人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(四)之压轴满分题型专训(原卷版+解析)

期末重难点特训（四）之压轴满分题型专训

旨【题型目录】

题型一二次根式的混合计算压轴题

题型二二次根式与几何图形综合的压轴题

题型三用勾股定理解三角形压轴题

题型四勾股定理逆定理的应用压轴题

题型五最短路径问题压轴题

题型六平行四边形的存在性压轴题

题型七特殊平行四边形的性质与判定压轴题

题型八四边形中的动点类压轴题

题型九四边形中的最值类压轴题

题型十与三角形中位线有关的求解压轴题

题型十——次函数的图象与性质压轴题

题型十二一次函数中的几何压轴题

题型十三一次函数的应用压轴题

【压轴题型一二次根式的混合计算压轴题】

1.（2023春•江苏•八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另

一个式子的平方，如3+2上=（1+及丁，善于思考的小明进行了以下探索：

若设a++n五）=m2+2n2+2mn6（其中。〃均为整数），则有a=m2+2/,b=2mn.这

样小明就找到了一种把类似a+力行的式子化为平方式的方法，清你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（I）若。+6行=（加+小。『，当。〃均为整数时，用含〃7、〃的式子分别表示。、6,得：。=,

b=；

⑵若a+6x/J=何+〃6『，且明”、〃均为正整数，求。的值；

（3）化简下列各式：

①、/5+2及

②、6-2面

③『4-J10+2西+J4+J10+需•

2.（2022秋•四川资阳•九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它

的整数部分.如今天是星期一，还有55天中考•，问中考前还有多少个星期一、容易知m=7亨，但答案并

不是将小数部分四舍五入得到8,而是75的整数部分7,所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我

们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数.在数轴上就是取出实数x

对应的点左边最接近的整数点(包括x本身)，简称取整，记为㈤.这里国="-"，国+a=x,其中国是一

个整数，。称为实数x的小数部分，记作{ZJ,所以有尸国+亿,}.例如，[-14.3]=-15,{Zw}=0.45.

关于取整运算有部分性质如下：

①<[x],x

②若〃为整数，则卜+〃]=口〕+〃

请根据以上材料，解决问题：

(1)[x/10]=；若加=[一幻，"={Z_J,则〃/+mn=;

⑵记入念?+屠丁土TT酝：时，求阿；

(3)解方程：卢/]=铝.

3.(2023春•浙江•八年级专题练习)阅读下列材料，然后回答问题.

2

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如石不一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:

高=总徵5=吗=0=百一]以上这种化简的步骤叫做分母有理化

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比

如我们熟悉的下面这个题：已知/方=2,ab=-3,求我们可以把“+/,和他看成是一个整体，令

x=a+b,y=ab,则/+/=(a+/))2-2t=/-2y=4+6=10.这样，我们不用求出a,b,就可以得到

最后的结果.

⑴T算：#+J石+6+万+石+…+J2519+,2017；

(2)〃？是正整数，,b=叵I十型且2。2+1823—+2〃=2019求m.

V+1+yjmyjm+1-y/ni

(3)已知川5+》2-J26-V=1，求/15+/+，26--的值.

【压轴题型二二次根式与几何图形综合的压轴题】

1.12023春・全国•八年级阶段练习）正方形/18CQ在平面直角坐标系中的位置如图所示，4）//6C〃x轴，AD

与『轴交于点E,OE=\,且4E,QK的长满足J〉E—3+pE—l|=0.

（1）求点力的坐标；

（2）若尸（-4,-1）,求△&>，的面积:

（3）在（2）的条件下，正方形力8。。的边上是否存在点使4亚二254小？若存在，请直接写出点〃

的坐标；若不存在，请说明理由.

2.12023春•湖北宜昌•七年级统考期中）如图1,在平面直角坐标系中,力（1,。）、8优,3）、£（-2,0）,其中。、

b满足：/>=V^6+V6^+5.平移线段48得到线段CO,使得C、。两点分别落在N轴和X轴.匕

(2)如图1,将点£向下移动1个单位得到点?，连接尸C、PD,在y轴正半轴上恰有一点。，使得APCO与

△°C。面积相等，求出。点的坐标.

(3)如图2,将图1中的C、E连接，平移线段CE得到GO,使得GO〃CE,交线段于点/，连接力C、

AF,求△力C尸的面积.

3.12023•河南洛阳・统考二模)阅溟材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当。>0,/)>0

时，有(G+〃)=a-2\/~ab+b>0,：.a+b>2\/ab»当且仅当时取等号.

请利用上述结论解决以下问题：

⑴当x>()时，x+，的最小值为；当x<0时，x+1的最大值为；

XX

(2)当x>0时，求y=>+3-16的最小值;

X

(3)如图，四边形48co的对角线4C、B力相交于点O,“OB、△COO的面积分别为9和16,求四边形488

的最小面积.

【压轴题型三用勾股定理解三角形压轴题】

1.(2023•江西九江•校考模拟预测)已知》8C,点P是平面内任意一点(不与点力，B,。重合)，若点P

与4B,C中的某两点的连线的夹角为直角，则称点夕为ABC的一个“勾股点”.

7)

图(2)

⑴如图（1）,若点尸是“/AC内一点，/力=55。，NABP=10。，4C'尸=25。，试说明点P是小BC的一个，勾

股点”;

⑵如图（2）,已知点。是的一个“勾股点”，NJOC=90。，且NDC8=/D4C,若AO=3CO=3,BC=6,

求48的长：

⑶如图（3）,在中，ZACB=90°,AC=向，点、D为“BC外一点,DB=DA,NBCD/5。,8=3,

点D能否是A8c的“勾股点”，若能，求出4c的长；若不能，请说明理由.

2.（2023春・山东济南•八年级统考期中）加图，在AJAC中，ZB=90°,AB=\6cm.BC=12cm.M、N是“BC

边二的两个动点，其中点M从点彳出发，沿4-8方向运动，速度为每秒2cm；点N从点B出发,沿B—C—A

方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为/秒.

（I）®RtAJ5C斜边4c上的高为一；

②当f=2时，MN的长为；

（2）当点N在边8c上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？

（3）当点N在边力。上运动时，直接写出所有能使△8CN成为等腰三角形的/的值.

3.(2023春•重庆南岸•八年级重庆市第H^一中学校校联考期中中，NABC=90°,AD平分ZBAC,

E为/C上一点.

图I图2

(1)如图1,过D作DF//交AC于点、F,若DE=DF=3,48=4,求△%£)户的面积；

(2)如图2,若CE=CD,过A作交DE的延长线于点尸，〃为ZU延长线上一点，连接〃E,过户作

FG工HE交DH于放G,交HE于点、M,且4/=/G,

①猜想△力。尸的形状，并证明；

②猜想线段〃。与之间的数量关系，并证明.

【压轴题型四勾股定理逆定理的应用压轴题】

1.(2023秋•四川成都•八年级统考期末)在四边形”CZ)中,乙%。=90。，AB=AD.

图1

（1）如图1,若力B=2,BC=Q，CD=>/6.

①连接8。，试判断△8CQ的形状，并说明理由；

②连接力C,过A作力E_L力C,交C。的延长线于点£,求△4CE的面积；

（2）如图2,若N88=135。，BC=2后,四边形川?。。的面积为不，求C。的长.

乙

2.（2023春•全国•八年级专题练习）问题背景：如图1,某车间生产了一个竖直放在地面上的零件48,过

点,4搭了一个支架4C,测得支架4C与地面成60。角，即N4cB=60。；在/1C的中点。处固定了一个激光

扫描仪，需要对零件48进行扫描，已知扫描光线的张角恒为60。，即/初尸=60。.

问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件4B边上的被扫描部分（即线段EQ，和未扫到

的部分（即线段/七和线段4广）之间的数量关系.

问题解决：

（1）先考虑特殊情况：

①如果点£刚好和点力重合，或者点4刚好和点尸重合时，AE+BFEF（填“>”，"v”或“=”）；

②当点石位于特殊位置，比如当乙4。£=30。时，AE+BFEF（填”或“〈”）；

(2)特殊到一般：猜想：如图2,当0。<乙仍£<60。时，AE+BFEF,证明你所得到的结论:

(3)研究特殊关系：如果BF-EF=4E2，求出空的值.

3.(2023春•八年级单元测试)如图①，/CQE是四边形/8CZ)的一个外角，AD//BC,BC=BD,点、F

在CQ的延长线上，NFAB=/FBA,FG1AE,垂足为G.

(1)求证：

®DC平分4BDE；

@BC+DG=AG.

(2)如图②，若48=4,BC=3,DG=\.

①求N/尸。的度数；

②直接写出四边形ABCF的面积.

【压轴题型五最短路径问题压轴题】

1.(2023春•浙江•八年级专题练习)如图，一条河流的8。段长为12km,在8点的正北方4km处有一村庄力，

在。点的正南方2km处有一村庄E,计划在40上建一座桥C,使得桥。到月村和£村的距离和最小.请根

据以上信息，回答下列问题：

(1)将桥C建在何处时，可以使得桥。到4村和E村的距离和最小？请在图中画出此时。点的位置;

(2)小明发现：设8C=x,则CZ)=12-x,则4C+CE=+42+，(12—〃丫+22,根据(1)中的结论可以

求出当尸时，VxM+Nz-xy+z?的值最小，且最个值为

(3)结合(1)(2)问，请直接写出下列代数式的最小值：

①&+9+](24-"+16的最小管：

②2，(X-2)2+4+J(210)2+25的最小值为.

2.(2023春•陕西西安•八年级西安市铁一中学校考期中)

(1)问题提出

如图1,已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作力BJ.BD,ED1BD,连接4C、EC.已知43=2,

DE=1,8。=8,则4C+CE的最小值是

(2)问题探究

加图2,在四边形/ACQ中，AD//BC,AD=BC,4？=6,8c=8,AABC=60°,E是四边形448内

一动点，且S^EBC=gSAEAD，求E4+ED的最小值.

(3)问题解决

如图3,已知NN=30。，长度为2的线段。£在射线上滑动，点C在射线M4上，且NC=6,ACOE的两

图1图2图3

3.（2022秋•江苏•八年级期末）将』8。（彳8＞力。）沿/。折叠，使点。刚好落在48边上的点E处.展开

如图1.

【操作观察】（1）图1中，4B=S,AC=6.

①则BE=;

②若=9,则S&ABD=；

【理解应用】（2）如图2,若NC=2NB,试说明：AB=AC+CD；

【拓展延伸】（3）如图3,若/从fC=60。，点G为月。的中点，且力G=5.点尸是月。上的一个动点，连接

PG、PC.求（PG+PC『的最小值.

【压轴题型六平行四边形的存在性问题】

1.（2022春・广东湛江•八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线"y=-x+5与y轴交于点儿

直线£尸"+力与X轴、y轴分别交于点以-4,0）和点。，直线4与直线4交于点0（2,〃?）.

誓用图I%用图2

（I）求直线4的解析式;

(2)若点£为线段8c上一个动点，过点£作所_1.丫轴，垂足为凡且与直线交于点G,当EG=6时，求点

G的坐标；

(3)问在平面上是否存在点〃，使得以点儿C,D,"为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所

有满足条件的点”的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2022春・浙江温州•八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形力4co是平行四边形，。为坐

标原点，点力的坐标是(-16,()),线段8c交y轴于点。，点。的坐标是(0,8),线段C£>=6.动点尸从

点。出发，沿射线04的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点。从点。出发，以每秒I个单位的速

(3)当4802恰好是等腰三角形时，求/的值.

3.(2022秋・全国•九年级阶段练习)已知，平行四边形力8CQ中，一动点Q在力。边上，以每秒1cm的速度

从点A向点。运动.

F

Q

图③

（1）如图①，运动过程中，若CP平分/8CO,且满足8=C产，求。的度数.

（2）如图②，在（1）问的条件下，连接〃。并延长，与C。的延长线交于点广，连接"，若/I8=8cm,求尸

的面积.

（3）如图③，另一动点Q在BC边上,以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，

当点P到达点。时停止运动（同时。点也停止），若力。=l2cm,贝卜为何值时，以P,D,Q,4四点组成

的四边形是平行四边形.

【压轴题型七特殊平行四边形的性质与判定压轴题】

1.12022春•江苏镇江•八年级统考期末）【问题背景】在矩形纸片48co中，AB=6,BC=10,点、P在边AB

上，点。在边8C上，将纸片沿尸。折叠，使顶点月落在点E处.

【初步认识】

（1）如图①，折痕的端点P与点4重合.

①当/。。£=50。时，4AQB=.②若点E恰好在线段0。上，则8。的长为.

【深入思考】

（2）点£恰好落在边力。上.

①诗在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕尸。；（不写作法，保留作图痕迹）

②如图③，过点£■作叶〃川?交做于点巴连接外请根据题意，补全图③并证明四边形P8FE是菱形；

③在②的条件下，当力£=3时，菱形P8尸上的边长为,8。的长为.

【拓展提升】

(3)如图④，若。。_LP。，连接。E.当△。上。是以。。为腰的等腰三角形时，求8。的长.

③

2.(2022春・广东广州•八年级校联考期中)在正方形48co中，点七是。。边上任意一点.连接力上，过点B

作8F工4E于F.交4D于H.

⑴如图1,过点。作。G_L/E于G,求证：“FB处DGA；

(2)如图2,点石为C。的中点，连接。尸，求证：FH+FE=6DF;

(3)如图3,AB=\,连接EH,点、P为EH的中点,在点上从点D运动到点。的过程中，点P随之运动，请

直接写出点P运动的路径长.

3.（2022春・江苏南通•八年级校考期中）【探究与证明】

在正方形力4。中，G是射线4c上一动点（不与点力，。重合），连接〃G,作4"_LBG,且使BH=BG,

连接G〃、CH.

（I）如图1,若点G在4C上,则：

①图中与△48G全等的三角形是：

②线段/G,CG,G"之间的数最关系是:

（2）如图2,若G在力C的延长线上，那么线段4G,CG,8G之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出

证明.

【压轴题型八四边形中的动点类压轴题】

1.（2022秋•陕西西安•九年级校考阶段练习）如图，已知在正方形48C。中，/8=2,点£为对角线力。上

一动点，连接。石，过点£作石尸_L。石，交8C于点尸，以。£,E尸为邻边作矩形。石尸G,连接CG.

(1)求4c的长；

(2)探究：CE+CG的值是不是定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

2.(2022秋・浙江温州♦八年级校考期中)如图1,A/18C中，力8=£,点N为4C中点，点。为上一

点，连结CQ.已知3。：/。:。。=2:3:4,8=8.动点。从点6出发，以1个单位/秒的速度沿线段%i向

终点A运动，设点尸运动的时间为/(秒).

(1)求证：CO_L48.

(2)若△8PN为等腰三角形时，求f的值.

(3)如图2,动点p出发的同时，另有一点。从点。出发沿线段Z)C向终点C运动，速度为:个单位/秒，连

结BQJ。,将线段8。,PQ绕点0分别向顺时针和逆时针方向旋转90。，得到线段。E和。八当EC/三

点共线时，直接写出，的值为

3.(2022秋・山东济南•九年级校考阶段练习)在正方形48CO中，动点E,尸分别从。，。两点同时山发,

以相同的速度在直线QC，C8卜•移动.

图3

(1)如图1,当点E自O向。，点F自C向8移动时，连接力E和。尸交于点尸，请写出力£与。尸的关系,

并说明理由;

(2)如图2,当点/分别移动到边。C,C8的延长线上时，连接力七和。尸，(1)中的结论还成立吗？(请

直接回答“成立”或“不成立”，无需证明)

(3)如图3,当E,/分别在CO,BC的延长线上移动时，连接4E和。尸，(1)的结论还成立吗？请说明理

由.

【压轴题型九四边形中的最值类压轴题】

1.(2022秋•广东深圳•八年级统考期末)如图，在长方形力88中，AB//CD,BC//AD,D4=90°,A8=6,

力。=8,点P在边4。上，且不与点8、。重合，直线/P与。。的延长线交于点£.

(1)当点尸是8C的中点时，求证：AABPdECP；

(2)将&APB沿直线AP折叠得到“PB，，点B'落在长方形ABCD的内部，延长夕方交直线AD于点F.

①证明"=并求出在(1)条件下力厂的值；

②连接B'C,直接写出△PC*周长的最小值.

2.(2022秋•浙江宁波•八年级校考期中)(1)如图1,在等腰RtA/BC中，AC=BC=4,4c8=90。，D

是8C边的中点，£■是边上一动点，则EC+EQ的最小值是.

图1图2图3

(2)如图2,在正“8C中，43=4,P、M、N分别是6C,C4相上的动点，

①PM+MN的最小值为；②求PM+MN+NP的最小值.

(3)如图3,正方形ABCD的边长为4,E、F分别是边AB和8C上的动点且始终满足4E=BF,连结DE,DP,

求。E+。月的最小值.

3.（2022春•陕西西安•八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决

几条线段之间的和差问题.请看这个例题：如图1,在四边形48co中，NBAD=NBCD=9V,AB=AD,

若nC=5cm,求四边形力8CZ）的面积.

解：延长线段到，使得BE=CD,连接力E,我们可以证明根据全等三角形的性质得

AE=AC=5,4EAB=/CAD,MZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90°,得

S啦吟仆=S/BC+邑的=S.ABC+S/BE=邑皿，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面

积.

⑴根据上面的思路，我们可以求得四边形力8c。的面积为cm2.

（2）如图2,在A/IBC中，4C4=90。，且/C+BC=4,求线段的最小值.

（3）如图3,在平行四边形48C。中，对角线4。与〃。相交于O,且/8OC=60。；/fC+BD=10,则/I。是否

为定值？若是，求出定值；若不是，求出力。的最小值及此时平行四边形力8CZ）的面积.

【压轴题型十与三角形中位线有关的求解压轴题】

1.（2023春•四川成都•八年级成都铁路中学校考期中）已知，如图1,中，AC=BC,D,E分别是

线段4C,48的中点，且满足。£〃8C,BC=2DE,P为边AB上一动点,连接OP,以。。为一边在右侧

作VQP0,使。尸=。。，且4。。=4。8,连接并延长交直线火于点

H,

H、C

CC

APEE

图1图2图3

⑴求证："PD知EQD；

(2)若44。8=120。，判断线段BC与线段C”的数量关系，并说明理由;

⑶在(2)的条件下，延长。。交8C于点G,若4C=6,当△HQG为直角三角形时，求力夕的长度.

2.(2023・吉林长春•校考二模)【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在“8c中，若

AB=5,AC=3,求8c边上的中线4。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

延长力。到E,使得，DE=AD,再连接8E(或将△力。。绕点。逆时针旋转180。得到△E8Z)),把

43、1C、2力。集中在△力8E中，利用三角形的三边关系可得2＜力后＜8,则lv4)＜4.

【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线''等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍・，

构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中

线加倍”法.

【解决问题】如图②，在小8。中，点。是边3c的中点，点上在边/也上，过点D作DFJ.DE,交边AC

(I)求证：BE+CF>EF.

(2)若/力=90。，则线段CF、即之间的等量关系为

(3)【应用拓展】如图③，在中，48C=9()。，点。为边力C的中点，点E和点尸分别在边BC上,

点M为线段£少的中点.若4E=2,CF=5,则。M的长为

3.（2023春・江苏•八年级姜堰区实验初中校考周测）（1）［方法回顾］课本上“三角形中位线定理”的证明.

已知：如图1,在“8C中，点。、上分别是边48、4C的中点.求证：DE=；BC,DE//BC.

证明：如图1,延长DE到点凡使得EF=DE,连接6；请继续完成证明过程：

（2）［问题解决］

如图2,AB//CD,&为力。的中点，G、”分别为射线45、。。上的点，4JEF=90°,线段4G、DF、FG

有怎样的数最关系？请说明理由.

（3）［思维拓展］

如图3,在四边形力8C。中，AD”BC,4=90。，ZD=120°,E为力。的中点，G、尸分别为OC边

若AG=2仆,DF=6,E"的长为

【压轴题型十——次函数的图象与性质压轴题】51.（2023春•四川宜宾•八年级四川省宜宾市第二中学校校

考期中）如图1，直线），=r+3交工轴于点从交y轴于点C点/I在x轴负半轴上且力点坐标为（-4,0）.

(2)如图2,点尸坐标为(0,1),过点尸的直线尸£把小。。的面积分为1:3,交/OC另一边于点E,求点E

的坐标；

(3)如图3,已知点点"为线段4C上一动点，点N为直线4C上一动点，当三角形QWN为等腰直

角三角形时，求必点的坐标.

2.(2023春•北京•八年级校联考期中)已知点E和图形G,。为图形G上一点，若存在点尸，使得点E为

线段尸。的中点(P,0不重合)，则称点P为图形G关于点E的双倍点.

如图，在平面直角坐标系中，点4-1,0),5(-2,-1),C(0,-l),

/

6

5

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备用图

⑴若点E的坐标为(一3,0),则在q(T,0),鸟(一5,2),6(-6,1),乙(-7,-1)是四边形力8c。关于点E的双

倍点的是;

(2)点N的坐标为(-3/),若在二四象限角平分线上存在四边形/18CZ)关于点N的双倍点，直接写出f的取

值范围；

(3)点M为四边形488边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交x轴于点尸(。,0),与j，轴交

于点〃(0/)，若线段可上的所有点均可成为四边形48CZ)关于河的双倍点，直接写出方的取值范围.

3.12()23春•全国•八年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，直线)，=刀+1分另U交x轴，y轴于点/、从另

一条直线与直线交于点与x轴交于点。(3,0),点尸是直线上一点(不与点。重合).

(1)求。的值.

(2)当△4PC的面积为18时，求点尸的坐标.

(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且MN始终与48平行，直线MW交直线C。于点〃，交y轴于点

N,当N8MN=90°时，求的面积.

【压轴题型十二一次函数的几何压轴题】

1.（2023春・北京东城•八年级北京二中校考期中）在平面直角坐标系xQy中，中心为点C的正方形各边分

别与两坐标轴垂直，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的“限称点”的定义如下：设"为直线C、尸

与正方形的边的一个交点，另一个交点为若满足CM4尸PY2CM,则称〃为点尸关于正方形的“限称

点”.如图，为点尸关于正方形的呻艮称点”尸'的示意图.规定：若点P与点。重合，则点P的“限称点”存

在.

y■

4-4-

3-

2-

1234-4-3-2-1O1234x

-1

-2

-3

-4

备用图

（1）若正方形的中心为原点。，边长为2.

①分别判断点尸卜生）、G（国）、〃（（）,-目关于该正方形的“限称点”是否存在，若存在，求其坐标；

②若平面内一动点N（2〃,〃+2）关于该正方形的“限称点”存在，求〃的取值范围；

（2）若正方形的中心7在x轴上，边长为2,记直线y=-2x+l在OWxQ之间的部分为图形K.若图形K上

任意一点关于该正方形的“限称点'都存在，请你直接写出正方形中心T的横坐标的取值范围.

2.（2023春・北京海淀•八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系xQy中，对于没有公共点的两个图形M、

N给出如下定义：尸为图形M上任意一点，0为图形N上任意一点，若P、0两点间距离的最大值和最小

值分别为4和4，则称比值?为图形M和图形N的“距离关联值”，记为k（M”）.已知Y48czy顶点坐标

为B（-V3,-l）,0（1,-1）,D（V3J）.

⑴若E为Y边上任意一点，则OE的最大值为,最小值为,因此“（点0,YABCD）

（2）若以％,〃。为Y力BCD对角线B。上一点,GN，"?）为YABCD对角线4c上一点，其中x产士.

①若〃?=；，则k（线段尸G,YABCD）=；

②若6WZ（线段EG,YABCD）<8,求w的取值范围；

（3）若口H/JK的对角线交点为O,且顶点〃（〃,〃）在直线4C上，顶点K（g,〃）在直线8。上，其中P<4,请

直接用含〃的代数式表示kgi〃JK户/BCD）.

3.（2023春・江苏苏州•八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点

力（-6,8）,点C在x轴正半轴上，对角线/C交），轴于点边力8交y轴于点H.动点尸从点力出发，以

2个单位长度/秒的速度沿折线A-B—C向终点C运动.

（I）点8的坐标为；

（2）设动点P的运动时间为/秒，连接PM、BM,△P8M的面积为S,请用含f的式子表示S；

（3）当点。运动到线段8C上时，连接PM、BM,若NABM=2NPMC,求尸的运动时间/的值.

【压轴题型十三一次函数的应用压轴题】

1.（2023•浙江宁波•统考一模）甲开车从4地前往8地送货，同时，乙从。地出发骑车前往4地，。在4,

4两地之间且距离力地15千米.甲到达4地后以相同的速度立马返回/地，在力地休息半小时后，又以相

同的速度前往〃地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），

甲载上乙后以原速前进.甲、乙两人距离8地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示.

（1）求甲第一次送货前往B地时，甲距离8地的路程y关于x的函数表达式.

（2）问在乙距离8地多远时，甲载上了乙？

（3）向乙比原计划早到多少时间？

2.（2023春・浙江温州•八年级期中）根据以下素材，完成探索任务.

判断车辆是否因超速被罚款？

素我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道

材口之间的途中会有测速仪测速，且测速时有闪光.根据交规，若超速10%以上未达20%的，处以200

元以内罚款.

素在物体运动的速度v关于时间/的函数图象中，函数图象与横轴以及直线所用成的图形（如

材卜

图的阴影部分）面积的数值等于4勿体从4到，2这个时间段的运动距离./

di(7

素

测速仪安装是在车辆前进方向的8信上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆

材

和测速仪之间的距离，再用距离5空除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速.

速度1米/秒=3.6千米/小时，某Z口以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）

时开始匀减速，从开始减速到车5&进入隧道用了20秒，其速度v关于时间/的函数图象如图所示，乙

素

"Ms）

材30

-----------1

四和是两次雷达测速的时间.

___d

1120永)

问题解决

任

务求该车进入隧道时的速度？

任

务当第一次闪光时，车速已经降到一r90千米/小时，求时间％.

任

务到第二次闪光时，该车又前进了，49米，此次该车是否会因超速而被罚款，请通过计算说明理由.

3.（2023・广东深圳•深圳中学校联考二模）目标检测是•种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类

等目标.这些目标通常可以通过图像或视频来识别.在常规的目标检测任务中，如图1,一般使用边同轴平

行的矩形框进行标示.

在平面直角坐标系xOy中，针对目标图形G,可以用其投影矩形来检测.图形G的投影矩形定义如下：矩

形的两组对边分别平行于x轴，V轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小.设矩形的较

长的边与较短的边的比为％，我们称常数％为图形G的投影比.如图2,矩形为必切的投影矩形,

其投影比〃=空

AB

图1图2

(1)如图3,点4（1,3）,3（3,5）,则△048投影比〃的值为.

(2)如图4,若点〃（-1，0）,点N（2,l）且△〃可「投影比k=2,则点2的坐标可能是.（填写序号）;

③卜3,3@(4,-1).

①（1，-5）；②(0,2)；

4

(3)如图5,已知点。（6,0）,在函数y=2x-6（其中x<3）的图象上有一点。，若AOCO的投影比"二g,

求点。的坐标.

y

6

5

4

3

2

I23456x

图3图4

期末重难点特训（四）之压轴满分题型专训

旨【题型目录】

题型一二次根式的混合计算压轴题

题型二二次根式与几何图形综合的压轴题

题型三用勾股定理解三角形压轴题

题型四勾股定理逆定理的应用压轴题

题型五最短路径问题压轴题

题型六平行四边形的存在性压轴题

题型七特殊平行四边形的性质与判定压轴题

题型八四边形中的动点类压轴题

题型九四边形中的最值类压轴题

题型十与三角形中位线有关的求解压轴题

题型十——次函数的图象与性质压轴题

题型十二一次函数中的几何压轴题

题型十三一次函数的应用压轴题

【压轴题型一二次根式的混合计算压轴题】

1.（2023春・江苏•八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的

式子可以写成另一个式子为平方，如3+2后=（1+五）1善于思考的小明进行了以下探索：

若设a+b&=（"i+〃亚"）=m2+2n2+2mn也（其中均为整数），则有a=nr+2/，

b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+〃行的式子化为平方式的方法，请你仿照小明

的方法探索并解决下列问题：

（1）若。+乐万=（m+小万丁，当。、b、〃7、〃均为整数时，用含加、〃的式子分别表示。、b,

得：a~»b=；

⑵若Q+6\/5=,且。、、〃均为正整数，求。的值；

⑶化简下列各式：

①J5+26

②加-2屈

③+，4+“o+需.

【答案】⑴〃/+7〃2,2mn

（2）12或28

⑶①由+应，②石-石，③石+1

【分析】(1)利用完全平方公式展开可得到用"，、〃表示出。、b;

(2)利用(1)中结论得到6=2与〃,利用〃、〃?、〃均为正整数得到〃?=1,〃=3或相=3,

〃=1,然后利用a=rn2+3〃?计算对应a的值；

(3)设日师韭+伞+廊韭=/，两边平方得到

)=4-J10+2逐+4+J10+26+2116-(10+2回，然后利用(1)中的结论化简得到

『=6+2石，最后把6+26写成完全平方形式可得到，的值.

【详解】(1)设a+b"=(?M+〃6)=m2+ln2+2mnyff(其中〃、b、m、〃均为整数),

则彳1〃=〃/+7/J,b=2mn；

故答案为：m2+7n2»2mn；

(2)V6=2mn,

nin=3,

•・Z、〃?、〃均为正整数，

m=\,〃=3或〃7=3,//=1,

当初=1,〃=3时，a=m2+3n2=12+3x32=28;

'1w=3,〃=1时，a=in2+3n2=32+3x1~=12；

即a的值为12或28；

(3)①，5+26

=J3+2+2百xa

=(0+可

=734-72

②g-2厢

=J5+2-2&拒

=(百-何

=亚-五

③设/4-，10+2x/f+小4+，10+2方=/，

贝I」J=4—J10+2石+4+J10+2石+2716-(10+2^)

=8+2,6-2石

=8+2/（述-

=8+2心-1）

=6+2x/5

=（石+1J,

【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，

如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

2.（2022秋•四川资阳•九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值,

而只需求出它的整数部分,如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、

容易知,=7亨，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8,而是号的整数部分7,所以有

7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取

出不超过实数x的最大整数.在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括

x本身），简称取整，记为㈤.这里=㈤+a=x,其中国是一个整数，a

称为实数X的小数部分，记作{ZJ,所以有x=[x]+{ZJ.例如，[-14.3]=-15,自阴}=045.

关于取整运算有部