江苏省南京市七校2025-2026学年高二上学期10月联合调研试题数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南京市七校2025-2026学年高二上学期10月联合调研试题数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z=(2+iA．1 B．3 C．－i D．－12．已知向量a=3,−1，b=1A．10 B．-10 C．-123．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（

）A．110 B．310 C．7104．若sin(α−β)sinβA．−17 B．17 C．−5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为（

A．3π B．32π C．36．已知点A3,4，B−2,−1，若直线A．12,+C．−∞,07．已知m,n∈R，若两圆x2+yA．22 B．2 C．22 8．已知A，B是圆C1:x2+y2=3上的动点，且AA．7,47 B．9,49 C．二、多选题9．某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为40,50，50,60，60,70，70,

A．考生参赛成绩的平均分约为72.5分B．考生参赛成绩的第75百分位数约为81.5分C．分数在区间50,60D．用分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间70,80应抽取10．下列说法正确的有（

）A．直线倾斜角越大，斜率越大B．经过不同两点PxyC．经过点(1,1)且在xD．经过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A,B两点，11．已知圆M：x2+y−32=4，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线A．四边形PAMB．若P7,0，则C．AB的最小值为D．若Q153,0三、填空题12．已知直线l1:2a+1x+a13．已知A(1,2),B(3,014．已知函数fx=16−x2,x≤四、解答题15．已知△ABC的内角A,B,C的对边为a，b，(1)求sinB(2)若△ABC的面积为55416．如图，在长方体ABCD−A1B(1)求证：直线BD1/(2)求直线AP与平面B17．已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB:x(1)求顶点A,(2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程；(3)求平行四边形ABCD的面积.18．已知圆M与直线3x+y+2=0(1)求圆M的标准方程；(2)过点R(2,(3)设点D(0,3)，过点D作直线l1，交圆M于P,Q两点，再过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆19．现定义：若圆A上一动点M，圆A外一点N，满足MN的最大值为其最小值的两倍，则称N为圆A的“白银点”.若点G同时是圆A和圆B的“白银点”，则称G为圆“A⊗B(1)若点C为圆A的“白银点”，求点C的轨迹方程并说明轨迹的形状；(2)已知圆B:(x−2（i）求直线PQ（ii）若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l:y=kx+12与圆H交于I,J两点，探究当k答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省南京市七校2025-2026学年高二上学期10月联合调研试题数学试卷》参考答案题号12345678910答案DBBACBDAACBD题号11答案ACD1．D【分析】由复数乘法法则计算求出z即可得解.【详解】由题可得z=(2故选：D.2．B【分析】求出a+λb的坐标，根据a【详解】由题意知向量a=3,−1则a⋅(a故33+λ故选：B3．B【分析】先写出5张抽奖券中，抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式，即可得答案.【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c，则5张抽奖券中，抽取2张有：(A,B小李不能获得奖品的情况：(a所以小李不能获得奖品的概率P=故选：B4．A【分析】逆用两角差的余弦公式化简已知条件，可得cosα=-【详解】由sin(则cosα=-35，又α所以tanα故选：A．5．C【分析】由题意可求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面半径和高，利用圆锥的体积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个面积为2π所以12πl又圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r，则πl=2则圆锥的高为h=故该圆锥的体积为13故选：C6．B【分析】由直线方程易得直线l:y=【详解】直线l:y=而kPA=由图可知，要使直线l:y=则k≤12或k≥3故选：B.7．D【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线，可得两圆外切，即可求得4m2+n2=9【详解】圆x2+y则圆心为(2圆x2+y则圆心为(0因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，即圆心距等于半径和，所以2m−02令2m+n=t得4m2+因为m∈所以Δ=−4所以2m+n故选：D8．A【分析】取AB的中点为D，根据向量的运算将PA⋅PB【详解】取AB的中点为D，则P而AB=22，则故P圆C1:x2+则C1即点D在以C1C2:x−32|C故PD的最小值为|C1C2|−最大值为|C1C2|+1即PD∈3故选：A9．AC【分析】对于A：确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对于B：根据百分位数的定义分析求解；对于C：直接求分数在[50【详解】A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为x=B：因为0.05+所以考生参赛成绩的第75百分位数位于区间[80,90)，则第C：分数在区间50,60内的频率为D：在区间70,80应抽取故选：AC.10．BD【分析】举出反例可判断A；根据直线的两点式方程结合特殊情况下的直线方程可判断B；利用直线的截距式方程结合过原点时的情况判断C；设直线的截距式方程，结合条件等式求最值可判断D.【详解】对于A，取直线的倾斜角分别为2π3,π3对于B，对于经过不同两点Px当y2≠y1,当y2=y1时，直线方程为当x2=x1时，直线方程为故经过不同两点Px1,对于C，直线经过点(1,1)且在若截距均为0，则直线方程为y=当截距不为0时，设直线方程为xa+ya=即直线方程为x2+y对于D，设直线方程为xa+yb=则OA当且仅当4ba=OA+OB取最小值时，a=故选：BD11．ACD【分析】对于A，设Pm,0，求得PA=m2+5，那么四边形PAMB的周长为2m2+5+4，即可求最小值；对于B，求得|PM|=4，PB=PA=23，利用等面积法求得AC=3，进而得PC=3，利用三角形面积公式求△PAB的面积；对于C，设Pm,0，则|P【详解】对于A，圆M:x2+(设Pm,0因为PA,P所以MA⊥P根据勾股定理可得PA那么四边形PAMB的周长为2所以当m=0时，四边形PA对于B，已知P(7,可得PBS△又S△PA则PC则△PAB对于C，设Pm,0PB根据三角形面积公式S△又S△PA则AB令t=m2因为t≥9，所以当t=9时，对于D，当点P与原点重合时，MP=3AC=P所以C0,53，又当点P与原点不重合时，因为MA⊥PA,设P(m,0),m则以PM为直径的圆的方程为(将此圆的方程与圆M的方程x2可得直线AB的方程为m直线MP的方程为y联立mx消去m得x2+y所以点C的轨迹是以O1(0所以CQ的最大值为O故选：ACD.12．1【分析】根据两直线平行时系数的关系，列出方程，求出a值，检验即可得答案.【详解】因为l1所以(2a+1)当a=0时，l1:x此时两直线重合，故舍去，当a=1时，l1综上，a的值为1.故答案为：113．2+6【分析】设Mx,y，由MA⋅MB【详解】设Mx,y，由M化简可得：x-22+y-12又4-22所以动点M与点N(4,故答案为：2+14．−【分析】作出fx的图象，将问题转化为fx与过定点P−4,【详解】当x≤4时，令y=此时点x,y的轨迹为以原点为圆心，4为半径的圆在x轴上方（含当x>4时，方程fx−kx−直线y=kx点P−4,3与点结合图象可知：当k∈−38,设过点P−4,3且与x2∴4k2结合图象可知：当k∈18,7

综上所述：k的取值范围为−3故答案为：−15．(1)5(2)25【分析】（1）根据正弦定理，由角化边，再根据余弦定理，解三角形即可.（2）根据正弦定理面积公式，求出两边之积，再根据余弦定理，求出两边之和，进而求出三角形周长.【详解】（1）由正弦定理得3b−c由余弦定理得cosB又因为B∈(0（2）由△ABC的面积S由3(a2+c故解得a+c=13，所以16．(1)证明见解析(2)30【分析】（1）设AC∩BD=O，连接OP（2）分别证得AO⊥DD1和AO⊥BD，利用线面垂直的判定定理，证得AO⊥平面B【详解】（1）证明：设AC∩B在长方体ABCD−A所以O为线段AC因为点P为DD1的中点，则又因为OP⊂平面PAC，且D1B⊄（2）解：在长方体ABCD−A因为AO⊂平面AB又因为在正方形ABCD因为BD∩DD1=D，且B所以∠APO为直线A因为AB=AD=2,在直角△ADP在直角△APO因为0∘≤∠APO≤90∘17．(1)A−3(2)y=3(3)24【分析】（1）由x+y−1=（2）由BC与AD平行，CD与A（3）先求点D的坐标，由两点间距离公式求AD，利用点到直线的距离公式求M到AD的距离d，进而得▱A【详解】（1）联立x+y−1=因点M(2,2)（2）由直线AD的斜率kAD=3，且B由直线AB的斜率kAB=−1，且故这个平行四边形另外两条边所在直线的方程是y=3x（3）由y=-x+73x-又M到AD的距离d所以▱ABC18．(1)x(2)x=2(3)7【分析】（1）设M(0,b)，由圆与直线3x+（2）当切线斜率不存在时，则直线x=2，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线y−（3）法一：分情况讨论直线l1无斜率时、斜率为0时、斜率存在且不为0时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的P法二：设圆心0,2到直线l1的距离d1，到直线l2的距离d2，可得则【详解】（1）设M(0,b)，由圆与得b−10−则圆M半径r=所以圆M的标准方程为x2（2）当切线斜率不存在时，直线为x=2，显然圆心M0,2所以直线x=2与圆当切线斜率存在时，设切线方程为y−5=由圆心到切线的距离为2得，3−2k则y−5=综上，切线方程为x=2或（3）法一：当直线l1无斜率时，PQ=当直线l1斜率为0时，PQ=当直线l1斜率存在且不为0时，设直线l1为y=则圆心0,2到直线l1所以PQ因为l1⊥l2，用−1则S=2当且仅当k2=1综上所述，因为7>43，所以S法二：设圆心0,2到直线l1的距离d1，到直线则PQ=2又直线l1与直线l2垂直，所以d1当且仅当d1=d2时取等，所以19．(1)(x+1)2+((2)（i）x+y【分析】（1）设Cx,y，结合题意可得C（2）（i）根据题意可得点P、Q是圆(x+1)2+(y+1)2=3和(x−2)2+(y−2)2=9的交点，再结合两圆公共弦所在直线方程求解即得；（ii）记(x+1)2【详解】（1）设Cx,y，因为点C