重庆九龙坡高2026届高三第一学期期中考试数学（含答案）

九龙坡等区高2026届第一学期期中考试

数学试题

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知全集U={-1,0,1,2},M={x|x²-3x+2=0},则M=

A.{-1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,0,2}

2.已知z₁=-1-4i,z₂=2+3i,下列各式中正确的是

A.Z₁<Z₂B.z₁>Z₂C.z₁·Z₁<Z₂·z₂D.z₁:Z₁>z₂·z₂

3.从小到大排列的一组数据：80,90,96,x,110,120,若这组数据的第50百分位数与

平均数相同，则x的值为

A.98B.104C.106D.108

4.设等差数列{a。}的前n项和为Sn,已知a₅+a₆=53,则S10=

A,530B.430C.265D.215

5.在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，点G在线段EF上，且

,若BG=λAB+μAD,则λ+μ=

ABCD

6.已知不等式·的解集为{x|x<-1或x>4},则的解集为

A.B.{x|-1≤x<1}

D.{x|-6≤x<-4}

7.己知0<a<1,0<b<1,则“a<b”是“a⁶<ba”成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知f(x)=e-e×+sinx-x,若正实数m,n满足f(2m)+f(n-1)=0,则

的最小值为

ABCD

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知随机变量X服从正态分布N(2,o²),则下列说法正确的是

A.E(X)=√2

B.当σ=0.2时，D(2X+1)=0.16

C.P(X<1.8)+P(X<2.2)=1

D.随机变量X落在(1.9,2.2)与落在(1.8,2.1)的概率相等

10.已知函(w>0)相邻对称轴间的距离为·,则下列说

法正确的是

A.W=2

B.

C.当时，f(x)的取值范围是

D.若函数f(x)在[0,a]上有3个零点，则a的取值范围是

11.已知定义域均为R的函数f(x),g(x)满足f(2-x)+f(x)=2,g(4-x)=g(x),

g(2)=3,若f(x)=g(2+x)+4,则下列说法正确的是

A.g(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于V轴对称

C.g(3)+g(4)=-12D.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a,b均为单位向量，且|3a+b|=√13,则a,b的夹角为

13.已知α,β为锐角，,则cos2α=

14.设x=1是函数f(x)=an+x³-anx²-an+2x+1(n∈N)的极值点，数列{a,}满足a=1,

a₂=2,bₙ=log₂an+↓,若[x]表示不超过x的最大整数，则

的值为

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

(1)求角A的大小；

(2)若b=8,c=5,线段AB上一点D满足,求CD的长.

16.(本小题满分15分)

中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、

载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校

学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表：

关注不关注合计

男生7525100

女生5545100

合计13070200

(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情

况与性别有关?

(2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有

两个答题方案可供选择：

方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；

方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.

已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为,学生甲回答这4个

问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大?请说明理由.

参考公式及参考数据：

n=a+b+c+d.

α0.050.010.0050.001

xα3.8416.6357.87910.828

17.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=em-nx。(e是自然对数的底数，m>0,n>0)

(1)若m=2,n=1,求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)设m,n∈N,m≤9,n≤9,由m,n组成有序实数对(m,n),现从这些有序

实数对中随机抽取一对得到函数f(x),求使得f(x)恰有两个零点的概率.

18.(本小题满分17分)

设数列{a}的前n项和为S,a>0且4S,=a²+2an.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{b}(n∈N)满足{bn+bn+}是等比数列，其中b₁=1,b₃-b₂=a₁,

b₂+b₃=a₂,若bm>400,求正整数m的取值范围.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=(x-a)Inx-x.

(1)当a=0时，

①求f(x)的最小值；

②设n∈N,求证：

(2)设x₁,x₂(x₁<x₂)是f(x)的两个极值点，求证：

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数学答案

题号1234567891011121314

答案BDBCACCDBCDABDBCD99

1.B一解析】由x²-3x+2=0→x=1或x=2.M={1,2}.所以，M={-1,0}.

2.D一解析】已知z₁=-1-4i,z₂=2+3i,复数z,z₂不能比较大小，故A、B不正确；又

z·Z₁=(-1-4i)(-1+4i)=1-16i²=17,z₂·Z₂=Q+3i)Q-3i)4-9i²=13,所以z·Z>z₂·Z2,故C不

正确，D正确.

3.B—解析】由6×0.5=3,可知这组数据的第50百分位数为,而平均数为

,依题意，,解得x=104.

4.C一解析】因为数列{a,}为等差数列且a₅+a₆=53,所以a₁+a₁₀=a₅+a₆=53,所以

5.A—解析】如下图，结合题设易知EF//AC,,则

,BG=λAB+μAD,则,所以

6.C【—解析】可转化

因为不等1其解集为{x|x<-1或x>4},所以a>1且关于x的方程

的两个根为x₁=-1,x₂=4,所以或,解得·或(舍去),

所以不等式即即,解得

7.C—解析】因为0<a<1,0<b<1,则a⁶<b“等价于Ina⁵<1nb“,等价于blna<alnb,

等价于,设,x∈(0,1),页,当x∈(0,1)时，有f'(x)>0,所以f(x)

在区间(0,1)上单调递增，所以f(a)<f(b)等价于a<b,故“a<b”是“a<b“”成立的充要条件.

8.D一解析】函数f(x)=e-e×+sinx-x的定义域为R,又

f(-x)=e-e*+sin(-x)+x=-(eˣ-e×+sinx-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数，又

f'(x)=eˣ+e⁻×+cosx-1,因为e*+e⁻≥2,cosx≥-1,所以f'(x)≥2-1-1=0,当且仅当x=0且

cosx=-1时等号成立，但此二条件不能同时满足，故f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上为增函数又

正实数m,n满足f(2m)+f(n-1)=0,所以f(2m)=f(1-n),故2m=1-n,所以2m+n-1=0,即

6m+3n+1=4,所以

,当且仅

即时取等号.

9.BCD【一解析】对于A:因为X～N(2,σ²),所以E(X)=2,故A错误；对于B:当σ=0.2

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时D(X)=0.2²=0.04,所以D(2X+1)=2²×D(X)=2²×0.04=0.16,故B正确；对于C:因为

X～N(2,σ²),所以P(X<1.8)=P(X>2.2),所以

P(X<1.8)+P(X<2.2)=P(X>2.2)+P(X<2.2)=1,故C正确；对于D:因为X～N(2,σ²),由正

态分布密度曲线的对称性可知，随机变量X落在(1.9,2.2)与(1.8,2.1)的概率相等，故D正确.

10.ABD

由题意可得函数f(x)的最小正周期T,满足·,则有w=2,故A正确；对于B,由A可得

,为函数的最大值，故必有即B

正确；对于C,当时，,则有,故f(x)的取值范围

是故C错误；对于D,当x∈[0,a]时，,由正弦函数的图象性质，要使

函数f(x)在[0,a]上有3个零点，需使3π≤,即,故D正确.

11.BCD一解析】因为f(2-x)+f(x)=2,所以函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以

f(1+x)+f(1-x)=2;因为g(4-x)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=2成轴对称，所以

g(2+x)=g(2-x).对A:因为g(2)=3,f(x)=g(2+x)+4,令x=0得：f(0)=g(2)+4=7;由

f(2-x)+f(x)=2得：f(2)+f(0)=2→f(2)=2-f(0)=2-7=-5.所以-5=g(4)+4→g(4)=-9.

由g(4)=g(0)→g(0)=-9≠0,所以函数g(x)不是奇函数，故A错误；对B:因为g(2+x)=f(x)-4,

用-x代替x得：g(2-x)=f(-x)-4,由g(2+x)=g(2-x),所以

f(x)-4=f(-x)-4→f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数，f(x)的图象关于V轴对称，故B正

确；对C:因为f(1+x)+f(1-x)=2,令x=0得：f(1)=1,由f(x)=g(2+x)+4,所以

f(1)=g(3)+4→g(3)=-3.所以g(3)+g(4)=-3-9=-12,故C正确；对D:因为

f(2-x)+f(x)=2→f(x)=2-f(2-x),用-x代替x得：f(-x)=2-f(2+x);又f(-x)=f(x),

所以f(x)=2-f(2+x),用x+2代替x得：f(2+x)=2-f(4+x);结合f(2+x)=2-f(-x),可得

2-f(-x)=2-f(4+x)→f(-x)=f(4+x);所以f(x)=f(4+x),即f(x)是以4为周期的周期函

数.由f(2-x)+f(x)=2,令x=-1得：f(3)+f(-1)=2→f(3)+f(1)=2;令x=-2得：

f(4)+f(-2)=2→f(4)+f(2)=2.所以

f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=1,所以,故D正确.

12.解析】因为a,b均为单位向量，且|3a+5|=√13,所以

,则

3a+5|=√(3a+b)²=va²+6;b+b²=9×1²+6a:b+1²=13,所以a

,又(a,b)∈[0,π],所以

13.—解析】因为,sin²β+cos²β=1,且

,因为,则α+β∈(0,π),所以

,所以

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.所以

14.99一解析】∵f(x)=a+x³-anx²-a+2x+1,∴f'(x)=3aη+x²-2ax-an+2.∵x=1是

f(x)=an+x³-a,x²-an+2x+1的极值点，∴f'(1)=0,即3a+1-2a,-an+2=0,∴2(am+1-a)=a+2-a+1·

设cn=am+1-an,可得2cₙ=C₄+1,又C₁=a₂-a₁=1,∴数列{c}为首项为1,公比为2的等比数列，

∴bₙ=log₂a+1=n,

15.(1)因为由正弦定理可得：

所以2sinC-sinB=2sinAcosB,

在△ABC中，sinC=sin[π-(4+B)]=sin(A+B),

所以2sin(A+B)-sinB=2sinAcosB,化简得：2cosAsinB=sinB,

由于B∈(0,π),则sinB>0,,又A∈(0,π),所以

(2)由余弦定理

所以a=7,

又B∈(0,π),所以：

在△BCD中，由正弦定理·,即,解得

16.(1)零假设H₀:设认为该校学生对航天工程的关注与性别无关，

根据列联表可得：

能有99.5%的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关.

(2)记这4个问题为a,b,c,d,学生甲答对a,b,c,d的事件分别记为A,B,C,D,

分别记按方案一、二晋级的概率为P,P₂,

则P=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

因学生甲选择方案一晋级的可能性更大.

17.(1)若m=2,n=1,则f(x)=e²×-x,f(0)=e⁰-0=1,

因为f'(x)=2e²×-1,f'(0)=2e⁰-1=1,

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所以切线方程为x-y+1=0;

(2)由f(x)=e”-nx,得f'(x)=me"ˣ-n,令

所以当)时，f'(x)<0,当时，f'(x)>0,

故函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是

(3)由题意，m,n∈N,m≤9,n≤9,则有序实数对(m,n)有81个.

由(2)可知x→-∞0时，f(x)→+00;当x→+0时，f(x)→+∞0,

所以

要使f(x)有两个零点，则

即1-1得n>em,即n≥3m.

满足该条件的有序实数对有：

对于m=1,n可以取3,4,5,6,7,8,9,共7个；

对于m=2,n可以取6,7,8,9,共4个；

对于m=3,n可以取9,共1个；

所以所求事件的概率为

18.(1)因为4S=a²+2an,则4a₁=4S₁=a²+2a₁,a₁(a-2)=0,又a₁>0,所以a₁=2,

又由4Sₙ=a²+2a,得n≥2时，4S₋1=a²-1+2aₙ₋1,

两式相减得4aₙ=4S-4S₋1=a²+2a-a²-1-2aₙ₋1,整理得(a+an₋)(an-an-1-2)=0,因为a>0,

所以an-an₋1-2=0,即an-an₋1=2,

所以{a}是等差数列，且公差为2,

所以a=2+2(n-1)=2n;

(2)由(1)得解得

b₁=1,则b₁+b₂=2,b₂+b₃=4,

因为{bn+bn+13是等比数列，所以公比为所以b+bn+1=2×2”⁻¹=2”,

n≥2时，b₋1+bₙ=2”-¹,