专题23二次函数与一元二次方程不等式（举一反三讲义）数学人教A版2019（原卷版）

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义）【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1解不含参数的一元二次不等式】 2【题型2解含参数的一元二次不等式】 2【题型3解分式、高次、绝对值不等式】 3【题型4由一元二次不等式的解确定参数】 4【题型5一元二次不等式恒成立问题】 5【题型6一元二次不等式有解问题】 5【题型7一元二次不等式的实际应用】 6【题型8二次函数的图象分析与判断】 8【题型9二次函数的单调性问题】 9【题型10三个“二次”关系的应用】 10知识点1一元二次不等式1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．3．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.4．一元二次不等式恒成立、存在性问题【题型1解不含参数的一元二次不等式】【例1】（2425高一上·新疆和田·期末）不等式−3x2+7x−2<0A．13,2 B．−∞,13∪2,+∞【变式11】（2425高一上·山西晋中·期中）不等式x2−2xA．x∣x>0 B．{x∣x<2} 【变式12】（2425高一上·湖南娄底·期末）不等式x2+5xA．{x∣x<−1或x>6}C．x−6<x<1【变式13】（2425高一上·云南昭通·阶段练习）不等式−x2−3A．−4,1 B．−1,4C．−∞,−4∪1,+∞ D．【题型2解含参数的一元二次不等式】【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若0<t<1，则关于x的不等式(x−tA．{x|1C．{x|x【变式21】（2425高一上·陕西渭南·阶段练习）关于x的不等式ax2+2aA．−∞,−2 B．−2,C．−∞,−2∪1a【变式22】（2425高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数a∈R，则不等式x+aA．x−a<C．{x|x>−a或x【变式23】（2425高一上·上海金山·期末）当0<a<1时，关于x的不等式x−3A．−∞,a−3aC．3,a−3a【题型3解分式、高次、绝对值不等式】【例3】（2425高一上·安徽宿州·期末）不等式2x+1x−1A．−12,1C．−∞,−12∪【变式31】（2425高一上·辽宁·期中）不等式x+3x−2A．−3,1∪2,+∞ B．−∞,−3∪1,2 C．【变式32】（2425高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集：(1)x−1(2)x−3【变式33】（2425高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集：(1)x(2)2(3)2【题型4由一元二次不等式的解确定参数】【例4】（2324高一下·云南玉溪·期末）若关于x的不等式x2+bx+c≤1b,A．−12 B．−32 【变式41】（2425高一上·天津·期末）关于x的不等式2x2+1−2aA．2,3 B．2,3 C．2,3 D．2,3【变式42】（2425高一上·云南昭通·期中）已知不等式ax2+bx+c<0A．aB．cC．aD．cx2【变式43】（2425高一上·湖北武汉·期中）已知关于x的不等式x2−a+1xA．5,6 B．−4,−3C．−4,−3∪5,6 【题型5一元二次不等式恒成立问题】【例5】（2425高一上·重庆·期末）若不等式a−2x2−2a−2xA．−∞,−2∪2,+∞ C．−2,2 D．−2,2【变式51】（2425高一上·广东江门·阶段练习）任意x∈−1,1，使得不等式x2−xA．m≥12 B．m≤14【变式52】（2425高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式ax2−3(1)求a,(2)若不等式mx2+mx+3【变式53】（2425高一上·全国·课前预习）设函数y=(1)若对于一切实数x,y<0(2)对于1≤x≤3,y【题型6一元二次不等式有解问题】【例6】（2425高一上·江西南昌·阶段练习）若关于x的不等式x2−4x>a2−5aA．0,5 B．1,4C．(−∞，0)∪(5，+∞) D．−∞，1【变式61】（2425高一上·福建莆田·阶段练习）若∃x∈x|1≤x≤3，使得A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3【变式62】（2425高一上·福建福州·阶段练习）设y=(1)当a=2时，解关于x的不等式y(2)当a<0时，解关于x的不等式y(3)若关于x的不等式y≥−2在x≥1时有解，求实数【变式63】（2425高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=2x(1)当a=1时，解不等式f(2)若对任意x>0，都有fx>(3)若对∀x1∈0,1，∃x【题型7一元二次不等式的实际应用】【例7】（2425高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【变式71】（2425高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（

）A．25元 B．20元 C．10元 D．5元【变式72】（2425高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A．x15≤x<22C．x15≤x<20【变式73】（2425高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元（1≤x≤10，x∈Z），则被租出的客房会减少15xA．250元 B．260元 C．270元 D．280元知识点2三个“二次”的关系1．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系∆>0∆=0∆<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2（x1<x2）有两个相等的实数根没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型8二次函数的图象分析与判断】【例8】（2425高一上·福建福州·阶段练习）不等式cx2+ax+b>0的解集为A．

B．

C．

D．

【变式81】（2425高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式cx2+ax+b>0【变式82】（2425高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=A． B．C． D．【变式83】（2425高一上·山西·期中）已知函数fx=ax2+bxA．−12,1C．−∞,−2∪1,+∞ 【题型9二次函数的单调性问题】【例9】（2425高一上·广西钦州·阶段练习）“m<−17”是“函数fx=−3x2A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式91】（2425高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数f(x)=ax2+A．(−∞,−1] B．[−1,+∞)C．(−∞,2] D．[2,+∞)【变式92】（2425高一上·陕西渭南·期末）已知函数f(x)=A．f(0)>f(1) B．f(−2)>f(4)【变式93】（2425高一上·海南·阶段练习）若函数fx=x2+1+aA．−∞,7 B．7,+∞ C．−7,+∞ D．−∞,−7【题型10三个“二次”关系的应用】【例10】（2425高一上