专题03一元二次方程（期中复习讲义）（原卷版）九年级数学上学期北师大版

专题03一元二次方程（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律一元二次方程的相关概念能准确表述一元二次方程的定义，识别方程的一般形式及各项系数基础必考点，多在选择题、填空题中考查概念辨析解一元二次方程熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解方程的方法，并能根据方程特点选择恰当方法求解高频考点，在各种题型中都有涉及，是解决一元二次方程问题的核心技能根的判别式理解根的判别式与一元二次方程根的情况之间的关系，能运用判别式判断方程根的情况，以及解决与根的存在性相关的问题重要考点，常与方程的求解、函数等知识结合，在选择题、填空题、解答题中考查一元二次方程根与系数的关系掌握根与系数的关系（韦达定理），并能运用该关系解决已知方程的根求代数式的值、构造新方程等问题重要考点，常与代数式求值、函数等知识综合，在解答题中考查一元二次方程与实际问题能将实际问题中的等量关系转化为一元二次方程，求解并对结果的合理性进行检验高频考点，常以实际生活中的问题（如增长率、面积问题等）为背景，在解答题中考查知识点01一元二次方程的相关概念1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.【注意】1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的.2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式.2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：ax2是二次项，【易错/热考】如果明确了ax2+bx3.一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程的根；反之，它就不是一元二次方程的根.知识点02一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.1.直接开平方法【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型：2.配方法定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法.【解读】2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项.用配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤方法典例一移移项将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边二化二次项系数化为1方程两边同时除以二次项系数三配配方【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误.即四开开平方求根利用平方根的定义直接开平方3.公式法用公式法解一元二次方程的一般步骤：方法典例将一元二次方程整理成一般形式；将原方程化为一般形式：确定公式中a、b、c的值；（易错点：忽略系数前面的符号）4.因式分解法定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：一般步骤方法典例移项将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0化积将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式原方程变形为转化令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程求解解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解知识点03根的判别式一元二次方程根的情况与判别式的关系：【解读】2）一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．知识点04一元二次方程根与系数的关系【补充说明】1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.知识点05一元一次方程与实际问题用一元二次方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系；设：用代数式表示实际问题中的基础数据；列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；解：求解方程；验：考虑求出的解是否具有实际意义；答：实际问题的答案.题型一一元二次方程的定义解｜题｜技｜巧含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可.【易错】如果明确了ax2+bx类型一一元二次方程的识别1．（2425九年级上·天津南开·阶段练习）下列方程：①x2-5=0；②ax2+bx+c=0；③A．1 B．2 C．3 D．42．（2425九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A．2x2-C．2x2-3．（2526九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程2x2-A．2，5，3 B．5，2，3 C．-5，2，-3 D．2，-类型二根据一元二次方程的定义求参数4．（2526九年级上·全国·单元测试）已知m-1xm+15．（2425九年级上·湖南永州·期中）已知关于x的方程m(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．6．（2425九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(1)判断一元二次方程3x2+4x+1=0(2)若关于x的方程x2+mx-5=0是“题型二一元二次方程根的应用解｜题｜技｜巧1）判断已知值是否为方程的根:分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是.2）已知方程的根求字母的值:将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解.类型一判断已知值是否为方程的根7．（2122九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为x=1A．x2=3x-4 B．x28．（2425九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程x2+ax+bA．1 B．-1 C．0 D．9．（2425七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程x2-x=1A．-1 B．1 C．0 D．类型二已知方程的根求字母的值10．（2526九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程x2+x+a-1=011．（1920九年级上·广东惠州·阶段练习）已知x=1是方程x2+3x+c=012．（2526九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程(a-1)x2+a类型三已知方程的根求代数式的值13．（2526九年级上·广东广州·期中）若a是方程x2+3x-1=014．（2122九年级上·四川内江·期中）已知m是一元二次方程x2+4x-1=015．（2425九年级上·广东广州·期末）若x1、x2是方程x2+2x-2028=0类型四估算一元二次方程的解16．（2324九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个解x-11.11.2x---0.8417．（2223九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程x2+2x-10=0的一个近似解为x…------…y…---0.561.251.96…题型三解一元二次方程解｜题｜技｜巧对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法.类型一选用合适的方法解一元二次方程18．（2425九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程：(1)x(2)x(3)解方程2x某同学的解题步骤如下：解：2x2x2-x2（x∴方程无实数根⑤①问：这位同学解方程过程中从第______步开始写错了；②请你帮他将方程的正确解题过程完整的书写出来．19．（2122九年级上·辽宁鞍山·期中）解方程．(1)-2(2)t2(3)2x20．（2425九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）解方程：(1)3x(2)2x(3)3x(4)x+821．（2425九年级上·青海西宁·期中）用适当的方法解方程(1)x+2(2)2x(3)x2(4)2类型二一元二次方程拓展解法换元法22．（2425九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料：为解方程x4-x2-6=0，可将方程变形为x22-x2-6=0，然后设x2=y，则x22=y2，原方程化为y2-y-6=0①，解利用以上学习到的方法解方程：x223．（2425九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程：3+2x第一步：原方程可变形为：2x第二步：令t=第三步：第一步的方程可变形为t+4第四步：……；根据t的值可以求出x1=7【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如ax+cax+b=d（其中a，b(1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________；A．分类讨论思想

B．数形结合思想

C．整体代换思想

D．类比思想(2)完成材料中第三步以后求t值的过程；(3)利用均值换元法解方程：200+x24．（2425九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足2a2+解：设2a原方程可化为(m+1)(m-1)=63∵2a上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题：已知实数x、y满足2x2+2类型三一元二次方程拓展解法绝对值方程25．（20222023学年湘教版九年级上册数学期中复习试卷）先阅读例题，再解答问题：例：解方程x2解：当x≥0时，x2-x-2=0当x<0时，x2+x-综上所述，原方程的解为x=2或x依照上例解法解方程：x226．（2324九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：例：解方程x2解：①当x≥0时，原方程为x解得x1=-1（与x≥0②当x<0时，原方程为x解得x1=1（与x<0所以原方程的根是x1=3，在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解方程：x2类型四一元二次方程拓展解法高次/分式/无理方程27．（2324九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2(x+y)+3(x-y)=-2x+y-2(x-y)=3，按常规思路解方程组计算量较大．可设x(1)x2(2)x28．（2021九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题：解方程：x2分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以x2-6为基本结构搭建的，所以我们可以把x解：设x2则原方程换元为m2∴m∴m-2=0解得m1=2∴x2-解得x1=22，x2=-2请参考例题解法，解下列方程：(1)x4(2)x2题型四配方法的应用类型一利用配方法求代数式的最值解题方法：此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方，再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系.29．（2425九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式y2+4y30．（2425九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数a，b满足a+b2=1，则代数式31．（2425九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料：将代数式x2x==x∵x∴x∴当x+12=0时，x根据以上材料，完成下列问题：(1)x2+4x(2)求代数式x2(3)求代数式-x类型二利用配方法比较大小解题方法：此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方，再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系.32．（2425九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，P=-m2-m+1，Q=m33．（2324九年级下·河北邯郸·期中）解答：例：x∵x+1∴请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题；探究：（1）无论x取何值，试说明代数式-x应用：（2）记某个正方形的面积为S1，边长为aa>3，某个矩形的面积为S2，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较类型三用配方法解决多元二次方程问题解题方法：用配方法将条件式变形为两个完全平方和的形式，再利用“两个非负数之和为0，则两者均为0”这个结论解题.34．（2324七年级下·江苏宿迁·期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2-6a+b35．（2425九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料：配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程x2-4x+3=0，则有x2-4x+4-4+3=0，∴(x-2)2=1，解得x1根据以上材料解答下列各题：(1)若x2+6x(2)若a,b,c分别表示△ABC的三边长，且满足36．（2425八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求a2解：a2∵不论a取何值，a-22∴a-22-1≥-1；即当根据上述材料，解答下列问题：(1)求a2(2)若M=2a2+3a，N(3)若三角形中某两边a、b满足a2+b题型五一元二次方程根的判别式解｜题｜技｜巧一元二次方程根的情况与判别式的关系：【易错点】类型一不解方程，由根的判别式的正负性可直接判定根的情况37．（2526九年级上·全国·期中）方程x2-2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．没有实数根38．（2425九年级上·福建福州·期末）下列方程中，没有实数根的是（

）A．x2+2x=0 B．x2-39．（2425九年级上·四川资阳·期中）关于x的一元二次方程x2+(k-2)A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．有实数根 D．没有实数根类型二根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围40．（2025·山东·二模）若关于x的一元二次方程2x2-3xA．m≥-178 B．m≤-17841．（2425九年级上·湖北襄阳·期末）关于x的一元二次方程k-5x2-42．（2425九年级上·云南昭通·期末）已知关于x的一元二次方程ax2-243．（2425九年级上·重庆渝北·期末）若关于x的一元二次方程mx2-4x类型三应用判别式证明方程根的情况44．（2324九年级上·广东河源·期中）证明：无论k取何值，关于x的方程k-45．（2122九年级上·河南平顶山·期末）已知关于x的一元二次方程5x(1)证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根．46．（2425九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程x2+m题型六一元二次方程根与系数的关系解｜题｜技｜巧2）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.类型一不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数47．（2425九年级上·全国·期末）若1是方程x2A．-3 B．2 C．1 D．48．（2425九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x-mA．-2 B．2 C．-1 D49．（2425九年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的一元二次方程x2-4x+k=0类型二不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求含、的代数式的值50．（2425九年级上·贵州六盘水·期末）若一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x51．（2425九年级上·四川达州·期末）已知a,b是一元二次方程x2-252．（2425九年级上·广东东莞·期末）已知x1，x2是方程(1)x1(2)|x类型三已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围53．（2425九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程x2-2(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实数根满足x1+x54．（2425九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程mx2-2x(1)求m的取值范围；(2)当x12+55．（2425九年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范围；(2)若a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+题型七一元二次方程与实际问题类型一两两碰面类问题56．（2425九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数．57．（2425九年级上·云南红河·期中）根据题意列出方程或函数并解答．(1)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？(2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？类型二变化率问题58．（2425九年级上·甘肃兰州·期中）2021年我国新增高效节水灌溉面积188万hm2，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万hm2，那么2022年、59．（2425九年级上·江苏镇江·期末）2024年我国经济回暖向好，粮食产量约为1.40万亿斤，中国碗装了更多中国粮．根据国家统计局网站信息可知2022年我国粮食产量约为1.37万亿斤．（参考数据：140≈11.83，137(1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到0.1%(2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测2025年我国粮食产量能否突破1.41万亿斤？类型三销售类问题60．（2425九年级上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？61．（2526九年级上·宁夏银川·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每涨价1元，日销售量将减少20kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么涨价之后，每天的销售量必须达到多少kg类型四几何图形类问题62．（2425九年级上·全国·期中）学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD．围墙EF最长可利用25m．与围墙平行的一边BC上要预留3m宽的入口（如图中MN所示），不用砌墙．现在已备足可以砌46m长的墙的材料，问当矩形的长BC63．（2425九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD(CD>2)边上开了一个2m类型五动态几何问题64．（2425九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm．动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q(1)写出△PBQ的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围，并求出当t为何值时，S(2)经过几秒，△PBQ的面积为32(3)出发几秒后，PQ的长度等于12mm65．（2324九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，以1cms的速度沿CD向点D运动，当点P到达终点后，P，Q(1)问当t为多少时，AP=2(2)连接AQ，是否存在时间t，使得S△APQ=4题型八本章涉及的新定义类问题66．（2425九年级上·江苏常州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根为x1，应用：(1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程：①x2②x2(2)请求出一元二次方程x2-67．（2020·河北·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=根据以上知识解决问题：(1)x☆4=20，求x(2)若2☆a的值小于0，请判断方程：2题型九本章涉及的阅读材料类问题68．（2324九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：阅读材料：材料：若一元二次方程ax2+bx+c(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x-1=0的两个根为x1(2)类比探究：已知实数m，n满足7m2-7m-(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1=0，t69．（2425九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料后解答问题：材料1：已知实数a、b满