专题144角的平分线（举一反三讲义）数学人教版2024八年级上册（原卷版）

专题14.4角的平分线（举一反三讲义）【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1利用角平分线的性质求长度】 2【题型2利用角平分线的性质求面积】 3【题型3利用角平分线的性质求角度】 4【题型4利用角平分线的性质求最值】 5【题型5利用角平分线的性质证明】 6【题型6角平分线的判定】 6【题型7角平分线的应用】 8【题型8角平分线的判定与性质的综合】 8知识点1角的平分线的性质1.定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．知识点2角的平分线的判定1.定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2.拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．知识点3作已知角的平分线用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．【题型1利用角平分线的性质求长度】【例1】（2425八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知∠AOB=150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD=4，则OC的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【变式11】（2425八年级上·福建厦门·期末）如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE⊥BC于E点，若AB=4，BC=5，S△ABC=9，则DE的长为【变式12】（2425八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，连接AD，DE，DE∥AC，AE=ED，若AB=2.7，BD=1.5，CD=1，则AC=【变式13】（2425八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则点【题型2利用角平分线的性质求面积】【例2】（2425八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE=2，则△ABC的面积为（

）A．13 B．19 C．20 D．26【变式21】（2425七年级下·四川成都·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD的长为3，AB=8，则△ABD【变式22】（2425八年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是∠ABC的平分线，如果△ABC的面积为32，那么△DBC

【变式23】（2425七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且CD=2BD，4BC=3AC，CF为∠ACB的角平分线，交AD于点E，交AB于点F，若△CDE的面积为7，则图中阴影部分四边形BDEF的面积为．【题型3利用角平分线的性质求角度】【例3】（2425八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于E,F,FG⊥AB，垂足为点G(1)求证：CE=FG．(2)若∠B=20°，求∠AFG的度数．【变式31】（2223八年级上·广东广州·期中）如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE=DF，∠AOD=25°，则∠EDF的度数是．【变式32】（2324七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A′处，恰好满足A′B平分∠ABC,A′C平分∠ACB，若【变式33】（2425七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是．【题型4利用角平分线的性质求最值】【例4】（2425九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，DE=BE，点P为线段AB上一动点，连接DP，若CD=6【变式41】（2425八年级上·天津·期末）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于12MN长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线OP，作PC⊥OA于点C，且PC=2，Q是射线OB上一个动点，则PQ【变式42】（2223八年级上·陕西西安·期末）在△ABC中，已知BC=6，BC边上的高ℎ=4，△ABC两个内角的角平分线相交于点O，过O作OD⊥BC于点D，则OD的最大值是．【变式43】（2425八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点．（1）若∠BAC=60∘，∠C=40∘，则（2）若S△ABC=12，AC=8，则BM+MN的最小值为【题型5利用角平分线的性质证明】【例5】（2425八年级上·安徽合肥·期末）如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连接DF，EF．求证：【变式51】如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证：PM=PN．【变式52】（2425八年级上·山东滨州·期中）如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB．【变式53】（2425八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，求证：AD+BC=AB．【题型6角平分线的判定】【例6】（2425八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．【变式61】（2223八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是．【变式62】（2425八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O，且OB=OC．(1)求证：BE=CD；(2)求证：判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【变式63】（2425八年级下·江西九江·期中）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)求证：PA平分∠BPE．【题型7角平分线的应用】【例7】（2023·山东青岛·三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路OA，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．【变式71】（2425八年级上·广东中山·期中）如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（

）A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．△ABC三条中线的交点位置【变式72】（2223八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．【变式73】（2324八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有处．【题型8角平分线的判定与性质的综合】【例8】（2425八年级上·重庆长寿·期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ADC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接BE．(1)求∠DAE的度数；(2)求证：BE平分∠ABC；(3)若AD=6,CD=10，三角形ACD的面积是16，求EF的长．【变式81】如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．【变式82】（2425八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AF