第03讲 平面向量的数量积及其应用（复习讲义）（解析版）

第03讲平面向量的数量积及其应用

目录

01考情解码・命题预警.....................................................................................................................2

02体系构建·思维可视.........................................................................................................................3

03核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4

知能解码........................................................................................................................................4

知识点1平面向量数量积的有关概念..............................................................................4

知识点2平面向量数量积的性质及其坐标表示..............................................................4

知识点3平面向量数量积的运算律..................................................................................5

知识点4平面几何中的向量方法......................................................................................6

题型破译...............................................................................................................................................7

题型1平面向量数量积的定义..........................................................................................7

题型2平面向量数量积的运算....................................................................................9

题型3数量积的坐标表示................................................................................................11

题型4投影向量................................................................................................................12

题型5向量在几何中的应用............................................................................................15

题型6向量在物理中的应用............................................................................................20

题型7向量新定义......................................................................................................21

04真题溯源·考向感知.......................................................................................................................27

05课本典例·高考素材.......................................................................................................................27

考点要求考察形式2025年2024年2023年

1.理解平面向量数量

积的含义及其物理意

义.

2.了解平面向量的数

量积与投影向量的长

度的关系.

新课标I卷，第3题，5

3.掌握数量积的坐标全国二卷，第12新课标I卷，第3题，5分

表达式，会进行平面分

题，5分新课标II卷，第13题，5

向量数量积的运算.单选题新课标II卷，第3题，5

上海卷，第12题，分

4.能运用数量积表示多选题分

两个向量的夹角，会填空题5分全国甲卷，第4题，5分

全国甲卷，第题，分

用数量积判断两个平95

解答题天津卷，第14题，全国乙卷，第12题，5分

面向量的垂直关系.天津卷，第14题，5分

会用向量的方法解5分天津卷，14题，5分

5.北京卷，第5题，4分

决某些简单的平面几

何问题.

6.会用向量方法解决

简单的力学问题与其

他一些实际问题.

考情分析：平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单

独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，

而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．

预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．

复习目标：

1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．

2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．

3.了解平面向量基本定理及其意义

4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

知识点1平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作O→A＝a，O→B＝b，则∠

AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量

a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为

0，即0·a＝0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点O，作O→M＝a，O→N＝b，过点M作直线ON的垂线，

→

垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.

→→

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cos

θe.

自主检测（多选）关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是（）

22

A．abababB．abcacbc

rrrrrrrrrr

C．若abac，且a0，则bcD．abcabc

【答案】CD

【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D.

【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确；

对于B，向量数量积满足分配律，B正确；

rrrrrrr

对于C，由abac，得a(bc)0，当a(bc)时，满足题设，C错误；

对于D，(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量，而a与c无任何关系，D错误.

故选：CD

知识点2平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

22

(2)模：|a|＝a·a＝x1＋y1.

a·bx1x2＋y1y2

(3)夹角：cosθ＝＝.

2222

|a||b|x1＋y1·x2＋y2

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.

2222

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x1＋y1·x2＋y2.

r

自主检测（多选）若a2,1，b3,1，则⇔（）

A．ab5B．abab

π

C．a与b的夹角为D．b在a方向上的投影向量为2a

4

【答案】AC

【分析】选项A：根据向量数量积的坐标表示进行计算即可；选项B：根据向量加减法的坐标表示计算出ab

和ab，再结合两向量垂直，数量积为0判断即可；选项C：根据向量夹角的公式进行计算即可；选项D：

根据向量的投影向量公式计算即可.

【详解】对于选项A，ab(2,1)(3,1)23(1)1615，故选项A正确；

对于选项B，ab(2,1)(3,1)(5,0)，ab(2,1)(3,1)(1,2)，

(ab)(ab)(5,0)(1,2)5(1)0(2)50，故选项B错误；

ab(2,1)(3,1)552

对于选项C，cosa,b，结合a与b的夹角范围为

ab22(1)23212510522

π

[0,π]，故a与b的夹角为，选项C正确；

4

a2a1

对于选项D，b在a方向上的投影向量为bcosa,b5a，故选项D错误.

a2102

故答案为：AC.

知识点3平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

自主检测（多选）已知a、b、c是三个向量，则下列结论中正确的是（）

A．abbaB．a(bc)abac

C．(ab)ca(bc)D．若abac，则bc

【答案】AB

【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项

判定，即可求解.

【详解】对于A中，由数量积的运算公式，可得ababcosa,b,babacosb,a，

所以abba，所以A正确；

对于B中，由向量数量积的运算律，可得a(bc)abac，所以B正确；

对于中，，，

Cabcabcosa,bcabcbacosb,aa

所以(ab)c与a(bc)不一定相等，所以C错误；

对于D中，由abac，若向量a0，此时abac0，而b与c不一定相等，所以D错误.

故选：AB.

知识点4平面几何中的向量方法

(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

π

自主检测已知非零平面向量a、b、c，满足a4，bc2，若a与b的夹角为，则ac的最小值为

3

（）

3

A．232B．3C．232D．

2

【答案】A

【分析】明确ac的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解.

【详解】如图：

令OAa，OBb，OCc.

则bcCB，acCA.

又bc2，所以点C在以B为圆心，2为半径的圆上.

所以CA的最小值为：AB2.

ππ

又OA4，AOB，所以当OBBA时，AB取得最小值为4sin23.

33

所以CA的最小值为：232.

即ac的最小值为232.

故选：A.

题型1平面向量数量积的定义

例1-1一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固

定顶点，则APAB（）

A．12B．16C．162D．163

【答案】B

【分析】利用数量积的定义运算即可求解.

π

【详解】由题可知，AP4，AB8，PAB，

3

π

所以APAB48cos16.

3

故选：B.

例1-2已知向量a,b满足a2bab3，且|a|2,|b|1，则a与b的夹角为（）

A．30oB．60oC．120D．150

【答案】C

【分析】根据向量数量积的运算律将a2bab展开，再结合向量数量积公式ab|a||b|cos求出

cos的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角.

2222

【详解】由a2bab3，可得aab2ab2baab2b3

又|a|2,|b|1

22

所以2ab213解得：ab1

ab1

所以cosa,b

ab2

又0a,b180所以a,b120

所以a与b的夹角为120．

故选：C.

方法技巧

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即

ab=|a||b|cos，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，

它是负数；当为直角时，它是0．

②ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos的乘积．

π

【变式训练1-1】已知向量a2b2，且向量a与向量b的夹角为，则(2a)(3b)．

3

【答案】6

【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解.

π

【详解】向量a2b2，且a与b的夹角为，

3

则a2,b1，

π1

2a3b6abcosa,b621cos626.

32

故答案为：6

π

【变式训练1-2】已知边长为4的菱形ABCD的一个内角为，则ABAD．

3

【答案】8或8

【分析】由平面向量数量积的定义即可求解．

π2π

【详解】由题可知，BAD或，

33

π1

若BAD，则ABADABADcosBAD448，

32

2π1

若BAD，则ABADABADcosBAD448，

32

故答案为：8或8．

题型2平面向量数量积的运算

π

例2-1已知向量a与b的夹角为，a3，b2，则ab（）

6

A．1B．23C．23D．13

【答案】D

【分析】先求ab，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解.

rrrr

ππ

【详解】因为向量a与b的夹角为，a3，b2，则ababcos3，

66

rrrr

rr222

可得aba2abb36413，所以ab13.

故选：D.

例2-2已知平面向量a，b，c均为单位向量，若a与b的夹角为60°，则cac2b的最大值为（）

A．23B．4C．27D．5

【答案】C

【分析】根据cac2b2ca2b，把问题转化为求ca2b的最小值，进一步转化为求a2b

的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可.

1

【详解】由题意：abc1，ab11cos60.

2

2

因为cac2bc2abca2b2ca2b.

又ca2bca2bcosc,a2ba2bcosc,a2ba2b，

当cosc,a2bπ时取“”.

2

2221

又a2ba2ba4ab4b1447，所以a2b7.

2

所以cac2b27.

故选：C

例2-3已知a2,0,b1,1，若aab，则（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】D

【分析】根据向量的加法、数乘向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】ab2,01,12,，

因为aab，

所以220，解得2.

故选：D.

方法技巧

平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积

的有关计算问题；

(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

【变式训练2-1】已知e1,e2是两个垂直的单位向量．若ae1e2,b2e1e2，设向量a,b的夹角为，则

cos（）

12510

A．B．C．D．

102510

【答案】D

【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量a,b的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案.

【详解】因为e1,e2是两个垂直的单位向量，所以e1e20.

因为ae1e2,b2e1e2，

所以a·be1e2·2e1e22e1e211.

22

而，

ae1e2112e1e22b2e1e2414e1e25.

a·b110

所以cos.

ab2510

故选：D.

【变式训练2-2·变考法】已知abab2，则ab.

【答案】23

【分析】利用数量积的运算律求得2ab4，然后利用数量积的运算律求解模即可.

222

【详解】因为abab2，所以2ab|ab|ab4，

22

所以aba2abb44423.

故答案为：23

题型3数量积的坐标表示

例3-1已知向量a(4,3),b(3,1)，则ab.

【答案】9

【分析】利用向量数量积的坐标运算求解即可.

【详解】ab4(3)319.

故答案为：9

例3-2已知向量a1,2,b2,0，则向量a在向量b方向上的投影向量为.

【答案】1,0

【分析】根据向量坐标求得数量积以及模长，利用投影向量的计算，可得答案.

22

【详解】由a1,2,b2,0，则ab12202，b202，

ab2

bb1,0

所以向量a在向量b方向上的投影向量为2.

b4

故答案为：1,0.

r

例3-3已知向量a3,1，b2,3，若a，b的夹角为锐角，则的取值范围是．

199

【答案】,U,

222

【分析】a，b的夹角为锐角的充要条件是a，b的数量积大于0且不共线，由此列不等式求解即可.

r

【详解】因为a3,1，b2,3，a，b的夹角为锐角，

19

所以630且29，解得且，

22

199

即的取值范围是,U,.

222

199

故答案为：,U,.

222

方法技巧坐标法求平面向量的数量积

（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，

rrrr

即若，，则；

a(x1,y1)b(x2,y2)abx1x2y1y2

（2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面

直角坐标系，使用坐标法求数量积。

【变式训练3-1】已知向量a1,3，向量b2,1，则向量a在向量ab上的投影向量的模为（）

5111711517

A．B．C．D．

517517

【答案】B

【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解.

【详解】因为向量a1,3，向量b2,1，所以ab1,32,11,4

aab1,31,41121117

向量a在向量ab上的投影向量的模为，

ab1,41717

故选：B.

2π

【变式训练3-2】平面向量a，b满足a2,5，b8，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量

3

为（）

433

A．aB．aC．bD．4b

316163

【答案】A

rrr

【分析】只需求出a,ab，再结合投影向量的定义即可求解.

2π

【详解】由题意a453，b8，a与b的夹角为，

3

1

所以ab3812，

2

ab124

在方向上的投影向量为

ba2aaa.

93

a

故选：A.

题型4投影向量

例4-1已知VABC的外接圆圆心为O，且2AOABAC，OAAC，则向量AB在向量BC上的投影向量

为（）

13uuur13

A．BCB．BCC．BCD．BC

4444

【答案】D

【分析】根据条件作图，可得△ACO为等边三角形，VAOB为等腰三角形，VABC为直角三角形，即

3

OBA30，ABBC，再根据投影向量的概念求解即可.

2

【详解】如图，由2AOABAC，可得O为BC的中点，

又因为O为VABC的外接圆圆心，所以OAOBOC，

又因为OAAC，所以ACOAOBOC，

所以△ACO为等边三角形，即ACO60，

VAOB为等腰三角形，即∠OAB∠OBA30，

3

VABC为直角三角形，ABBC，

2

所以向量AB在向量BC上的投影向量为

BC3BC333

ABcos150BCcos150BCBC.

BC2BC224

故选：D.

例4-2设向量a.b满足a6,b4且ab12，则向量a在向量b方向上的投影是.

【答案】3

【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解.

【详解】向量a、b满足a6，b4，且ab12，

ab12

向量a在向量b方向上的投影3，

b4

故答案为：3.

方法技巧

rrrrrr

uuuurrruuuurrrrbrabbabr

设向量是向量在向量上的投影向量，则有rrrrr，

A1B1abA1B1|a|cosa,b|a|b

|b||a||b||b||b|2

rr

uuuur|ab|

则r

|A1B1|

|b|

π

【变式训练4-1】如图，在VABC中，C，ADBC于D，AD2，BC6，则AB在AC上的投影向

4

量为（）

1111

A．ACB．ACC．ACD．AC

2552

【答案】A

10

【分析】根据已知及余弦定理得cosCAB，再由投影向量的求法求AB在AC上的投影向量.

10

【详解】由题设，ADCD2，则AC22，BD4，

故ABAD2BD225，

AC2AB2BC28203610

所以cosCAB，

2ACAB2222510

10

2522

所以AB在AC上的投影向量为ABACAC101.

ACAC

ACAC82

故选：A.

【变式训练4-2·变载体】已知am1,2，b1,m.

(1)若abb，求m的值；

(2)若ab2且m0，求a在b方向上的投影数量.

【答案】(1)m0或3

75

(2)

5

【分析】（1）根据向量垂直得到方程，求出m0或m3；

（2）abm,m2，根据向量模长得到方程，求出m2，利用投影向量的公式得到答案.

【详解】（1）因为abm,m2，b1,m，

2

由于abb，所以abbm3m0，

所以m0或3.

（2）因为am1,2，b1,m，则abm,m2，

22

mm22

若ab2且m0，则，解得m2，

m0

则a3,2，b1,2，可得ab7，b5

ab775

所以a在b方向上的投影数量.

b55

题型5向量在几何中的应用

π1

例5-1已知OBA，OB4，且ABOA，则xOBOAxOBOAxR的最小值为（）

32

3

A．25B．23C．3D．

2

【答案】C

1

【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得OA23，设ODxOB,OEOA，结合平面向量线

2

性运算以及余弦定理可求得当A、D、F三点共线时取得最小值．

π3

【详解】由已知OAOBsin423，

32

1

设ODxOB,OEOA，

2

1

则xOBOAxOBOAODOAODOEADED，

2

作E关于直线OB的对称点F，连接OF、AF、AD、FD，

π

则OFOE23，FOA2BOA，

3

所以ADEDADFDAF，

22π1

在AOF中，由余弦定理可得AFOFOA2OFOAcos31223233，

32

所以ADEDADFDAF3，

当且仅当A、D、F三点共线时等号成立，

1

所以xOBOAxOBOAxR的最小值为3．

2

故选：C．

π2

例5-2已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足，

3b6be80

则ab的最小值是（）．

33

A．31B．31C．31D．23

22

【答案】A

2

【分析】由b6be80，可得b4eb2e0，则b4e与b2e垂直，设a,b共起点，数形结合画

出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解.

2

【详解】设a,b共起点，由b6be80，可得b4eb2e0，

所以b4e与b2e垂直，如图，

由向量减法的几何意义可知，向量b的终点落在图中的圆上，

由题意可知a的终点在图中所示的射线上，

所以ab是从圆上的点到射线上的点形成的向量，

要求ab的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，

π3

故ab的最小值为3sin131．

32

故选：A．

方法技巧用向量方法解决实际问题的步骤

【变式训练5-1】已知平面向量AB、AC、AD，ABAC1，ABAC1，△BCD的面积为23，则AD

的最小值为（）

37

A．B．2C．D．4

22

【答案】C

【分析】通过ABAC1平方，求得BAC，结合余弦定理求得BC3，再结合面积公式求得点D到BC

的距离，进而可求解.

【详解】已知ABAC1，ABAC1，

2222

对ABAC平方得ABACABACAB2ABACAC.

2222

因为ABAB1，ACAC1，

设BAC，0π，则ABACABACcoscos，

212π

所以ABAC12cos11，即22cos1，解得cos，有.

23

b2c2a21

在VABC中，由余弦定理有cos，可得BC3，

2bc2

1

设点A到BC的距离为h，有h1.

12

已知，设点到的距离为，

SBCD23DBCh

1

由SBCh23，解得h4，

BCD2

17

则AD的最小值为hh4.

122

故选：C

rrrrrrrrur2rur

【变式训练5-2】已知a3,b1,ab0,caca4,d4bd30，则cd的最大值

为．

221

【答案】1

3

【分析】由题意首先得出cd为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为

椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.

【详解】如图所示：

不妨设aOA3,0,bOB0,1,OCm,n,ODp,q,A13,0，

满足a3，b1，ab0，

22

又caca4，即22，

m3nm3n42a2c23A1A

由椭圆的定义可知点C在以A1,A为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，

a2,c3,ba2c2431，

x2

所以该椭圆方程为y21，

4

2

而d24bd30，即p2q2