第13讲直线与圆的位置关系（十大题型思维导图知识梳理课后提升练）（人教A版选择性）（原卷版）

第13讲直线与圆的位置关系【人教A版】模块一模块一直线与圆的位置关系及判定1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【题型1判断直线与圆的位置关系】【例1】（2526高二上·全国·单元测试）已知圆C:x2+y2−8y+15=0，直线l:x+ky−1−4k=0，则直线lA．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切【变式1.1】（2425高二上·浙江绍兴·期末）已知直线l:y=kx+1，圆C:(x−1)2+y2=4，则直线A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【变式1.2】（2425高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点Mm,n是圆x2+y2A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【变式1.3】（2425高二上·海南海口·期末）已知直线l:x+y−2=0与圆C:x2+y2A．点A在圆C上，直线l与圆C相切 B．点A在圆C内，直线l与圆C相交C．点A在圆C外，直线l与圆C相切 D．点A在圆C上，直线l与圆C相交【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】（2425高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx+y−1=0与圆x−22+y2=4相切，则A．−34 B．1 C．34【变式2.1】（2425高二上·重庆北碚·期末）若直线l:y=kx+2与圆O:x2+y2A．2 B．1 C．0 D．−1【变式2.2】（2425高二上·福建·期中）“a=3”是“直线x+y−2=0与圆C：x−a2+y−aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件【变式2.3】（2425高二上·江苏南通·期中）已知直线l1:x−y+1=0关于P(1,1)对称的直线l2与圆C:A．m>−1 B．m<1 C．−1<m<1 D．m<−1或m>1模块二模块二圆的切线及切线方程1．自一点引圆的切线的条数：(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：.【题型3圆的切线长问题】【例3】（2425高二上·贵州贵阳·期末）过点P2,4的直线与圆O:(x−3)2+y2=1相切于点A．3 B．4 C．17 D．5【变式3.1】（2425高二上·山东临沂·期中）若圆C:x2+y2=1，点P在直线l:2x+y−5=0上，过点P作圆C的切线，切点为A．1 B．2 C．5 D．4【变式3.2】（2425高二上·安徽亳州·期末）已知直线m:x−y−6=0和圆C:x(1)若直线l与m垂直，且经过圆C的圆心C，求l的方程；(2)若P是直线m上的动点，过P作圆C的一条切线，切点为M，求PM的最小值.【变式3.3】（2425高二上·安徽芜湖·期中）已知圆M的方程为x2(1)过点0,−4的直线m截圆M所得弦长为45，求直线m(2)过直线l:x+y+4=0上任意一点P向圆M引切线，切点为Q，求PQ的最小值.【题型4圆的切线方程的求解】【例4】（2425高二上·河北石家庄·期末）过点P(1,−1)且与圆C:x2+yA．x+y=0 B．x−y−2=0C．x−y=0 D．x−y+2=0【变式4.1】（2425高二上·湖北·期中）已知圆x−22+y−32=r2A．x−y−9=0 B．x+y=0C．x−y=0 D．x+y−9=0【变式4.2】（2425高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）求经过圆x2+y（2）求经过点−2,0且与圆x2【变式4.3】（2425高二上·广西北海·期中）已知在△ABC中，A2,6，B−2,−2，(1)求△ABC的外接圆的标准方程；(2)过点B作△ABC的外接圆的切线，求该切线方程．模块三模块三圆的弦长1．圆的弦长问题(1)几何法(2)代数法①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.2．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.①如图2514①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2514②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2514③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=dr，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【题型5求圆的弦长与中点弦】【例5】（2425高三下·云南昆明·阶段练习）直线x+y−5=0与圆x2+y2−2x−8=0相交于A､A．3 B．2 C．22 【变式5.1】（2425高二上·江苏扬州·期末）已知直线l:x+ay−a−1=0，a∈R与圆C:x−22+y2=4交于A，A．2 B．2 C．22 【变式5.2】（2425高二上·浙江杭州·期末）已知圆C:(x−4)2+y2=25，点(1)若l与C相切，求l的方程；(2)若l的倾斜角为π4，求l被圆C【变式5.3】（2425高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆C:x2+y2+2x−7=0内一点P−1,2，直线l过点P(1)求圆C的圆心坐标和面积；(2)若直线l的斜率为3，求弦AB的长．【题型6已知圆的弦长求方程或参数】【例6】（2425高二上·贵州六盘水·期末）已知直线y=x+m被圆x2+y2+2x−15=0截得的弦长为42A．−1或3 B．2 C．−3或5 D．4【变式6.1】（2425高二上·河南濮阳·期中）已知直线l经过点P2,1，且与圆C：x+12+y−22=9相交于A，B两点，若A．x−y−1=0或7x+y−15=0 B．x−2y=0或7x+y−15=0C．4x+3y−11=0或3x+4y−10=0 D．4x−3y−5=0或3x−4y−2=0【变式6.2】（2425高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点A(2,0),B(0,−4)，且圆心C在直线x+y=0上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l过点(8,0)且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．【变式6.3】（2425高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为C的圆经过点A(−1,−5)和B(6,2)，且圆心C在直线l：x+3y+3=0(1)求圆C的方程；(2)若过定点(0,2)的直线l′被圆C所截得的弦长为8，求直线l′【题型7直线与部分圆的相交问题】【例7】（2425高二上·江苏镇江·期末）已知直线y=k(x+2)与曲线y=1−x2有公共点，则实数k的取值范围为（A．[−3,3] B．−33【变式7.1】（2425高二上·海南海口·期中）若直线l:y=kx+3−k与曲线C:y=1−x2恰有两个交点，则实数kA．34,+∞ B．43,3【变式7.2】（2425高二上·北京大兴·期末）已知直线l:y=x+b和曲线C:x−1−y2=0，则“直线l与曲线C有且仅有一个公共点”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7.3】（2425高二上·江西吉安·阶段练习）直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有1个交点，则实数bA．−1<b≤1 B．−C．−2<b≤−1 D．−1<b≤1【题型8直线与圆中的面积问题】【例8】（2425高二上·广东深圳·期末）已知圆C:x2+y2=1，直线l:2x+my−1=0与C交于A，BA．1 B．34 C．3 D．【变式8.1】（2425高二上·广东广州·期中）已知圆M:(x+2)2+y2=2，直线l:x+y−2=0，点P在直线l上运动，直线PA,PB分别与圆M相切于点A．23 B．3 C．4 D．【变式8.2】（2425高二上·山东泰安·期末）已知直线l1:x−y+1=0与圆C:x2+(1)求实数a的值；(2)设O为坐标原点，求△OAB的面积．【变式8.3】（2425高二上·四川宜宾·期末）已知圆C过点M(2,0)和点N(1,−1)，且圆心C在直线l1(1)求圆C的方程；(2)已知直线l2:x+2y−1=0与圆C相交于A,B两点，求【题型9直线与圆有关的最值问题】【例9】（2425高二上·山西·期中）已知⊙M:x2+y2−4x−4y+4=0，直线l:2x+y+4=0，P为l上的一动点，A，B为⊙MA．−510 B．25 C．5【变式9.1】（2425高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则yx−2的最小值为（A．−23 B．−32 C．【变式9.2】（2425高二上·海南海口·期末）已知点Px, y(1)求yx(2)求x+y的最大值与最小值．【变式9.3】（2425高二上·海南海口·期中）已知动点M(x,y)与点P(3,0)的距离是它与原点O的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)求x−y的最小值；(3)经过原点O的两条互相垂直的直线分别与轨迹E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最大值.【题型10直线与圆的实际应用】【例10】（2425高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（

）（参考数据21≈4.6，5≈2.2A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米【变式10.1】（2425高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东30km的A处出发，径直驶向位于海监船正北40km的B处岛屿，速度为28A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时【变式10.2】（2425高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．

(1)求该圆弧所在圆的方程；(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）【变式10.3】（2425高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处.(1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置；(2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由.一、单选题1．（2526高二上·全国·单元测试）直线3x+4y+1=0与圆(x−1)2+(y+1)A．相离 B．相切C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心2．（2425高二下·云南曲靖·期末）若直线y=3x+a+1与圆C:x2+A．−∞,1C．0,12 3．（2526高二上·全国·课后作业）直线l:x+y−2=0被圆C:x2+A．7 B．27 C．5 D．4．（2425高二上·天津·期中）已知圆O的方程是x2+y2−8x−2y+10=0，则圆OA．x−y−3=0 B．x+y−7=0C．x+2y−9=0 D．2x−y−8=05．（2526高二上·重庆·开学考试）直线l的方程为l:5x+39y+1=0，则圆C:x2+A．4 B．2 C．1 D．36．（2526高二上·全国·单元测试）已知圆C的圆心为C(0,2)，且经过点(2,2)，过点P(−2,−1)作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A．2x+3y−2=0 B．2x+3y+2=0C．2x−3y−2=0 D．2x−3y+2=07．（2425高二下·上海宝山·期末）已知直线y=x+m和曲线y=1−x2有两个不同的交点，则实数mA．−2,2 B．−1,2 C．8．（2526高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为原点，半径为2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC折叠，恰好经过原点O，折叠后的图形如图所示．若直线y=−x+m与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（

）

A．23 B．45 C．6二、多选题9．（2526高二上·全国·单元测试）已知直线l:ax+by=1，圆C:x2+y2A．若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B．若M在圆C内，则直线l与圆C相离C．若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D．若M在直线l上，则直线l与圆C相离10．（2425高二上·河南·阶段练习）已知圆C：x2+A．λ的取值范围为−B．圆C关于直线x+y=0对称C．若直线x+y+1=0被圆C截得的弦长为2，则λ=2D．若λ=1，过点A0,1作圆C的一条切线，切点为B，则11．（2425高二上·安徽宣城·期末）已知圆C:(x−2)2+y2=4和直线l:x−y+2=0，点P在直线l上运动，直线PA、PB分别与圆A．切线长PA的最小值为2B．四边形PACB面积的最小值为4C．当PA最小时，弦AB所在的直线方程为x−y+1=0D．弦AB所在直线必过定点三、