专题03图形的相似（期中复习讲义）

专题03图形的相似核心考点复习目标考情规律比例线段与比例基本性质能算线段比，用比例性质变形基础小题平行线分线段相关定理能用定理列比例式解题高频考点，易错找错对应线段相似三角形的判定能选恰当方法证三角形相似解答题核心，易错漏夹角条件相似三角形的性质应用能用相似三角新的性质进行计算多题型覆盖，易错面积比关系位似图形的概念与性质能判位似，用性质算或作图基础考点，易错坐标位似方向知识点01比例线段1．线段的比：3．比例的基本性质：知识点02分割比2.作一条线段的分割点：如图，已知线段，按照如下方法作图：注意：一条线段的分割点有两个.知识点03平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.几何语言：拓展：①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。知识点04平行线分线段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例知识点05相似三角形的相关概念②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.知识点06相似三角形的判定1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似知识点07相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.知识点08位似图形2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3．画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；=3\*GB3③描出新图形所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为题型一比例的性质【答案】15故答案为：．【答案】C∴四个选项中，只有C选项中的式子正确，故选：C．【答案】故答案为：．【答案】故答案为：．题型二比例线段【例3】下列四组线段中，不是成比例线段的是（

）【答案】C∴该四条线段成比例，不符合题意；∴该四条线段成比例，不符合题意；C.∵任意两线段之比都不相等，∴该四条线段不成比例，符合题意；∴该四条线段成比例，不符合题意；故选：C．【答案】3故答案为：3．【变式21】下列线段能成比例线段的是（

）【答案】B故选：B．【变式22】下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（

）A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，，【答案】C故选：C．【答案】【详解】解：是a、c的比例中项，故答案为：．解｜题｜技｜巧题型三分割【答案】D故选：D．【详解】解：∵点C，点D是的分割点，【详解】解：∵点C是靠近点A的一个分割点，题型四平行线分线段成比例A． B． C． D．【答案】B故选：B．【答案】/故答案为：．【答案】A故选A．【答案】8或16/16或8【详解】解：如图①，当点D在边上时，如图②，当点D在边的延长线上时，∴的长为8或16．故答案为：8或16．(2)是否平行？若能，此时与有什么关系？【答案】(1)见解析（2）解：能平行．题型五相似图形【例9】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（

）A．正六边形 B．矩形和正六边形C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形【答案】D【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；故选：．【例10】如图，有三个矩形，其中是相似图形的是．【答案】甲和丙【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形，每个内角都为．甲和乙不相似．甲和丙相似．乙和丙不相似故答案为：甲和丙．【变式51】某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（

）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组【答案】C计算方法同上述正方形，综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组，故选：C．A．0.618 B． C． D．2【答案】B各种开本的矩形都相似，故选：B．

题型六相似多边形的性质【答案】故答案为：．【答案】故答案为：．【答案】∵各种开本的矩形都相似，答：AB与AD的比值是．(2)求边x，y的长．【答案】(1)70故答案为：70；题型七相似三角形的判定A．4 B．2 C．1 D．3【答案】D连接，故选：D．(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【答案】见解析【答案】见解析【答案】见解析【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键．题型八相似三角形的性质【答案】D故选：D．【答案】12故答案为：12．【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．【答案】或或解｜题｜技｜巧①若求边长/周长：对应边比=相似比，周长比=相似比，列比例式计算；②若求面积：面积比=相似比的平方，先找相似比，再算面积或面积比；③若求角度：直接用对应角相等，结合三角形内角和等知识求解。题型九相似三角形的判定与性质A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D所以①正确；所以②正确；设与相交于，∴正确的有①②③，故选：D．【答案】(1)见解析(2)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C故选：C．【答案】/0.6故答案为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)题型十相似三角形的应用【例19】《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为寸．（注：1尺寸）【答案】【详解】解：如图：∵井口直径为5尺，∵竖立一根5尺长的木杆在井口，故答案为：．【例20】如图，小明同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测的影子的长为米，继续往前走3米到达E处时，测的影子的长为米，已知小明同学的身高是米，求路灯的高度．【答案】高度为6米【详解】解：设路灯的高度为米，的长度为米．答：路灯的高度为6米．【答案】12【详解】解：如图当旋转到达地面时，为最短影长，等于，∵最小值，∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图：故答案为：．【答案】故答案为：．【答案】(1)见解析(2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析（2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下：设点到的距离为，∴小红的连衣裙会碰到地面．题型十一作图相似变换【答案】(1)见解析(2)故答案为：．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【答案】(1)画图见解析【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图①，点D，E即为所求；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)；故答案为：；．题型十二位似变换A．32 B．18 C．6 D．4【答案】A故选：A．A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9【答案】C故选：C．【答案】B故选：B．A． B． C． D．【答案】C∴相似比为，故选：C．解｜题｜技｜巧1.通过连接两组对应点，延长线的交点即为位似中心，注意区分内位似（中心在图形间）和外位似（中心在图形同侧）。2.用性质算边长/坐标算边长：根据“对应边比=位似比”，结合已知边长列比例式求解；算坐标：若在直角坐标系中，以位似中心为基准，用“对应点坐标比=位似比（注意正负，区分方向）”计算。期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了平移变换、旋转变换、轴对称、相似变换的定义．由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换．解答本题的关键是掌握相似变换的概念．根据相似变换的定义解答即可．【详解】解：结合图形可知：选项A可以通过平移变换得到，不符合题意；选项B图象大小发生了变换，只能通过相似变换得到，不符合题意；选项C可以通过旋转变换得到，不符合题意；；选项D可以通过轴对称变换得到，不符合题意；．故选：B．A． B． C． D．2【答案】C故选：C．A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意；D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．【答案】D【详解】解：由作图可知垂直平分线段，故选：D．【答案】7.5∴的长为米．∴的长为米．【答案】2【详解】解：连接，延长交于F点，连接，如图，∴、分别是、的中点，故答案为：．(2)求边x，y的长度．【答案】(1)【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和；（2）相似多边形的对应边成比例，可求得边x，y的长度.故答案为：.8．如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了格点图形中的轴对称作图和相似三角形的无刻度直尺作图，解题的关键是利用正方形格点的坐标或边长特征确定对称点位置，以及结合网格等分线段和构造平行线实现相似比要求．（1）通过观察格点中的位置，利用对称点到的格点距离相等的特征，在另一侧找到B的对称点，连接、完成轴对称作图；（2）如图，点D、E即为所求．【详解】解：能，期中重难突破练（测试时间：10分钟）【答案】B【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可．故选：B．A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④【答案】B【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．∴线段的长不会随点P的移动而变化；∵，会随点P的移动而变化∵边上的高是平行线和间的距离，不会随点P的移动而变化综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理