专题42相似多边形探索三角形相似的条件（举一反三讲义）数学北师大版九年级上册

专题4.2相似多边形、探索三角形相似的条件（举一反三讲义） 【北师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1识别相似多边形】 3【题型2由相似多边形的性质求值】 5【题型3利用平行判定相似】 7【题型4利用两角相等判定相似】 9【题型5利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 11【题型6利用三边对应成比例判定相似】 15【题型7选择或补充条件使两三角形相似】 18【题型8裁剪使两三角形相似】 20【题型9尺规作图使两个三角形相似】 23【题型10数相似三角形的对数】 27【题型11存在相似三角形】 31【题型12由分割求值】 36【题型13分割的应用】 39知识点1相似多边形1.定义：两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比.知识点2相似三角形1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC和△A12.全等三角形与相似三角形的比较全等三角形相似三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形特征形状相同且大小相等形状相同但大小不一定相等图形表示对应边相等成比例对应角相等相等相似比1可以是1，也可以是其他正实数知识点3三角形相似的判定如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．1.定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′2.定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′，若3.定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4.有关三角形相似的常见图形图形特征所需条件证明方法平行线型已知DE//BC，所以同位角、内错角相等两角分别相等的两个三角形相似．△斜交型有公共角或对顶角，∠两角分别相等的两个三角形似．△公共角的两边对应成比例，AB两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△母子型∠两角分别相等的两个三角形相似．△旋转型有一组角对应相等，公共角（对应角）的两边对应成比例，∠1=∠两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△知识点4分割如果点P把线AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，即这种分割为分割，点P称为线段ABAP与PB的比值5−12称为分割数（简称数）.分割数是一个无理数，在应用时取其接近值【题型1识别相似多边形】【例1】（2425八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意；B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。故选：A．【变式11】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的．（从平移、轴对称、相似、旋转中选）【答案】相似【分析】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，故答案为：相似．【变式12】（2425九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组LOGO中，不相似的一组是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义．结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可．【详解】解：A选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，A选项错误；B选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，B选项错误；C选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，C选项错误；D选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，D选项正确．故选：D．【变式13】（2425九年级上·河北邯郸·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．【题型2由相似多边形的性质求值】【例2】（2425九年级上·全国·假期作业）在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cmA．15cm B．18cm C．20cm【答案】A【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键．利用相似多边形的性质求解．【详解】解：设放大后的长为xcm由题意：93解得：x=15．所以放大后的矩形的长为15cm故选：A．【变式21】（2425九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（

）A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长【答案】B【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解．【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变．故选：B．【变式22】（2425九年级上·天津南开·期末）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，点A, B, C, A．∠D=81° B．∠F=83° C．∠G=78° D．∠H=91°【答案】A【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为360°，求出每一个内角的角度，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠F=∠B=78°，∠G=∠C=83°，∠A=∠E=118°，∠D=∠H，又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠H=∠D=360°−∠A−∠B−∠C=81°．故选：A．【变式23】（2025九年级下·全国·专题练习）2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是．【答案】（2）【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可．【详解】解∶∵160240=23，120160∴160240则（2）不符合标准，故答案为∶（2）．【题型3利用平行判定相似】【例3】如图，AB //CD //EF，则图中相似三角形的对数为(

)A.4对 B.3对 C.2对 D.1对【答案】B

【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏．由AB//CD//EF，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，【详解】解：∵AB//CD//EF，∴△ACD∽△AEF，△ECD∽∴图中共有3对相似三角形．故选B．【变式31】如图，AB，CD相交于点O，AC//BD.【答案】证明：AC//BD，∴△OAC∽【解析】本题考查相似三角形的判定．根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由此即可证明问题．【变式32】如图，在△ABC中，点D、M在AB上，点E、N分别在BC、AC上，且DE/​/AC，MN/​/BC，DE交MN【答案】解：图中与△ABC相似的三角形有3个，△AMN∽△ABC，△DBE∽理由：∵MN//BC，∴△AMN∽△ABC，∵DE//AC，∴△DBE∽∴△DMO∽【解析】本题考查了对相似三角形的判定的应用，注意：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似．根据相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，即可推出答案．【变式33】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有

对.【答案】3

【分析】此题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质．注意相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型．由四边形ABCD是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得△BCE∽△FDE，△FDE∽【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△BCE∽△FDE，∴△BCE∽故相似三角形共有3对．【题型4利用两角相等判定相似】【例4】（2425九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点FA．△BFA B．△BAE C．△BEC【答案】B【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由三角形角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，即∠DBF=∠ABE，由三角形外角的性质可推出∠BFD=∠BEA，于是可证得△【详解】解：∵BE是∠∴∠CBE即：∠DBF又∵∠BAD∴∠BFD∴△BDF且依据已知条件，无法证明△BFA、△BEC、△AEF故选：B．【变式41】（2425九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（

）A．△BCD∽△ACDC．△ACD∽△【答案】C【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定．根据作图可知∠ACD=∠ABC【详解】解：根据作图可知∠ACD又∠CAD∴△ACD故选：C．【变式42】（2425九年级上·陕西榆林·期中）如图，AB⊥BC，BD⊥CD，【答案】见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出∠A=∠BCD【详解】证明：∵∠ACD=90°，∴∠A+∠ACB∴∠A∵AB⊥BC∴∠ABC∴△ABC【变式43】（2425九年级下·上海·假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【答案】见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得∠CAB=45°，从而可得出∠CAP+∠PAB=45°，又【详解】证明：∵∠ACB=90°，∴∠CAB即∠CAP∵∠APC∴∠CAP∴∠ACP∵∠APB∴△CPA【题型5利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】【例5】（2425九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG，求证：△AFC【答案】见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，先根据正方形的性质得△ADC和△AGF都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得∠DAC【详解】证明：∵AC，AF分别是正方形ABCD和正方形AEFC的对角线，∴△ADC和△AGF∴∠DAC=∠GAF∴∠DAG∴∠DAG∴△AFC【变式51】（2425九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB=9，AE=3，【答案】见解析【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出DE，再证明ABDE=AE【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=9∴AD=AB∵AE∴DE∴ABDE∵DF∴AEDF∴ABDE∴△ABE∽△DEF【变式52】（2425九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB【答案】见解析【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°，【详解】证明：∵△PCD∴∠PCD=∠PDC∴∠PCA又∵AC=1，∴AC∴△ACP【变式53】（2425九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．(1)若AC=8，求AG(2)如果AB=AC，求证：【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得EF∥BD，由平行线分线段成比例定理得AGGO=AFFB=1（2）根据中点的定义及已知得AFAC=12，由（1）知【详解】（1）解：如图，连接BD交AC于点O，∵点E和点F分别为边AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥∴AGGO∴AG=∵四边形ABCD为平行四边形，AC=8∴AO=∴AG=∴AG的长为2；（2）证明：∵F为边AB的中点，∴AF=∵AB=∴AFAC∵AG∴AGAF∴AFAC∵∠FAG∴△AFG【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键．【题型6利用三边对应成比例判定相似】【例6】2425九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，∠ABE=90°，且【答案】△ACD【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出AC=2,AD=【详解】证明：△ACD由勾股定理AC=ACEC∴ACEC∴△ACD【变式61】（2425九年级上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（A．AB=4，BC=8，AC=10；

DE=20B．AB=3，BC=4，AC=6；

DE=6C．AB=12，BC=15，AC=24；

DE=16D．AB=3k，BC=4k，AC=5k；【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A、∵AB∴两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似；B、∵AB∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；C、∵AB∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；D、∵AB∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；故选：A．【变式62】（2425九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．【详解】解：连接BF，如图，网格的特点可知AB=2，CF∴BC∴△故选：C．【变式63】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【答案】D【分析】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则小长方形的长为2a，正方形的边长为4【详解】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则小长方形的长为2a，正方形的边长为4图①三角形的三条边长分别为：2a图②三角形的三条边长分别为：2a图③三角形的三条边长分别为：2a图④三角形的三条边长分别为：2a∵2a∴图①和图④的两个三角形相似；故选D．【题型7选择或补充条件使两三角形相似】【例7】如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BC【答案】①②③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①∠2=∠A，∠C=∠②∠1=∠CBA，∠C=∠③BCAC=CDBC，④BCAC=DBAB，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．【变式71】（2425九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，则要使△ABC【答案】4【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】解：∵AC平分∠BAD∴∠BAC当ABAC=AC即：AC∵AB=9，AC∴62∴AD=4故答案为：4．【变式72】（2425九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD与△【答案】∠A【分析】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．根据题意可证∠ADB【详解】解：∵AD∥∴∠ADB∴当∠A=∠BDC或∠ABD=∠DCB时或故答案为：∠A【变式73】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAEA．∠B+∠4=180°B．CD∥AB C．【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180°时，可证明CD∥BM，由平行线的性质得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠【详解】解：A、∵∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAEB、∵CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAEC、∵AE∥∴∠1+∠B∵∠1=∠4，∴∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAED、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明△MAE故选：D．【题型8裁剪使两三角形相似】【例8】如图，在△ABC纸片中，∠A=72°,∠B=38°，将△A．①② B．②④ C．③④ D．①③【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：图①中，∵∠B∴△BDE图②中，只有∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△图③中，∠C∴△CDE图④中，只有∠C不能推出△CDE和△综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确．故选：D．【变式81】（2425九年级上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；C、6−39−7=3D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意．故选：D．【变式82】数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（

）A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似【答案】A【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得OAOC【详解】解：图（1）由35°和75°得另一个角为180°−35°−75°=70°，由75°和70°得另一个角为180°−70°−75°=35°，则两三角形全等；图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8∴OAOC∵∠AOC∴△AOC故选：A．【变式83】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△A． B．C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，A．因为DCAC=24=12B．因为ADAB=36=12，C．因为BDAB=23，ABBC=D、因为BDBC=12，BCAB=故选：A．【题型9尺规作图使两个三角形相似】【例9】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断．【详解】解：B、由作图知，DE∥∴△ADEC、由作图知，四边形BDEC是圆内接四边形，∴∠ADE∵∠A∴△ADED、由作图知，点D和点E分别是AB和AC的中点，∴DE∥∴△ADEA、由作图知，CD和BE分别是△ABC的角平分线，不能说明△ADE和故选：A．【变式91】（2425九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，请用尺规在AC上求作一点D【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．作AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，由此即可得．【详解】解：如图，点D即为所求．

理由：由线段垂直平分线的性质得：AD=∴∠A∵BA∴∠A∴∠ABD在△ABD和△∠ABD∴△ABD【变式92】（2425九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接BD，请用尺规作图法在BD上找一点P，使得△ABD【答案】见解析【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，相似三角形的判定，先在∠BCD的内部作∠ABP=∠【详解】解：如图，点P即为所求．理由：∵AD∥∴∠ADB由作图可得：∠ABP∴△ABD【变式93】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△A．B．C． D．【答案】B【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，【详解】解：当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，∵BD∴∠ADB∴∠BAD∵∠ABC∴∠ABD∴∠BAD∴△BAD根据作图痕迹可知：A选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，故选项A不符合题意；B选项中，BD是AC的垂线，故选项B符合题意；C选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，故选项CD选项中，BD不与AC垂直，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质1，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键．【题型10数相似三角形的对数】【例10】（2425九年级上·安徽滁州·期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，A．5对 B．6对 C．10对 D．20对【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键；根据相似三角形的判定定理分析即可求解；【详解】解：图中有个三角形，分别是：△ABC、△BDE、△DEC、△∵AC⊥BC，CD⊥∴∠BED∴AC∥∴△ABC∵∠B=∠B∴△BDE∴△ABC∵∠A=∠A∴△ABC∵AC∥∴∠CDE∵∠CED∴△DEC综上所述：△ABC即：△ABC∽△DBE，△ABC∽△△DBE∽△CDE，△DBE∽△ACD，△DBE∽△CBD故选：C．【变式101】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【答案】C【详解】FD=在Rt△BCF中，在Rt△DEF中，在Rt△ABE在Rt△BEF根据相似三角形的判定，RtΔDEF∼RtΔABE∼RtΔEBF,故选C.【变式102】（2425九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，图中的相似三角形共有（A．3对 B．4对 C．6对 D．7对【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：如图：∵△ABC、△∴∠A∴△ABC∵∠A=∠F∴△ADG∵∠F=∠C∴△FHG∴△ADG∵∠ADG∠ADG∴∠AGD又∵∠A∴△ADG∴△BED△BED综上，相似三角形共有7对，故选：D．【变式103】（2425九年级上·河北保定·期中）如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，连接BE,AF⊥BE于点F,AF的延长线交BC于点A．4对 B．6对 C．8对 D．5对【答案】B【分析】本题考查了三角形的判定，矩形的性质．根据矩形的性质以及AF⊥BE得到∠ABC=∠C=∠AFB=∠BFG【详解】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，AF⊥∴∠ABC∵∠1=∠1，∠2=∠2,∴△AFB∵∠1+∠ABF∴∠1=∠2∴△AFB∴△AFB∴根据相似的传递性可得：△AFB∴有6对相似三角形，故选：B．【题型11存在相似三角形】【例11】如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB=4，CD=6，BC=14，P为直线BC上一点，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C【答案】6【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．分3种情况求解即可：①当点P在线段BC上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时．【详解】解：∵AB⊥∴∠C=∠B①当点P在线段BC上运动时，当PB:DC=∴x6∴x1=2，当PB:PC=∴x14−解得：x=5.6②当点P在B的左侧运动时，当PB:DC=∴x6∴x1=−7+72当PB:PC=∴x14+解得：x=28③当点P在点C的右侧运动时，当PB:DC=∴x6∴x1=7+72当PB:PC=∴xx解得：x=−28综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的P点有6个．故答案为：6．【变式111】在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A．6条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．【详解】解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BO是对应边时，又有两条满足条件的直线，所以共有四条．故选C．【变式112】如图，在矩形ABCD中，AB=7.5,BC=8，点E是AB上一点，BE=2，点P是边BC上的一个动点，若使得以P、C、【答案】3【详解】设BP=在矩形ABCD中，∠B当EBPC=BP即28−当EBDC=BP即27.5使得以P、C、D为顶点的三角形与【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的．【变式113】如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点【答案】11【分析】本题考查相似三角形的判定．根据平面内点P使得△ABP与△ABO相似，即可得到不与点O重合的点【详解】解：如图所示，当∠ABP=∠AOB时，△ABP∽△如图所示，当∠BAP=∠AOB，∠如图所示，当∠P=∠AOB，∠如图所示，当∠BAO=∠BAP，∠AOB=∠P时，如图所示，当∠P=∠BAO，∠如图所示，当∠BAP=∠ABO，∠综上所述，符合题意的点P的位置有11个．故答案为：11．【题型12由分割求值】【例12】（2425八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段AB的两个分割点，若AB=2，则CD的长为（

）A．3−5 B．22−4 C．2【答案】C【分析】本题考查了分割，线段的和差，由题意可得AC=BD=5【详解】解：如图：，∵点C、D是线段AB的两个分割点，∴AC=BD=5∴CD=AC+BD−AB=5故选：C．【变式121】（2425九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段AB的两个分割点，点C（填是或不是）线段AD的一个分割点．【答案】是【分析】本题考查了分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC:BC），叫做把线段AB分割，点C叫做线段AB的分割点．其中AC=5利用分割的定义得到AD=5−12AB,BC=5−12AB，可判断AD=BC，AC=BD【详解】解：∵点C，点D是线段AB的两个分割点，∴AD=5∴AD=BC，∴AD−CD=BC−CD，即AC=BD，∴AC=AB−BC=AB−5∴AC:AD=3−∴点C是AD的分割点．故答案为：是．【变式122】（2425九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是5−12的矩形叫矩形，矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了矩形的设计．已知四边形ABCD是矩形(AB<BC)，点P是边AD上一点，且∠PBC=45°，则PDDCA．5−12 B．12 C．【答案】A【分析】本题考查矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用矩形的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解．通过设AB=a，根据矩形性质表示出AD的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求出PDDC【详解】解：如图：设AB=a，∵四边形ABCD是矩形(AB<BC)，且宽与长的比是5−1∴ABBC∴BC=AB∵∠PBC=45°，∴∠ABP=∠APB=45°，∴△ABP是等腰直角三角形，则AP=AB=a，∵PD=AD−