专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真题现模型 2提炼模型 4模型运用 5模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。‌(1)概念理解①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________；A．平行四边形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究发现(3)拓展应用【答案】(1)①D；②【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，平行四边形不一定是等补四边形；菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形；矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补四边形；正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选：D；（3）解：连接，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．(1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______；A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形【答案】(1)①D；②130(2)见解析【分析】（1）①根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质进行判断即可；②根据“求同存异四边形”的对角互补进行解答即可；【详解】（1）解：①平行四边形中没有一组邻边一定相等，菱形没有一组对角一定互补，矩形没有一组邻边一定相等，因此，平行四边形，菱形，矩形不一定是“求同存异四边形”；正方形有一组邻边一定相等，一组对角一定互补，因此正方形是“求同存异四边形”；故选：D．【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．1）对角互补相似1条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF；模型1.对角互补模型（相似模型）例1（2425九年级下·广东深圳·阶段练习）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）①写出图2中相等的角，并说明理由；②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．【答案】(1)②④【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；②分三种情况：【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形．故答案为：②④；②分三种情况：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．例2（2425九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．初步探究（1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形）拓展应用【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义画图即可；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．

(1)操作判断(2)性质探究(3)拓展应用【答案】(1)(2)正确（2）解：结论：小明的发现正确，证明：连接，如图1，∴小明的发现正确．例4（2025·河南洛阳·一模）综合与实践在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．(1)【初步探究】(2)【问题解决】(3)【拓展应用】【答案】(1)是(3)或

综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质．（1）的长为．【答案】912【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．故答案为：9；故答案为：12．【答案】或【分析】此题主要考查了相似三角形的性质及判定、勾股定理，理解“单邻等对补四边形”定义，熟练运用相似三角形的性质及判定、勾股定理是解决问题的关键．综上所述，的长为或．(1)概念理解①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________；A．平行四边形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究发现(3)拓展应用【答案】(1)①D；②【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，平行四边形不一定是等补四边形；菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形；矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补四边形；正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选：D；（3）解：连接，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．(1)理解操作(2)理解应用②判断，，之间的数量关系，并加以证明．(3)拓展延伸【答案】(1)见解析【详解】（1）解：如图（1）所示，的中点即为所求的点，理由如下：又为中点，应为的中点；【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义问题、平行线分线段成比例、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键．4．（2425八年级下·新疆阿克苏·期中）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图（1）所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有（填序号）．(2)性质探究(3)拓展应用【答案】(1)②④【分析】（1）按照“邻等对补四边形”的定义逐个判断即可；【详解】（1）解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，故答案为：②④【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明．5．（2425九年级上·江苏扬州·期中）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．①写出图中相等的角，并说明理由；(3)拓展应用【答案】(1)②④【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，故答案为：②④；【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．6．（2425九年级下·湖南株洲·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

【答案】(1)，；(2)理由见解析；(3)线段的长为或．【分析】（）根据“等对角四边形”的定义即可求解；故答案为：，；∵为斜边边上的中线，

综上所述，线段的长为或．【点睛】本题是主要考查了四边形内角和定理，直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键．7．（2025九年级上·湖南·专题练习）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．【答案】(1)140，70(2)见解析(3)2或故答案为：，；（2）如图：∵为斜边边上的中线，

综上所述，线段的长为2或．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键．(1)概念理解①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（

）A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形(2)探究发现(3)拓展应用【答案】(1)①D；②；③见解析【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，平行四边形不一定是等补四边形；菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形；矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补四边形；正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选：D；故答案为：；（3）解：连接，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．9．（2425九年级上·山西晋中·阶段练习）阅读理解如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，【答案】（1）见解析；（2）6【详解】解：（1）如图所示，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形．10．（2425九年级上·安徽芜湖·阶段练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：运用：【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置；理由如下：（3）如图3，【点睛】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、认识新定义、锐角三角函数等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键．11．（2425九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．{问题探索}问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝BC，∠ACB＝60°．求证：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：因为AC＝BC，∠ACB＝60°，所以ABC是等边三角形，将CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得CAE，连接DE．⋯⋯请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．{问题推广}已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，AC＝AB＝k•BC（k≠1），如图2，类比前面问题的解决方法探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由．{灵活运用}如图3，已知AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，若AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，则AD＝．如图，在DC的右侧作等腰ECD，使得EC＝ED＝kDC，连接AE，∵EC＝ED＝kDC，AC＝AB＝kBC，∴∠EDC+∠ADC＝90°，即∠ADE＝90°，又∵∠ABC+∠ADC＝90°，∴∠EDC+∠ADC＝90°，即：∠ADE＝90°，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质等相关知识，用类比的方式作出辅助线是解题的关键．12．如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补．（1）如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；（3）如图3，若=a，且=b，直接写出=．【答案】(1)DF=DE;

(2)

DE：DF=1：k;

(3)【详解】试题分析：（1）如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，只要证明△DEM≌△DFN即可．（2）结论DE：DF=1：k．如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，由•AB•DM=•AC•DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再证明△DME∽△DNF，即可．（3）结论DE：DF=1：k．如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同（2）可证∠EDM=∠FDN，由•AB•DM：•AC•DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=，再证明△DEM∽△DFN即可．试题解析：（1）结论：DF=DE，理由：如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD平分∠BAC，∴DM=DN，∵在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，∴∠MAN+∠MDN=180°，又∵∠EDF与∠MAN互补，∴∠MDN=∠EDF，∴∠EDM=∠FDN，在△DEM与△DFN中，∴△DEM≌△DFN，∴DE=DF．（2）结论DE：DF=1：k．理由：如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC，∴•AB•DM=•AC•DN，∵AB=kAC，∴DN=kDM，由（2）可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，∴△DME∽△DNF，理由：如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同（2）可证∠EDM=∠FDN，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△DEM∽△DFN，∵=b，∴S△ABD：S△ADC=b，∴•AB•DM：•AC•DN=b，∵AB：AC=a，∴DM：DN=，13．（2025九年级·新疆乌鲁木齐·专题练习）【课本再现】【类比探究】【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，并能添加恰当的辅助线，构建全等三角形和相似三角形是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)成立．理由见解析（2）解：成立．理由如下：【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键．15．（2425九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：【答案】(1)是

因为点D到所在直线的距离为，【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明全等三角形，第（2）②题关键确定M、N的位置．16．（2425九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．(1)概念理解：【答案】(1)①90；②见解析；(2)见解析∵互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角故答案为：90②证明：∵BE•BC＝AB•BD，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠A，∴∠A＋∠CED＝∠BED＋∠CED＝180°，∴四边形ADEC是互补四边形．（2）证明：∵AE＝BE，AD＝BC，∴ED＝EC，∴△EAC≌△EBD（SAS），∴∠EBD＝∠EAC．∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠ABD＝∠BAC，∵四边形CEDH是互补四边形，∴∠E＋∠DHC＝180°，∵∠AHB＝∠DHC，∴∠E＋∠AHB＝180°，又∠ABD+∠BAC+∠AHB=180°，∴∠ABD＋∠BAC＝∠E，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，互补四边形的定义，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握互补四边形的性质是解题关键．17．（2425九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．

【答案】（1）90；（2）见解析【详解】（1）∵四边形ABCD是互补四边形，且与是一组对角，故答案是：90；∴四边形ADEC是互补四边形．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．（1）求证：是边的逆平行线．【分析】（1）由条件可证得∠B＝∠ACB，则∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，结论得证；②由①知G点与D点重合，故可得到AD＋BG＝AB．【详解】（1）证明理由如下：（2）如图1，连接，BO∴△ABO≌△ACO（3）如图2，作AQ⊥BC∵AB=AC，∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，∴△FEC∽△ABC．同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC∴△FBG∽△ABC∴CF＝BF＝3，如图3，连接DF，∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△BDF≌△CEF（SAS），∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC，∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF．∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180，∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180．∴FD为边AC的逆平行线，由题意可知D与G点重合，过D点作DH⊥BC，∴BF×DH=，故×3×DH=解得DH=∵AF∥DH∴△BDH∽△BAF，设AD=a∴BD=5a解得a=②由①可得D与G点重合，∴AD＋BG＝AB，故答案为：＝．【点睛】本题是新定义结合圆的综合题，综合考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、外心的定义、二次函数的性质等知识，关键是读懂定义并根据图形的性质解答．19．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：①求的长．（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,设BE=x，则FC=x1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC,由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值．【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠B