年山西中考数学专项训练(讲义)-圆(7考点36题型)

圆知识归纳与题型突破思维导图思维导图知识点01圆的基本认识1.圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径.2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作，读作圆.3.圆的有关概念弦连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的).直径经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的）.弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧.等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.优弧在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧.劣弧在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧.知识点02垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点03圆心角1.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。知识点04圆周角圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。定理及推论具体内容图示圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（即：圆周角=圆心角）推论1同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形知识点05点、直线、圆的位置关系（一）圆的确定1.经过一点作圆：以点以外的任意一点为圆心，以该点与点的距离为半径作圆，则经过点的圆可以作无数个，如图所示：重要结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆.（二）三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示：1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示：2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；（三）圆内接四边形圆内接四边形：圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。知识点06正多边形和圆（一）正多边形及有关概念（重点）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点归纳：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.（二）正多边形的有关计算（重点）(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.（三）正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。②正六、三、十二边形的作法。通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.知识点07弧长和扇形面积（一）扇形的弧长和面积计算其中：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积注意：（2）公式中的表示1°圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（二）扇形与圆柱、圆锥之间联系立体图侧面展开图表面积公式体积公式圆柱圆锥题型精研题型精研命题点一圆的基本认识►题型01圆的基本概念辨析1．下列说法正确的是（）A．过圆心的直线是圆的直径 B．平分弦的直径垂直于弦C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧►题型02求圆中弦的条数A．2 B．3 C．4 D．5►题型03求过圆内一点的最长弦►题型04求一点到圆上点距离的最值►题型05圆的周长和面积问题5．某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（

）A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定►题型06求小圆绕某图形一圈自转的圈数A．①② B．①③ C．②③ D．①②③命题点二垂径定理►题型01利用垂径定理求值►题型02利用垂径定理求平行弦问题8．的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为．►题型03利用垂径定理求同心圆问题►题型04利用垂径定理求解其他问题►题型05垂径定理的推论(1)求证：是的切线►题型06垂径定理的实际应用A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸命题点三圆心角►题型01圆心角概念辨析及简单运算13．下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧．正确的个数共有（

）A．1 B．2 C．3 D．414．下列说法正确的是（

）A．圆的周长都相等B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧C．顶点在圆上的角叫做圆心角D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形►题型02弧、弦、圆心角的关系►题型03求圆弧的度数命题点四圆周角►题型01圆周角概念辨析及简单运算►题型02圆周角定理A． B． C． D．►题型03同弧或等弧所对的圆周角相等A． B． C． D．►题型04半径（直径）所对的圆周角是直角(1)求证：点D为的中点；►题型0590°的圆周角所对的弦是直径28．是的直径，是的弦，以为直径的与相交于点．命题点五点、直线、圆的位置关系►题型01点和圆的位置关系►题型02三角形的外接圆►题型03确定圆的条件31．如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明．(1)作出所在圆的圆心O；(2)过点P作圆O的一条切线．32．下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆心角相等B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等►题型04直线和圆的位置关系A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相交A．点在内 B．点在上C．直线与相切 D．直线与相离►题型05切线的定理(1)求证：是的切线；37．如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点．(1)求的长．►题型06三角形内切圆外接圆►题型07圆内接四边形42．下列说法中正确的个数有（

）②平分弦的直径一定垂直于弦；③两个相似三角形周长的比为，则其对应的面积比为；⑤圆的内接平行四边形一定是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个►题型08圆和圆的位置关系A．内切 B．外切 C．相交 D．内含►题型09圆的综合问题(1)求证：是的切线；(2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积；命题点六正多边形和圆►题型01求正多边形的中心角47．俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是．►题型02已知正多边形的中心角求边数50．一个正多边形的中心角为，半径为，则该正多边形的面积等于．►题型03正多边形和圆的综合命题点七弧长和扇形面积►题型01弧长公式►题型02扇形的定义及面积(1)求证：直线是的切线；►题型03圆锥的定义及面积57．将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（）►题型04圆锥侧面上最短路径问题59．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（）分层训练~巩固提升分层训练~巩固提升一、单选题A． B． C． D．