专题86双曲线（举一反三讲义）

专题8.6双曲线（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1双曲线的定义及其应用】 4【题型2双曲线的标准方程】 6【题型3曲线方程与双曲线】 8【题型4求双曲线的轨迹方程】 10【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】 13【题型6双曲线中的焦点三角形问题】 14【题型7双曲线的渐近线方程】 17【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】 19【题型9与双曲线有关的最值问题】 21【题型10双曲线的实际应用】 231、双曲线考点要求真题统计考情分析(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)(3)了解双曲线的简单应用2023年新高考I卷：第16题，5分2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分2023年北京卷：第12题，5分2023年天津卷：第9题，5分2024年新高考I卷：第12题，5分2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分2025年全国一卷：第3题，5分2025年全国二卷：第11题，6分2025年北京卷：第3题，4分2025年天津卷：第9题，5分双曲线的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与简单几何性质等知识，主要以单选题、多选题、填空题的形式出现，难度不大，复习时要加强这方面的训练.与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.知识点1双曲线的方程及其性质1．双曲线的定义2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的关系3．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤a,y∈Ry≥a或y≤a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程4．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.(2)双曲线离心率的范围：e>1.(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.知识点2双曲线方程的求解方法1．双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程(2)用待定系数法求双曲线的标准方程知识点3双曲线的焦点三角形1．双曲线的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1||PF2||=2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；(3)焦点三角形的常用结论知识点4双曲线的离心率或其范围的解题策略1．求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.知识点5双曲线中的最值问题的解题策略1．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【方法技巧与总结】1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.【题型1双曲线的定义及其应用】【例1】（2425高二下·河南·阶段练习）双曲线C：x225−y2144=1A．9 B．7 C．9或29 D．7或19【答案】C【解题思路】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离.【解答过程】对于双曲线C:x225−y设双曲线的左右焦点分别为F1,F2，已知点A到右焦点根据双曲线的定义||AF1|−|A可得AF1−19=10当AF1−19=10当AF1−19=−10所以点A到左焦点的距离为9或29.故选：C.【变式11】（2025·北京·模拟预测）双曲线E：x2a2−y216=1a>0，焦距为10，左右焦点分别为F1，F2A．13 B．1或13 C．10 D．4或10【答案】A【解题思路】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案.【解答过程】由题意知双曲线E：x2故2c=10,c=5，则a2由MF1−MF2=2a=6结合MF1=7<a+c=8由于1<c+a=8，故MF故选：A.【变式12】（2425高二上·云南曲靖·期末）双曲线x2−y216=1上一点A．2 B．6 C．2或6 D．4【答案】B【解题思路】根据双曲线的定义求出点P到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.【解答过程】双曲线x2−y设双曲线的两个焦点为F1，F2，已知|PF1|=4当4−|PF2|=2当4−|PF2|=−2时，可得|PF2在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为c−a.对于双曲线x212那么c−a=17−1，因为16=4，17这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为2，所以要舍去|PF因此|PF2|=6，即点P故选：B.【变式13】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：x216−y29=1上一点，F1，F2A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件【答案】D【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.【解答过程】a=4,b=3,c=4当点P在左支时，PF1的最小值为当点P在右支时，PF1的最小值为因为PF1=8由双曲线的定义PF2−当PF2=16，点P在左支时，PF1故为充分不必要条件，故选：D.【题型2双曲线的标准方程】【例2】（2025·北京海淀·一模）若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A．x24−y2=1 B．x【答案】D【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知2a=b，c=5，再结合a2+【解答过程】由题知c=5，根据题意，由双曲线的定义知2a=b，又a所以5a2=5，得到a故选：D.【变式21】（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线C1与双曲线C2：x24−y2A．y24−C．x22−【答案】B【解题思路】利用待定系数法设C1的方程为x24−y【解答过程】设双曲线C1的方程为x24代入点2,2，则2则方程为x24−故选：B.【变式22】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线C与椭圆x26+y22=1A．x2−y23=1 B．y【答案】A【解题思路】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出a，根据a,b,c关系求出b2【解答过程】椭圆x26+所以双曲线C的焦点为±2,0且焦点在x轴上，即c=2，因为C的离心率是2，所以e=ca=2所以b2=c2−故选：A.【变式23】（2025·四川雅安·一模）已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A．x29−C．x26−【答案】B【解题思路】先根据双曲线的定义求出F2A,F1A，在△AF【解答过程】因为F1A=2又因为点A在C上，所以F1即2F2A在△AF1F所以sin∠A又0°<∠AF2F1<180°则S△AF1则F1F2所以b2所以C的方程为x2故选：B.

【题型3曲线方程与双曲线】【例3】（2025·新疆·模拟预测）“m>4”是“方程x2m−1−A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答过程】x2等价于m−1m−4>0，解得m>4或因为由m>4可推出m>4或m<1，但是由m>4或m<1，不能推出m>4，所以“m>4”是“方程x2故选：A.【变式31】（2425高二上·河南许昌·期末）若方程x2m+4+y2A．m<−7或m>4 B．−7<m<4C．m<−4或m>7 D．−4<m<7【答案】D【解题思路】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.【解答过程】若方程x2m+4+y2m−7=1若方程x2m+4+y2综上所述，−4<m<7.故选：D.【变式32】（2425高二上·浙江·期中）对于方程x2+y2tanA．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线B．若α为负角，则曲线C为双曲线C．若α为正角，则曲线C为椭圆D．若C为椭圆，则曲线C的焦点在x轴上【答案】B【解题思路】对于A，根据α=0的取值，即可判断；对于B若α为负角，即−π对于C，当α=π【解答过程】对于A，当α=0，即tanα=0时，曲线C的方程为x2=1此时曲线C为两条平行的直线，故A错误；对于B，若α为负角，即−π2<α<0此时曲线C为双曲线，故B正确；对于C，若α为正角，即0<α<π2，当α=π则曲线C的方程为x2对于D，若C为椭圆，当0<tanα<1，1tanα>1则C为焦点在y轴上的椭圆，故D错误．故选：B.【变式33】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线C:x24+y2m=1(m≠0)，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】若m∈(0,4)，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时m<0.【解答过程】若m∈(0,4)，则曲线C:x24若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是m<0，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，故选：A.【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是−5,0，5,0，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，则点M的轨迹方程为（

A．x225−C．y225−【答案】A【解题思路】设点M(x,y),由题意列出方程，化简整理即得点M的轨迹方程.【解答过程】依题意，设点M(x,y)，由kAM可得4x2−9y2故选：A.【变式41】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆C:x2+y2−6x=0上恰有三个点到直线A．x24−C．254x2【答案】A【解题思路】由圆C上恰有三个点到直线ax+by+1=0的距离为1，得到圆心到直线的距离恰好为2，求得5a2−4b2+6a+1=0，设【解答过程】由圆C:x2+所以圆心C(3,0)，半径为r=3，若圆C上恰有三个点到直线ax+by+1=0的距离为1，则满足圆心到直线的距离恰好为2，即3a+1a2+设x=5a+3y=5b，则a=代入5a2−4整理得x24−y2故选：A.【变式42】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线x2−y24=1与直线l:y=kx+mk≠±2有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于AA．x24+C．x225+【答案】D【解题思路】根据直线l与双曲线相切，推出m2+4=k2，M(−k【解答过程】因为双曲线x2−y24所以直线l与双曲线相切，联立y=kx+mx2−y2所以Δ=4k2将m2+4=k2代入得(mx+k)2=0，因为k≠±2，m2所以x=−km，y=−k由m2+4=k所以过点M且与l垂直的直线为y+4令y=0，得x=−5km，令x=0，得则A(−5km,0)由x=−5kmy=−5m代入m2+4=k2，得故选：D.【变式43】（2025·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点Mx,y与定点Fc,0的距离和它与定直线l：x=a2c的距离的比是常数ca0<a<c，则点M的轨迹是一个双曲线.动点M与定点F3,0的距离和它与定直线lA．y22−C．x22−【答案】B【解题思路】根据给定条件，列出方程并化简得答案.【解答过程】设M(x,y)，依题意，(x−3)2所以点M的轨迹方程为x2故选：B.【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】【例5】（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线x25−y2m=1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解题思路】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．【解答过程】解：双曲线x25−y2可得m=4.故选：D.【变式51】（2025·江西新余·一模）双曲线x26−A．6 B．4 C．26 【答案】C【解题思路】根据双曲线方程直接确定实轴长.【解答过程】由双曲线方程知a=6，则实轴长为2a=2故选：C.【变式52】（2025·广东广州·三模）已知双曲线C：x29−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作C其中一条渐近线的垂线，垂足为AA．32 B．C．6 D．12【答案】D【解题思路】由双曲线的性质可得F2到渐近线距离为b，结合几何性质可得∠F2OA=60°，从而【解答过程】如图所示，∵F2到渐近线距离为b，故△BOF2故ba=3故选：D.【变式53】（2025·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2A．C的实轴长为2 B．C的渐近线方程为y=±C．C的离心率为5 D．C的右焦点的坐标为(【答案】C【解题思路】根据给定条件，结合双曲线渐近线、离心率逐项判断得解.【解答过程】对于AD，由a:b:c=1:2:5，取a=2，则c=25，C的实轴长4，右焦点对于B，由a:b=1:2，得C的渐近线方程为y=±2x，B错误；对于C，由a:c=1:5，得C的离心率e=故选：C.【题型6双曲线中的焦点三角形问题】【例6】（2025·江西·二模）过双曲线C:x22−y2=1的中心作直线l与双曲线C交于P、Q两点，设双曲线C的右焦点为FA．33 B．1 C．2 D．【答案】D【解题思路】设双曲线的左焦点为F′，连接PF′、QF′，根据双曲线的对称性得到S△PFQ=【解答过程】设双曲线的左焦点为F′，连接PF′、Q由∠PFQ=2π3不妨设P在双曲线的右支上，设PF′=m，PF由双曲线的定义可得PF在△FPF′中由余弦定理可得，即12=m2+所以S△PFQ故选：D.【变式61】（2025·河南安阳·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解题思路】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及△ABF1的周长，求出a的值，进而得到双曲线【解答过程】设|AF2|=m，因为|AF2根据双曲线的定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于定值对于点A在双曲线右支上，有|AF1|−|AF2|=2a对于点B在双曲线右支上，有|BF1|−|B已知△ABF1的周长为20，△ABF1的周长所以L=3m+(2m+2a)+3m=20，即8m+2a=20

②.将①2m=2a代入②8m+2a=20中，得到4×2a+2a=20，即10a=20，解得a=2.根据双曲线的性质，双曲线x2a2把a=2代入，可得实轴长为2×2=4.故选：C.【变式62】（2025·青海海南·一模）已知双曲线C：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在A．7−1 B．6 C．3 D．【答案】C【解题思路】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得PF【解答过程】点P在双曲线右支上，a=1,b=由双曲线的定义可得PF又PF1=1+又F1所以PF12所以S△P故选：C.【变式63】（2025·广东·一模）如图，F1、F2是双曲线x29−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，过F1的直线lA．83 B．C．183 D．【答案】C【解题思路】由双曲线的定义，可得BF1=2a，BF2【解答过程】在双曲线中：a2=9，所以根据双曲线的定义，可得AF∵△ABF2∴又∵B∴B∴△BF1F故选：C．【题型7双曲线的渐近线方程】【例7】（2025·河北·一模）双曲线E:y2a2−x2A．y=±3x C．y=±2x D．y=±【答案】B【解题思路】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为y=±abx【解答过程】由题知e=ca=所以双曲线E的渐近线方程为y=±a故选：B.【变式71】（2025·四川成都·一模）双曲线x22−A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0【答案】A【解题思路】根据渐近线方程直接进行求解.【解答过程】x22−即2x±y=0.故选：A.【变式72】（2025·安徽六安·模拟预测）已知双曲线y2a2−xA．y=±22x B．y=±32x【答案】B【解题思路】由双曲线的离心率得出a2【解答过程】由离心率得b2所以此双曲线的渐近线方程为y=±3故选：B．【变式73】（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点，直线l过A．y=±233x B．y=±43【答案】A【解题思路】由题意求得|BF1|=a，|AF1|【解答过程】由3F2F1=设|BF1|=t|AF1|=2t又因为|AB|=故|BF1|=a，|在△ABF2中，由得a2+4c2−9得b2a2=4故选：A．【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】【例8】（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为（

）A．2 B．2 C．7 D．2【答案】D【解题思路】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a2【解答过程】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，由题知，b=7于是a2+b即e=c故选：D.【变式81】（2025·河南信阳·模拟预测）若双曲线x2a2−yA．12 B．55 C．2 【答案】D【解题思路】由题意可得ba=2，则【解答过程】因为双曲线x2a2所以ba=2，所以双曲线的离心率为故选：D.【变式82】（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点，直线l过F1与CA．83 B．53 C．213【答案】C【解题思路】设|AF1|=2|F1B【解答过程】设|AF1所以|BF2|−n=|A由AB=|BF1|+|AF综上，|BF由∠BF1F所以a2+4c所以e=c故选：C.【变式83】（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若圆A．[2,+∞) B．[3,+∞) C．【答案】B【解题思路】设P(x0,y0)为圆M上一点，得到PF2的中点Q(x0+2【解答过程】因为双曲线C:x2a2−y2且双曲线C的渐近线方程为y=±b设P(x0,y0)为圆则PF2的中点Q(x即y0=±ba(因为圆心M(−2,6)到直线的距离为d=±因为圆M上存在点P满足条件，所以直线y0=±b所以d≤2，即−6(ba)2+1≤2又因为双曲线的离心率e2=c所以双曲线C的离心率的取值范围为[3,+∞故选：B.【题型9与双曲线有关的最值问题】【例9】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线Γ:x2−y23=1的左焦点为F，点A,B在A．4 B．6 C．10 D．14【答案】C【解题思路】根据双曲线的定义，将|FA|与|FB|进行转化，再结合三角形三边关系求出|FA|+|FB|的最小值．【解答过程】对于双曲线x2−y23=1，根据双曲线的标准方程x2a2设双曲线的右焦点为F2，由双曲线的定义可知，点A在双曲线的右支上，则|FA|−|F2同理，点B在双曲线的右支上，则|FB|−|F2B|=2a=2所以|FA|+|FB|=(|F根据三角形三边关系，|F2A|+|F2B|≥|AB|，当且仅当又|AB|=6，则|F2A|+|所以|FA|+|FB|的最小值为10．故选：C．【变式91】（2025·河北石家庄·一模）设点P为双曲线x25−y211=1右支上的动点，FA．25 B．35 C．45【答案】B【解题思路】根据双曲线的定义将PF+PQ转化成PF【解答过程】如图，设双曲线的左焦点为F1由双曲线的定义得PF+所以PF+PQ的最小值为故选：B.【变式92】（2025·山东济南·三模）双曲线C:x24−y25=1的左焦点为F，点A(0,4)，若P为【答案】9【解题思路】利用双曲线的定义将|PF|进行转化，再结合三角形三边关系求|PA|+|PF|的最小值；【解答过程】设双曲线C:x24对于双曲线C:x24−y因为点P在双曲线的右支上，所以|PF|−|PF2|=2a=4则|PA|+|PF|=|PA|+|PF根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得PA+PF2≥AF已知F2(3,0)，A(0,4)，根据两点间距离公式，可得所以PA+PF=PA+故答案为：9.【变式93】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知F是双曲线C:x22−y24=1的右焦点，P是C左支上一点，M是圆【答案】4【解题思路】利用双曲线定义，将|MP|+|PF|转化为|MP|+|PF【解答过程】设双曲线C的左焦点为F1，连接PF1由题知，实轴长2a=22由双曲线定义知，PF=2a+则|MP|+|PF|≥|PD|+|PF|−2=|PD|−2当P，D，F1三点共线时，|MP|+|PF|且最小值为DF故答案为：42【题型10双曲线的实际应用】【例10】（2425高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y29−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为3米时，水面宽AB为4A．3米 B．62−3米 C．26−3米【答案】D【解题思路】将A−23,−6代入双曲线得到m=4，当x=−26得到【解答过程】根据题意，M0,−3，A−23,−6，故369则当水面宽度为46米时，即x=−26时，解得y=−37因此，拱顶M到水面的距离为37故选：D.【变式101】（2425高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为62cm，下底直径为92

A．272cm B．18cm C．272【答案】D【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为x2由双曲线的离心率为5，得a2+b由喉部（中间最细处）的直径为8cm，得2a=8,a=4所以双曲线的方程为x216−由xA=32,x故选：D.

【变式102】（2025·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报中心的（

）处.（假定当时声音传播的速度为340A．西偏北45°方向，距离68010m B．东偏南45°C．西偏北45°方向，距离6805m D．东偏南45°【答案】A【解题思路】以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系；设A、B、C分别是西、东、北观测点，写出A、B、C点的坐标，设P(x,y)为巨响生成点，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．【解答过程】解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A−1020,0，B1020,0，设Px,y为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=−x，因B点比A故PB−PA=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线x2a2−故双曲线方程为x26802−y25×3402=1，将y=−x代入上式，得故PO=68010故巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680故选：A.【变式103】（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的AA．52 B．173 C．102【答案】B【解题思路】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设BF2=m，用BF2表示BF1,AF1【解答过程】由题意可知直线CA，DB都过点F1则有AB⊥BF1，设BF2=m所以tan∠BAF1所以AF因此AF在Rt△ABF1即916整理得3m2+16am−12a2所以BF令双曲线半焦距为c，在Rt△BF1F2解得ca所以E的离心率为173故选：B.一、单选题1．（2025·北京·高考真题）双曲线x2−4yA．32 B．52 C．54【答案】B【解题思路】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率．【解答过程】由x2−4y2=4即a=2,c=5，所以e=故选：B．2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C:x2−y2m=1A．4 B．2 C．12 D．【答案】A【解题思路】根据渐近线的斜率列方程即可得解.【解答过程】由题知，双曲线焦点在x轴上，且其中一条渐近线方程为y=2x，所以m1=2，解得故选：A.3．（2025·北京·三模）“k=12”是“直线y=kx−4与双曲线xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得k的值，从而可进行判断.【解答过程】∵直线与y=kx−4与双曲线x∴联立方程组y=kx−4x24−当1−4k2=0，即k=±∵双曲线x24−∴此时直线y=±12x−4当1−4k2≠0，即k≠±此时直线与双曲线恒有两个不同的交点；∴当且仅当k=±12时，直线与y=kx−4∴由k=12能推出直线y=kx−4反之，当直线y=kx−4与双曲线x24∴“k=12”是“直线y=kx−4故选：A.4．（2025·北京海淀·二模）已知A−2,0,B2,0．若动点P满足PA−PBA．x2−yC．y23−【答案】D【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案.【解答过程】∵A−2,0,B2,0，动点P∴动点P的轨迹为双曲线且为右支，PA−PB=2=2a⇒a=1，c=2∴P的轨迹的方程为x2故选：D.5．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线C关于原点对称，其中一个焦点的坐标为5,0，一条渐近线方程为y=43xA．3 B．6 C．4 D．8【答案】B【解题思路】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出a,b即可得解.【解答过程】由题意设双曲线C的方程为x2a2解得a=3b=4，故所求实轴长为2a=6故选：B.6．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线C:x23−y2=1的左､右焦点分别为F1,A．8+25 B．8 C．4+25 【答案】C【解题思路】设MF2=n,MF1=m【解答过程】设MF2=n,MF1=m所以MF12+M由双曲线C:x23所以m2+n所以m2−2mn+n所以m+n2即m+n=25，而MN所以m+n+MN=4+25，所以△M故选：C.7．（2025·天津和平·三模）已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2A．y2−x24=1 B．y【答案】D【解题思路】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.【解答过程】由题意设双曲线方程为y2由题意可知a=1由于PF1⊥PF2，P故b=c故双曲线方程为4y故选：D.8．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,A．3+1 B．2 C．3+12【答案】C【解题思路】根据题意设F1F2=AF2【解答过程】由题意设F1因为B为线段AF1的中点，所以又|BF2|=c，所以|B根据双曲线定义知|AF1|=|A解得ca=3故选：C.二、多选题9．（2526高二上·全国·课后作业）已知点P在双曲线x216−y29=1A．点P到x轴的距离为203 B．C．△PF1F2【答案】BC【解题思路】设点PxP,yP，根据S△PF1F2=12×2cyP=20【解答过程】设点Px因为双曲线C:x216−y29=1，所以对于A，S△PF1所以点P到x轴的距离为4，错误．对于B，将yP=4代入x216−由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为203,4，得由双曲线的定义得PF1=对于C，结合B选项，在△PF1F且cos∠PF2所以△PF对于D，由S△PF1F2所以∠F1P故选：BC.10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知F2,0是双曲线C:x2−yA．双曲线C的虚轴长为2B．OP≥PF（C．双曲线C的渐近线方程为y=±D．M为圆E:x+22+【答案】ABD【解题思路】A利用a,b,c之间的关系求出b；B根据右顶点A1,0是OF的中点可判断；C渐近线方程为y=±bax；D将【解答过程】由题意知a=1，c=2，则b=3，虚轴长为2b=2易知右顶点A1,0是OF的中点，当点P在右支上运动时，有OP双曲线C的渐近线方程为y=±3易知E−2,0为双曲线的左焦点，则PE则PM−故选：ABD.11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A．∠A1MC．C的离心率为13 D．当a=2时，四边形NA【答案】ACD【解题思路】由平行四边形的性质判断A；由F1M⊥F2M且MO=c结合M在渐近线上可求【解答过程】不妨设渐近线为y=bax，M对于A，由双曲线的对称性可得A1MA故A正确；对于B，方法一：因为M在以F1F2为直径的圆上，故F设Mx0,y0，则x由A得∠A1MA2方法二：因为tan∠MOA2则cos∠MOA2=ac，又因为以F1F2则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则OH=c⋅ac=a=OA2，则点H方法三：在△OMA2利用余弦定理知，即MA22则△A1A2M对于C，方法一：因为MO=12由B可知MA故4c2=故离心率e=13方法二：因为MA2A1A对于D，当a=2时，由C可知e=13，故故b=26，故四边形NA1故D正确，故选：ACD.三、填空题12．（2025·上海·三模）双曲线x24−y2【答案】2【解题思路】根据给定的双曲线方程直接求出焦距.【解答过程】双曲线x24−y23=1所以所求焦距为27故答案为：2713．（2025·北京大兴·三模）若双曲线y2m−x2=1（m>0）的一条渐近线方程为y=【答案】3【解题思路】由焦点落在y轴上的双曲线方程渐近线为y=±abx，即可得y=【解答过程】由双曲线y2m−x2=1（m>0）可知双曲线焦点在故答案为：3.14．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F【答案】21【解题思路】设|AF1|=m，则|AB|=m+2a，|BF1|=2a，|BF2|=4a【解答过程】设|AF1|=m，则|AB|=AF

在等腰△AF2B中，cos∠AF又cos∠F2所以m=a，则|AF1|=a在△AF1F2中所以e=c故答案为：213四、解答题15．（2025·河北保定·二模）已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)若A是C的左顶点，直线l:y=3x−3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．【答案】(1)x2(2)245【解题思路】（1）根据给定条件，求出a,b,c即可.（2）求出