专题02实数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题02实数（4知识&12题型&3易错&2方法清单）【清单01】平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论【清单02】无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【清单03】二次根式的相关概念和性质1.二次根式2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【清单04】二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【题型一】无理数A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可，解题的关键是掌握无理数的定义．故选：A．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】0是整数，不是无理数；，，，是分数，不是无理数；故无理数一共有3个，故选：B．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各数即可求解．故选：A．【变式13】在数1、、、0、、0.、中无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B利用无理数的概念即可判定选择项．在数1、、、0、、0.、中，在这一组数据中无理数有，共两个．故选：B．【题型二】无理数的估算A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】A故选：A．A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】D【分析】本题考查了无理数的估算．故选：DA．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】D故选：D．A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】A故选：A．【题型三】实数与数轴【例3】小明学习了使用科学计算器后，给同学小华出了一道题目：如图，依次按键，所得的结果在数轴上对应的点可能是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，无理数的估算．即结果在数轴上对应的点可能是点D．故选：D．【变式31】如图，在数轴上表示的点可能是（

）

A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【分析】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．即在数轴上表示的点在3和4之间，∴在数轴上表示的点可能是点M．故选：C．【变式32】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系、无理数的估算．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案．【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数大于小于，且更靠近，故选：C．A．上 B．上 C．上 D．上【答案】A故选：A．【题型四】比较无理数的大小【答案】D【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小．故选：D．【变式41】下列实数比较大小，正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．故选：D．【答案】C故选：C．【变式44】把、、按从小到大的顺序排列（

）【答案】A【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的近似数，解题关键是通过取近似值再比较实数的大小．先将、取近似值，再把、、按从小到大的顺序排列．故选：A．【题型五】勾股定理与实数【例5】如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（

）A．1 B．1.3 C． D．【答案】D【详解】解：如图，∴点A表示的数是；故选D．【变式51】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（

）【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数．又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点，故答案为：．【答案】D【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用．故选：D．【变式53】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（

）【答案】B【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，故选：B．【题型六】平方根与算术平方根【例6】．9的平方根是（

）A． B．9 C． D．3【答案】C【分析】本题考查了求平方根，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键．根据平方根的定义计算即可得解．故9的平方根是，故选：C．【变式61】的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了算术平方根和平方根，先计算，再计算该值的平方根．的平方根是，故选：B．【变式62】下列各式正确的是（

）【答案】D【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，利用平方根和算术平方根逐项进行判断即可．故选：D．【变式63】下面的说法中，正确的是（

）A．一个数的算术平方根一定是正数 B．的算术平方根是2【答案】B【分析】本题考查了对算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据算术平方根的意义，求出各个数，再判断即可．【详解】A．0的算术平方根是0，故本选项不符合题意；【题型七】立方根【例7】．已知一个数的立方根是，那么这个数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义解答即可．【详解】解：一个数的立方根是，故选：．【变式71】若一个数的立方根是，则这个数是（

）【答案】C【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义．利用立方根的定义进行求解即可．故选：C．【答案】B故选：B．A． B． C． D．【答案】D故选：D．【题型八】二次根式有意义的条件【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．故选：D．【答案】A【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义即被开方数为非负数，当被开方数为负数时无意义，由此判断即可．故选：A．【变式82】二次根式中，字母的取值范围是（

）【答案】A∴二次根式中，字母的取值范围是全体实数．故选A．【变式83】下列各式中，一定是二次根式的是（

）【答案】C故选：C．【题型九】二次根式的乘除【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题关键是掌握二次根式的乘除混合运算．故答案为：．【答案】1【分析】本题考查了二次根式的乘除，把二次根式的除法转化成乘法运算即可．．故答案为：1．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，先计算括号里面二次根式的除法，再计算括号外二次根式的乘法．故答案为：【答案】2【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键．故答案为：2．【题型十】二次根式的加减【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．故答案为：．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先把各二次根式化为最简二次根式，然后加减运算即可．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【题型十一】分母有理化【答案】【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可．故答案为：．【分析】本题主要考查分母有理化，利用分母有理化进行计算，即可解答．【答案】18【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，利用平方差公式和完全平方公式求解，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．先进行二次根式的分母有理化，再整理分式，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可．故答案为：18．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的运算，故答案为：.【题型十二】二次根式化简求值又∵两数之和为正，【分析】本题考查二次根式的化简求值．根据二次根式的运算法则化简，代入使原式有意义的a的值即可计算．本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，平方差公式和代数式求值，把要求的代数式进行正确变形化简是解题的关键．【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，首先需要根据二次根式有意义的条件确定的值，进而确定y的值，再把所求式子约分化简，最后代值计算即可．【题型一】忘记化简直接求平方根或立方根【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，求算术平方根，根据定义解答即可.【答案】/4和【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键；根据平方根，算术平方根的定义解答即可．16的平方根是：，6的算术平方根是：，故答案为：，．【分析】本题考查了算术平方根与平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．先求出算术平方根，再求平方根即可．【变式12】的负的平方根是．【答案】的负的平方根是，故答案为：．【题型二】不会求小数部分导致做错【分析】本题重点考查​无理数的估算和实数的整数部分与小数部分的确定​，​准确估算无理数的大小并正确计算表达式的值是解题的关键​．先估算出整数部分，再利用无理数减去整数部分即得小数部分，即得答案．【答案】故答案为：．【答案】【分析】此题考查的是二次根式的混合运算及估算无理数大小，解答此类题目的关键是先对无理数进行估算，再代入分解因式后式子计算．故答案为：．【题型三】因平方根与算数平方根混淆而漏解【答案】7或故答案为：7或．【答案】或/或【分析】本题考查利用平方根解方程，等号两边分别开平方，得到两个一元一次方程，解方程即可．故答案为：或．【答案】5或1/1或5【分析】本题考查利用平方根的概念解方程，方程两边同时除以5，再根据平方根的概念即可转化为两个一元一次方程，求解即可得到答案．故答案为：5或1．【答案】3或/或3【分析】本题考查了利用平方根解方程．故答案为：或3．【题型一】特殊二次根式比较大小————逆用分母有理化比较大小，【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化，故选：D.【答案】A【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键．先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可．故选：A．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键．故答案为：．【答案】