直线DF所对应的函数表达式；(3)已知点P是x轴上的一个动点，当∠PEA=∠OBD时，线段OP的长度为多少？【变式121】（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在正方形ABCD中，AB=m，以B为圆心，AB为半径作弧AC，F为弧AC上一动点，作矩形DEFG，E、G在正方形ABCD的边上，设EF=x，矩形DEFG的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为2,8，则m=．【变式122】已知反比例函数y=kxx>0与正方形ABCO交于点M，N2,4，连接ON，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点

(1)求反比例函数的解析式；(2)①求扇形DOE的半径；②点M是否在圆弧DE上？________（填“在”或“不在”）；(3)比较阴影部分S3与S【变式123】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线y=kx交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y=x向上平移m（m>0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.【题型13圆与格点作图】【例13】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中作弦AB的圆心角．(2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上．【变式131】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．(2)在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．【变式132】（2425九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在6×6的正方形网格中，A，B，C为⊙O与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，先画出圆心O，再在⊙O上画点D，使AD⊥AB；(2)在图2中，先画AB的中点E，再画弦AF=BC．【变式133】（2425九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，并在AB⏜上作点D，使AD=AC(2)在图②中，⊙O经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，点D是⊙O和网格线的交点，连接AB，BD，请在AD上作点E，使BE平分∠ABD，并在BC上作点F，使得CF∥BD．【题型14圆中的最值问题】【例14】如图，⊙O半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（

）A．5−1 B．1 C．2−1 【变式141】（2425九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆弧上的一点，连接AC，将劣弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，取劣弧AD的中点为E，连接OE．已知AB=2，则点E与圆心O距离的最小值为（

）

A．12 B．2−1 C．2−2【变式142】如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则PA+PB的最小值为（

）A．152 B．172 C．173【变式143】（2425九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=45°，AC=8，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值是．【题型15隐圆问题】【例15】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BD的中点，若∠BAC=15°，∠DAC=45°，CD=4，则EF的长为

(

)A.2 B.22 C.2【变式151】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BD的中点，若∠BAC=15°，∠DAC=45°，CD=4，则EF的长为

(

)A.2 B.22 C.2【变式152】辅助圆之定角定高求解探究(1)如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；(2)如图②，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断AB是否存在最小值，