第03讲等比数列及其前n项和（复习讲义）

第03讲等比数列及其前n项和目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1等比数列的概念 3知识点2等比数列的有关公式 4知识点3等比数列的性质 4题型破译 5题型1等比数列基本量计数 5【方法技巧】等比数列基本量计算方法题型2等比数列的判断与证明 7【方法技巧】判断与证明等比数列题型3等比数列角标和性质 9【方法技巧】等比数列角标和性质题型4等比数列片段和性质 10【方法技巧】等比数列片段和性质题型5奇数项与偶数项求和问题 12【方法技巧】等比数列奇偶项和问题题型6等比数列与等差数列综合 14题型7等比数列实际应用 1604真题溯源·考向感知 1905课本典例·高考素材 21考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）等比数列的有关概念（2）等比数列的通项公式与求和公式（3）等比数列的性质单选题多选题填空题解答题全国二卷T7，（5分）全国一卷T13，（5分）北京卷T5，（4分）全国甲卷（文）T17（1），（5分）全国甲卷（理）T5，（5分）全国II卷T8，（5分）2全国乙卷（理）T15，（5分）天津卷T19（2），（10分）天津卷T5，（5分）考情分析：高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．复习目标：（1）理解等比数列的概念．（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．（3）了解等比数列与指数函数的关系．知识点1等比数列的概念(1)等比数列的定义(2)等比中项自主检测已知数列{a n}满足，a4=1，an+1an【答案】15【详解】因为an+1所以数列{an}因为a4所以a1所以a1S4故答案为：15.知识点2等比数列的有关公式自主检测（2025·陕西·模拟预测）已知an是公比为2的等比数列，bn是公差为4的等差数列，若a3=20,b1【答案】4n+1【详解】由题意可得a3=22a则bn的通项公式为b故答案为：4n+1知识点3等比数列的性质自主检测等比数列an中，a2,a8是方程xA．4 B．−4 C．−4或4 D．16【答案】C【详解】由a2,a8是方程因为数列an为等比数列，可得a3a7=所以a3a7故选：C.题型1等比数列基本量计数例11已知等比数列an中，a4=−8,a【答案】−2【详解】设等比数列an的公比为q，由a4=−8,a2故答案为：−2例12已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足a6−a【答案】an【详解】依题意，a6S6−S解得q=2，a3=8，所以方法技巧等比数列基本量计算方法方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.【变式训练11】已知递增等比数列an的前n项和为Sn，a2=2，S3A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【详解】由已知，数列为等比数列，a可求出a1=1q=2，a故选：A【变式训练12】在等比数列an中，已知a1=3，an=48，【答案】5【详解】在等比数列an中，a1=3，an=48由前n项和公式及通项公式可得，93=31−qn1−q故答案为：5.【变式训练13】数列an成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若a3=32，【答案】−1【详解】等比数列an的公比为q，由a3=整理得1q2+1q所以q=−12或故答案为：−1题型2等比数列的判断与证明例21（多选）若Sn为数列an的前n项和，且SnA．a3=−4 C．an是等比数列 D．S【答案】ACD【详解】当n=1时，S1当n≥2时，由Sn=2a所以an所以数列an时以−1a3由Sn因为Sn−1=−2故选：ACD.例22已知数列an满足a(1)设bn=a(2)证明数列bn【答案】(1)b1=3，b(2)证明见解析【详解】（1）已知a1=1，因为bn当n=1时，a2=a1当n=2时，b2先求a3，因为n=2为偶数，a再求a4，因为n=3为奇数，a4=a当n=3时，b3先求a5，因为n=4为偶数，a再求a6，因为n=5为奇数，a6=（2）由bn=a所以bn+1则bn+1+3=2(b所以数列{bn+3}是以6方法技巧判断证明等比数列方法定义法等差中项法【变式训练21】数列an满足a1∈Z,an+1+an=2n+3A．99 B．103 C．137 D．169【答案】D【详解】由an+1+a∴an−n−1∴a∴S①m为奇数时，a1②m为偶数时，−a∵a1∈综上所述，m=169.故选:D.【变式训练22】已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2【答案】−【详解】当n=1时，a1=S当n≥2时，Sn−1两式相减得，Sn−S所以an因为a1=−1≠0，所以an故数列an是首项为−1所以an故答案为：−2【变式训练23】已知数列an满足：a1=72(1)求证：数列an(2)求数列an的通项公式及其前n项和S【答案】(1)证明见解析(2)a【详解】（1）由题得，an+1∴an+1−所以数列an（2）由（1）得，an−1所以前n项和Sn题型3等比数列角标和性质例31已知an为各项均为正数的等比数列，a4和a5是方程x2−8x+10=0A．72 B．4 C．92【答案】B【详解】由a4和a5是方程x2又数列an为各项均为正数的等比数列，则a所以lga故选：B例32已知数列an为等比数列，其中a6，a10为方程x2+2025x+3=0A．12 B．−3 C．3 【答案】B【详解】由题得，根据韦达定理可得a6⋅a10=3由等比数列的等比中项性质可得：a6因为等比数列的偶数项符号相同，a6,a10都是负数，设公比为所以a8故选：B.方法技巧等比数列角标和性质【变式训练31】在等比数列an中，a3，a9是方程x2−8x+2=0A．2 B．−2 C．±2 【答案】A【详解】由韦达定理得a3+a又an为等比数列，所以a所以a6故选：A.【变式训练32】an是等比数列，a3,a7是方程xA．±3 B．3 C．−3 【答案】C【详解】设等比数列an公比为q因为a3，a7是方程所以a3a7由等比数列的性质可知a所以a5故选：C.【变式训练33】已知等比数列an中，a4=1，a8=81A．9 B．±9 C．81 D．±81【答案】A【详解】在等比数列{an}中，根据等比数列性质a已知a4=1，a8=81，那么a6因在等比数列中，偶数项的符号相同，a4=1>0，a8故选：A.题型4等比数列片段和性质例41记等比数列an的前n项和为Sn，若S4S8A．7 B．49 C．437 【答案】C【详解】设S4=tt≠0因为S8所以(6t)2=tS所以S12故选：C例42已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且Sk=4,【答案】52【详解】因为an为正项等比数列，所以S则S2k即S2k两式相除得S2k所以S3k所以S2k所以S2k所以S2k所以S2k解得S2k所以S3k故答案为：52方法技巧等比数列片段和性质【变式训练41】已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S5=4，A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【详解】由题意及等比数列前n项和的性质，得S5，S10−则S10−S5S5=故选：A【变式训练42】已知Sn是等比数列an的前n项和，S3=1,SA．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【详解】因为Sn是等比数列an的前n项和且可知S3又因为S3=1,S可得S9−S所以S9=S故选：C.【变式训练43】已知等比数列an的前n项和Sn满足S4=1,S【答案】273【详解】等比数列an的前n项和Sn满足所以S8−S故答案为：273题型5奇数项与偶数项求和问题例51已知一个项数为偶数的等比数列an所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则a1=A．2 B．2 C．1 D．2或2【答案】D【详解】设首项为a1，公比为q，数列共有2n项，则a2n−1满足首项为a1，公比为q2，项数为因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以q≠1，所以Tn=a故满足S2nTn又a1所以a1故选：D例52若等比数列an共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列an的所有项之和为【答案】300【详解】设等比数列{an}的奇数项之和为S则S1S2由题意可得：S1+100=S2，即故数列{an}故答案为：300.方法技巧等比数列奇偶项和性质（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．【变式训练51】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（

）A．8 B．−2 C．4 D．2【答案】D【详解】由题意可知：S偶所以q=S故选：D.【变式训练52】已知等比数列an的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则a1【答案】2【详解】由题设a1+a若an的公比为q，则a所以a1+a故答案为：2【变式训练53】若等比数列an共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为，项数为【答案】29【详解】在等比数列an中，由S奇=a1设这个数列共有2n+1项，则S2n+1=1−故答案为：2；9题型6等比数列与等差数列综合例61已知等比数列an的公比q>1,(1)求an(2)设bn=10+log2a【答案】(1)a(2)k=5【详解】（1）由题意得a1所以an（2）由（1）得bn所以b1解得k=5或k=−16（舍去）.例62已知等差数列an满足：a4=6(1)求数列an(2)设等比数列bn的各项均为正数，Tn为其前n项和，若b1=1，【答案】(1)a(2)T【详解】（1）对于等差数列an，设该数列的公差为d，则a∴a（2）由（1）可知b3=a3=2×3−2=4，又∵∴q2=【变式训练61】在等差数列an中，a6=−6(1)求an通项公式及其前n项和S(2)若数列bn为等比数列，且b1=a9，b2=【答案】(1)an=3n−24(2)T【详解】（1）设等差数列an的公差为d因为a6=−6,a7=−3所以an所以Sn因为n∈N*，所以当n=7或n=8时且最小值为S7（2）由（1）可得：b1=a所以等比数列bn的公比为q=所以bn=b1⋅qn−1【变式训练62】已知数列an中，a(1)求数列an(2)若等差数列bn满足b2=a3,b【答案】(1)a1(2)S【详解】（1）数列an中，因为a4=8≠0故an+1an又因为a4=8，所以所以a1（2）等差数列bn满足b设等差数列公差为d,2d=b4−所以bn所以bn的前n项和S【变式训练63】已知数列an满足：a1+(1)若数列an是等差数列，求an的通项公式以及前n项和(2)若数列an是等比数列，求a【答案】(1)an=3n−(2)a【详解】（1）因为数列an所以2d=(a所以d=3．所以a1即2a解得a1所以数列an的通项公式a即an所以数列an的前n项和S即Sn（2）因为数列an所以q=a由a1得a1即a1解得a1所以an数列an的通项公式为a题型7等比数列实际应用例71在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需个月．（结果取整）【答案】10【详解】由题意设每个月的收入为数列an，其前n项和记作Sn，前6个月的收入成等比数列，且公比为第7个月开始收入成等差数列，公差为2，则S6又a7=a6+2=20×65而S9≈198.6+51.77+53.77+55.77=359.91，所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月.故答案为：10.例72某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．(1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为an万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为bn万元，求an(2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为B【答案】(1)a(2)4【详解】（1）由题意得an是等差数列，a所以an=500−20n，由题意得所以bn+1所以bn+1−500是首项为250，公比为所以bn−500=2501（2）An是数列an的前n项和，所以Bn是数列bn的前所以Bn=500(1+1Bn−A又当n∈N*时，函数所以函数y=Bn−An单调递增，且n=1,2,3时B所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【变式训练71】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：出生时间1965年1月—4月1965年5月—8月1965年9月—12月1966年1月—4月……改革后法定退休年龄60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月60岁+4个月……那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为（

）A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁【答案】C【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为a1则1966年7月出生的男职工退休年龄为a2设7月出生的男职工退休年龄为an，则an是首项为6011975年7月出生的男职工退休年龄为a11故1975年7月出生的男职工退休年龄为62岁8个月.故选：C.【变式训练72】王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（

A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元【答案】C【详解】根据题意，截止2024年12月，提前还款数额比按约定还款数额少的部分为：按原计划还款时，从2024年12月起到原计划结束时所还的利息，即剩余60个月的利息，同时减掉剩余还款额百分之一的违约金.因为每月所还本金为360000120所以2024年12月还完后本金还剩余360000−3000×60=180000元，故违约金为1800元，2025年1月应还利息为180000×0.5%2025年2月应还利息为180000−3000×0.52025年3月应还利息为180000−3000×2×0.5⋯最后一次应还利息为180000−3000×59×0.5所以后60个月的利息合计为180000×60−3000×1+2+3+⋯+59故他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少27450−1800=25650元.故选：C.【变式训练73】小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，月利率为0.5%,25个月还清．（1）已知从当年4月开始，后面每月的8日都还款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，则购买这件商品实际付款元；（2）若从当年4月开始，后面每月的8日还款一次，每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：(1+0.5%【答案】233085.19【详解】（1）设第n个月付款an元，则a所以购买这件商品实际付款Sn所以购买这件商品实际付款200+2130=2330元；（2）设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息增值为20001+0.5则x1+0.5可得x1−整理可得x=2000所以每月还款金额为85.19元.故答案为：2330；85.19.1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15【答案】C【详解】由题知1+q+q即q3+q4=4q+4由题知q>0,所以q=2.所以S4故选:C.2．（2023·天津·高考真题）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=2,aA．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【详解】当n≥2,n∈N∗时，an=2S当n=1时，a2所以数列an则a4故选：C.3．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为mm，升量器的高为mm．【答案】2357.5/115【详解】设升量器的高为ℎ1，斗量器的高为ℎ2（单位都是mm），则故ℎ2=23mm故答案为：23mm,1154．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列an，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,a9【答案】48384【详解】方法一：设前3项的公差为d，后7项公比为q>0，则q4=a9a则a3=1+2d=a5q空1：可得a3空2：a方法二：空1：因为an,3≤n≤7为等比数列，则且an>0，所以又因为a52=空2：设后7项公比为q>0，则q2=a可得a1+a故答案为：48；384.5．（2022·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和．已知(1)证明：an(2)若a4,a【答案】(1)证明见解析；(2)−78．【详解】（1）因为2Snn当n≥2时，2S①−②得，2S即2a即2n−1an−2n−1an−1所以an是以1（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n−13，所以所以，当n=12或n=13时，Sn[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n−13，即有则当n=12或n=13时，Sn1．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3第9题)在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数R0=4，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要轮感染？（结果取整数，初始感染者传染R【答案】5【详解】由题可知，第一轮传染感染的人数为1+R0=5第三轮传染感染的人能数为：20R0=80人；故感染人数可看作首项为5，公比为4的等比数列，an=5×4