专题03三角形的边角关系（期中复习讲义）（原卷版）八年级数学上学期新教材沪科版

专题03三角形的边角关系（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律认识三角形能明确三角形的定义、顶点、边、内角等基本概念，掌握三角形的表示方法基础必考点，多在小题中考查对概念的识别，是三角形后续知识的基础三角形的分类能按边（如不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）和按角（如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）准确对三角形进行分类基础考点，常结合三角形性质在小题中考查分类判断，需注意分类标准的区分三角形的三边关系能熟练运用“任意两边之差<第三边<任意两边之和”判断三条线段能否构成三角形，或求解第三边的取值范围高频基础考点，多在小题（选择、填空）中考查，常与线段长度计算结合三角形的高、中线、角平分线能掌握高、中线、角平分线的定义、作法及性质（如高的垂直性、中线的中点性质与面积平分、角平分线的角平分性质），准确识别和运用核心基础考点，贯穿三角形几何证明与计算，在小题、解答题基础步骤中均有涉及，需注意不同线段的性质差异三角形的内角和定理能理解并运用“三角形三个内角和等于180°”进行角度计算与证明核心考点，是三角形角度相关问题的核心依据，在各类几何题型（计算、证明）中均有考查直角三角形的性质与判定能掌握直角三角形“两个锐角互余”的性质，及“有两个角互余的三角形是直角三角形”的判定方法，熟练运用直角三角形的符号表示重要考点，常与三角形内角和、勾股定理（后续知识）结合，在几何计算与证明中考查知识点01认识三角形1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.顶点：三角形两边的公共点叫做三角形的顶点.3.边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边.4.内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角.5.三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC，∆ACB等均为同一个三角形.知识点02三角形的分类知识点03三角形的三边关系任意两边之差<第三边<任意两边之和.（理论依据：两点之间线段最短）知识点04三角形的高、中线、角平分线三角形的高三角形的中线三角形的角平分线定义从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图示作法过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．性质∵AD是∆ABC中BC边的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是∆ABC中BC边的中线∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=12知识点05三角形的内角和定理1.定理：三角形三个内角和等于180°．2.表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°知识点06直角三角形的性质与判定1.性质:直角三角形的两个锐角互余.2.写法:直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.3.判定:①文字表述:有两个角互余的三角形是直角三角形.②几何表述:在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形.知识点07三角形的外角1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2.三角形的外角的性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3.三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°．题型一三角形的识别与有关概念解｜题｜技｜巧1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.顶点：三角形两边的公共点叫做三角形的顶点.3.边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边.4.内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角.5.三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC，∆ACB等均为同一个三角形.【变式1】如图所示．(1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________；【变式2】如图所示：(1)图中一共有______个三角形，它们分别是______；题型二三角形的分类解｜题｜技｜巧【典例1】下列命题不正确的是（

）A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于B．三角形中至少有两个内角是锐角C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形D．三角形中至少有一个角小于等于①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形A．只能是① B．只能是④C．可能是①②③ D．可能是①②③④【变式2】现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有个锐角三角形．题型三确定第三边的取值范围解｜题｜技｜巧两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。理论依据：两点之间线段最短。A．7米 B．8.8米 C．15.5米 D．26米【变式2】已知三角形两边长分别为，，设第三边为，则x的取值范围是．题型四与角平分线有关的三角形内角和问题解｜题｜技｜巧1. 明确角平分线定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．2. 结合内角和定理：利用“三角形内角和为1800，将含角平分线的角与其他内角结合，列等式求解。3. 巧用外角性质：若角平分线与三角形外角相关，利用“三角形外角等于不相邻两内角和”，建立角平分线分得的角与其他角的关系。4. 添加辅助线（必要时）：遇复杂图形，可过角平分线上一点作两边垂线（角平分线性质），或截取线段构造全等三角形，将分散的角集中，利用内角和求解。题型五三角形折叠中的角度问题解｜题｜技｜巧1.抓住折叠前后的不变量：折叠后重合的部分对应角相等、对应边相等，利用这些相等关系建立方程。2.注意折痕的性质：折痕是对应点连线的垂直平分线，可用于找垂直关系或中点。3.利用三角形内角和与外角性质：结合已知角度和折叠产生的等角，通过内角和180°或外角等于不相邻两内角和进行推导。4.转化为等腰三角形问题:折叠常形成等腰三角形（折痕两侧对应边相等），利用等腰三角形底角相等等性质求解。5.用代数法表示未知角:设关键角为x，根据折叠关系和角度定理列方程，逐步求解。6.添加辅助线:如连接对应点、作平行线或垂线，帮助建立角度关系，简化计算。A． B． C． D．A． B． C． D．题型六三角形内角和定理解｜题｜技｜巧1.定理：三角形三个内角和等于180°．2.表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°A．30 B．60 C．90 D．150题型七与三角形的高有关的计算解｜题｜技｜巧1.明确高的定义与位置：高是从顶点向对边（或对边延长线）作的垂线段，锐角三角形高全在内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形两条高在外部，先判断高的位置避免出错。2.结合面积公式求高：利用“三角形面积=1/2×底×高”，已知面积和底可求对应高，或通过等面积法（同一三角形不同底和高的面积相等）转换计算，如直角三角形中两直角边可分别作底和高。3.用勾股定理关联高与边长：高将三角形分成两个直角三角形，可在直角三角形中，通过勾股定理（直角边²+直角边²=斜边²）建立高、边长分段的数量关系，求解高或边长。【典例1】一个三角形底边减少原来的，要使它的面积不变，高应该增加原来的（

）A． B． C． D．A． B． C． D．题型八三角形角平分线的定义解｜题｜技｜巧三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．【典例1】下列说法中错误的是（

）A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角A．105° B．110° C．115° D．120°【变式2】如图，在△ABC中，∠B=70°，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠DAE=16°，则∠C的度数是．题型九根据三角形中线求长度解｜题｜技｜巧1.利用中线分线段的性质：中线将对边平分为两段，即中线与对边的交点是对边中点，可直接得到两段线段长度相等，为后续计算提供等量关系。2.运用中线长公式直接计算：已知三角形三边长度，可通过中线长公式求中线长度。3.结合面积法推导：中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形（同底等高），若已知原三角形面积和其中一个小三角形的高，可间接关联中线相关的边长或高，辅助计算中线。A． B．1 C．2 D．4题型十根据三角形中线求面积解｜题｜技｜巧1.利用中线分面积的核心性质：三角形的一条中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形，若已知其中一个小三角形面积，可直接乘2得原三角形面积。2.结合“底×高”公式求面积：若已知中线对应的底边长，且能求出原三角形这条底边上的高（可通过其他条件，如另一条边和对应的高、角度与边长结合三角函数等），则用“原三角形面积=1/2×底×高”计算，中线在此过程中可辅助确定底的分段或验证高的准确性。3.通过中线与边长关联求高：若已知三角形三边和某条中线，可先利用中线长公式反推底边上的高，再代入面积公式计算原三角形或小三角形的面积。4.多中线结合拆分面积：若三角形有两条或三条中线，可将原三角形拆分为多个面积相等的小三角形，通过已知小三角形面积或线段比例，推导原三角形总面积。A．6 B．