专题12空间向量的数量积运算（举一反三讲义）数学人教A版2019选择性（原卷版）

专题1.2空间向量的数量积运算（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1空间向量数量积的概念辨析】 2【题型2求空间向量的数量积】 3【题型3空间向量的夹角（余弦值）的计算】 4【题型4利用空间向量的数量积求模】 5【题型5空间向量垂直的应用】 5【题型6空间向量数量积的应用】 7【题型7投影向量的求解】 9知识点1空间向量的夹角与数量积1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．5．空间向量数量积的应用【题型1空间向量数量积的概念辨析】【例1】（2425高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量a，b，c，下列运算错误的是（

）A．a⋅b=C．λa⋅b【变式11】（2425高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若a//b且b//c，则C．若a⋅b=a⋅c，且【变式12】（2425高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量a,b,A．若a⊥b，b⊥c，则C．a⋅b+c=【变式13】（2425高二上·湖北襄阳·阶段练习）设a，b，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（

）A．aB．aC．aD．a【题型2求空间向量的数量积】【例2】（2425高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱A．4 B．5 C．6 D．4【变式21】（2425高二上·海南·期中）已知a,b,c是空间中的三个单位向量，若a⋅A．78 B．58 C．12【变式22】（2425高二上·全国·课后作业）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.若E，F分别是OA，OC的中点，求：(1)EF⋅(2)EF⋅(3)EF⋅【变式23】（2425高二上·全国·课后作业）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.求：(1)OA⋅(2)(OA【题型3空间向量的夹角（余弦值）的计算】【例3】（2425高二上·江苏南京·期末）已知空间向量a，b的夹角为π3，且a=2，b=1，则a+2b与A．π6 B．5π6 C．π4【变式31】（2425高二上·山东济宁·阶段练习）已知平行六面体ABCD−A1B1C1DA．512 B．−512 C．4【变式32】（2425高二上·山东烟台·期中）已知空间向量a，b，c满足a=2，b=3，c=7且a+b+A．30° B．60° C．120° D．150°【变式33】（2425高二上·北京·阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为A．33 B．66 C．34【题型4利用空间向量的数量积求模】【例4】（2425高二上·江西萍乡·期末）已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则3a+b−2A．14 B．14 C．2 D．2【变式41】（2425高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2,∠BAC=90°,∠BAD=∠CAD=60°,M,N分别为BC,AD的中点，则|MN|=（

）A．22 B．2 C．2 【变式42】（2425高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为A．6 B．2 C．3 D．2【变式43】（2425高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中∠BAD=90°，AB=AD=AA1=1A．153 B．C．102 D．【题型5空间向量垂直的应用】【例5】（2425高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的对角线BD1

A．2 B．1 C．12 D．【变式51】（2425高二上·河北邯郸·期末）如图，已知三棱锥O−ABC的侧棱OA=OB=2，OC=4，且OA,OB,OC两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足OA−OD⋅A．23+1 B．4+3 C．2+【变式52】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是(1)求CD(2)判断AO与CD【变式53】（2425高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥A−BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=DA=2，E为BC的中点.(1)证明：AE⊥BC；（用向量方法证明）(2)求直线AE与DC所成角的余弦值.【题型6空间向量数量积的应用】【例6】（2425高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥P−ABC中，若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=∠BAP=60°，点D为棱BC上一点，且CD=2BD(1)求PM的长度；(2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值．【变式61】（2425高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D

(1)求BD(2)求直线BD1和直线【变式62】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是(1)求CD(2)求AO与CB的夹角的余弦值(3)判断AO与CD【变式63】（2425高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在六棱柱ABCDEF−A1B1C1D

(1)用a,b,(2)若cos∠BA（ⅰ）A1（ⅱ）AE知识点2向量的投影1．向量的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型7投影向量的求解】【例7】（2425高一下·山西大同·期末）已知向量a,b,c满足a=4，b=c=5，且aA．−925c B．−95c【变式71】（2425高二上·河北唐山·期中）在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，