湖南省衡阳市横山县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷（含答案）

第第页湖南省衡阳市横山县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷一、单选题（30分）1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．1.5 B．45 C．122．下列图形中−定相似的是（）A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似3．若关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0A．m≥1 B．m≤1C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠04．下列运算正确的是（）A．25=±5 B．43−33=1 5．方程x−3=x(A．x=0 B．x1=0，x2=3 C．x=3 6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，A．34 B．43 C．377．某班毕业时，每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程（）A．x(x+1)C．12x(8．若0＜x＜1，那么x+1+(x−1)A．2x B．2 C．0 D．2x+29．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：410．如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处，测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米二、填空题（18分）11．式子2a+1在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是．12．若方程x2+2x−k=0的一个根是0，则另一个根是13．计算：50−1814．如图，要使△AFE∽△ABC15．已知a是方程x2−2x−1=0的一个根，那么代数式2a16．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=−10x(x<0)的图象上，点B在函数y=kx(x>0三、解答题17．解方程：（1）x（2）x218．计算：（1）(（2）|19．化简求值：(x−y)2−x(x−2y)，其中x20．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE=∠ACD，（1）求证：△ABC（2）若S△ABC：S△21．已知关于x的一元二次方程(x−3（1）求证：无论p为何值，方程总有两个不等的实数根；（2）若方程的两根x1、x2满足22．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)（1）求△ABC（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D、求线段23．超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？24．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．25．我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线y=2x+3与y=−x+6的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组y=2x+3y=−x+6，解得x=1y=5，所以直线y=2x+3与y=−x+6的交点坐标为（1）求直线y=x−2和双曲线y=（2）已知直线y=kx−3和抛物线y=x2+2x+4，若直线与抛物线只有一个交点，则k（3）如图已知点A(a，0)是x轴上的动点，B(0，42)，以AB

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A.1.5=B.45=C.12=2D.x2故答案为：D.【分析】根据最简二次根式的定义逐一分析判定。最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。2．【答案】D【解析】【解答】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；

B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；

C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；

D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．3．【答案】D【解析】【解答】由题意得，4-4m≥0，且m≠0，解之得，m≤1，且m≠0.故答案为：D.

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。4．【答案】D【解析】【解答】解：A、25=5B、43C、18÷D、24⋅故答案为：D．【分析】分别根据算术平方根的定义、二次根式的加减法则、二次根式的除法和乘法法则逐项判断即得答案．5．【答案】D【解析】【解答】解：∵x−3=x∴x−3−x(∴(∴x−3=0或x−1=0，∴x1=1故答案为：D．【分析】根据因式分解法解一元二次方程。先移项，再提公因式得到(x−3)(1−x)=06．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB∴BD∵AC=3，AE=7，则CE=AE−AC=7−3=4∴BDDF故答案为：A．【分析】根据平行线分线段成比例求解．7．【答案】B【解析】【解答】解：设全班有x名同学，根据题意，x故答案为：B．【分析】设全班有x名同学，每位同学送出(x−1)张照片，8．【答案】B【解析】【解答】∵0＜x＜1∴(x−1)∴x+1+(x−1)2故答案为：B.【分析】根据已知条件0＜x＜1可得x-1<0，则x-1=1−x，于是代数式化简的值为2.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴△ADF∴BFDF∵BE：∴BE：∴BE：∴BFDF∴DF=3BF，∴BFDF故答案为：C．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定求解。先根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，再证明△ADF∽△EBF10．【答案】B【解析】【解答】

解：由题意可得，NE∥CM∥AB，

∴△DCM∽△DBA，△FEN∽△FBA，

CDBD＝CMAB，EFBF＝NEAB，

∵CM＝NE，∴CDBD＝EFBF，

设BC＝x，则BD＝1+x，BF＝x+3+2=x+5

∴11．【答案】a≥-1【解析】【解答】∵式子2a+1在实数范围内有意义，∴2a＋1≥0，∴a≥−1故答案为：a≥−1【分析】二次根式有意义的条件即为：被开方数是非负数.所以2a+1≥0，即可.12．【答案】-2【解析】【解答】解：∵方程x2+2x-k=0的一个根是0，设另一个根是α，则0+α=-2，∴α=-2.故答案为：-2.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x13．【答案】2【解析】【解答】解：原式＝52故答案为：2．【分析】先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．14．【答案】∠AEF=∠ACB（答案不唯一）【解析】【解答】解：可添加条件：∠AEF=∠ACB．证明如下：∵∠FAE=∠BAC，∴△AFE故答案为：∠AEF=∠ACB（答案不唯一）．【分析】根据相似三角形的判定求解．相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．15．【答案】7【解析】【解答】解：由题意得a2−2a−1=0，则2a故答案为：7．【分析】根据方程的根的定义，结合整体代入求代数式的值。由题意可得a2−2a−1=0，16．【答案】5【解析】【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵∠AOB=90°∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△∴S∵OA=2OB，∴S∵点A在函数y=−10x(x<0)∴S△AOC∴5=4×1解得k=5故答案为：52【分析】根据反比例函数k的几何意义，结合相似三角形的判定与性质求解。过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S17．【答案】（1）解：xxx=0或x−3=0解得x1=0，（2）解：xa=1，b=8，c=1∴Δ∴x=解得x1=−4+15【解析】【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程。把方程左边提公因式x分解因式；

（2）根据公式法解一元二次方程。求根公式是：x=−b±18．【答案】（1）解：原式=5−2+3=6；（2）解：原式==3．【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则计算。先算算术平方根和立方根，再算加减；

（2）根据二次根式的混合运算法则计算。先去绝对值和算乘法，再算加减。19．【答案】解：(==y∵2<5<3，x是5的整数部分，y是∴x=2，∴原式=(【解析】【分析】根据整式的乘法、无理数的估算、二次根式的运算求解。利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开计算，然后求得y的值后再代值计算．20．【答案】（1）证明：∵∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠ACB=∠DCE，∵∠B=∠CED，∴△ABC（2）解：由（1）得，△ABC∵S△∴S△∵BC=12，∴EC=18．【解析】【分析】（1）根据两个角相等证明相似三角形；

（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解。21．【答案】（1）证明：整理(x−3)∵Δ=25−24+4=1+4∴无论p取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系，得x1+x∵x1∴(x∴25−2(∴p2解得：p1【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求证。先求出判式的值，再证明判别式的值大于0即可；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解。若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x22．【答案】（1）解：∵a=8，b=5，c=7∴p=8+5+7∴△ABC的面积S=（2）解：∵△ABC的面积=∴12∴AD=5【解析】【分析】（1）根据“海伦”公式，结合二次根式的性质求解。把a=8，b=5，c=7代入海伦”公式进行计算；（2）根据三角形的面积公式，结合二次根式的运算求解。由△ABC的面积=23．【答案】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：256×(解得：x=0.25或∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%（2）解：设降价y元，由题意得：(40−y−25整理得：y2解得：y=5或y=−70（舍）；∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．【解析】【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用“五月的销售量=三月的销售量×(1+平均增长率）²，列出关于x的一元二次方程求解；（2）设商品降价y元，则每件获利(40−y−25)元，月销量为(400+5y24．【答案】（1）解：∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA=BE当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF=20×615∴S△PEF=12EF•OE=12×8×9=36（cm（2）解：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE⋅OABO=(∴12×4整理，得t2-15t+60=0，∵△=152-4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值（3）解：当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA=OEOB，即20−2t解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB=OEOA，即20−2t解得t=8011∴当t=6或t=8011【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=12•EF•OE．t=9时，OE=9，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则EFOA=BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①25．【答案】（1）解：令x−2=3∴x2∴x1=3，当x1=3时，当x2=−1时，∴交点坐标为(3（2）2±2（3）a＞2或－16＜a＜－4【解析】【解答】解：（2）由题意，得x2+2x+4=kx-3，

整得，得x2+(2-k)x+7=0，

∵直线与抛物线只有一个交点，

∴根的判别式的值为0，

即(2-k)2-4×1×7=0，

解得：k=2±27，

故答案为：2±2点A、B的坐标