2026年高考数学复习热搜题速递之两个基本计数原理

第26页（共26页）2026年高考数学复习热搜题速递之两个基本计数原理一．选择题（共7小题）1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）A．24种 B．9种 C．3种 D．26种2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种3．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种 B．80种 C．100种 D．140种4．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有（）种安排方法．A．8 B．6 C．14 D．485．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（）A．8种 B．15种 C．35种 D．53种6．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（）A．24种 B．72种 C．84种 D．120种7．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280二．多选题（共5小题）（多选）8．某校实行选课走班制度，小A同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校（上午共设置4节课）周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小A同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（）第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．此人有6种选课方式 B．此人有5种选课方式 C．自习不可能安排在第1节 D．自习可安排在4节课中的任一节（多选）9．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（）A．A94+A41•AB．A94+A41（AC．A105-A94+A4D．A105-A94-A（多选）10．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（）A．组成的三位数的个数为30 B．在组成的三位数中，奇数的个数为36 C．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20（多选）11．甲，乙，丙，丁，戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：①甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；②乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；③丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；④丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；⑤戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E．下列结论正确的是（）A．最高处的树枝为G、I当中的一个 B．最低处的树枝一定是F C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种 D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种（多选）12．若x∈{1，﹣1，2，﹣2，3，﹣3，0}，y∈{1，2，3}，则关于以（x，y）为坐标的点，下列说法正确的有（）A．共有21个 B．共有39个 C．在坐标轴上的点有3个 D．在坐标轴上的点有6个三．填空题（共4小题）13．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）14．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有项．15．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）16．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有个．四．解答题（共4小题）17．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）18．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端；（6）甲乙中间必须间隔两个同学．19．书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书．（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？20．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

2026年高考数学复习热搜题速递之两个基本计数原理（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BDACCCA二．多选题（共5小题）题号89101112答案BDABDBDACAC一．选择题（共7小题）1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）A．24种 B．9种 C．3种 D．26种【考点】分类加法计数原理；排列组合的综合应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【答案】B【分析】分清是分类计数原理还是分步计数原理，即可求出答案．【解答】解：某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，共有4+3+2＝9种选法，故选：B．【点评】本题考查简单计数原理的应用，是容易题．2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种【考点】分步乘法计数原理．【答案】D【分析】每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解．【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．故选：D．【点评】本题要和5名同学争夺2个项目的冠军，冠军不并列的方法数加以区别．3．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种 B．80种 C．100种 D．140种【考点】分步乘法计数原理．【专题】运算求解．【答案】A【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C4两男一女，有C52C41=间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4故选：A．【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．4．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有（）种安排方法．A．8 B．6 C．14 D．48【考点】分类加法计数原理；计数原理的应用．【专题】计算题；排列组合．【答案】C【分析】根据题意，分“从高一的班级中选取”和“从高二的班级中选取”2种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，某学校从高一或高二的班级中选一个班级担任学校升旗任务，如果从高一的班级中选取，有8种情况，如果从高二的班级中选取，有6种情况，则有8+6＝14种安排方法；故选：C．【点评】本题考查分类计数原理的运用，认真分析题意按照分类计数原理分析即可．5．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（）A．8种 B．15种 C．35种 D．53种【考点】计数原理的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；排列组合．【答案】C【分析】每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，利用乘法原理，可得要发5个电子邮件，发送的方法的种数．【解答】解：∵每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，∴要发5个电子邮件，发送的方法的种数有3×3×3×3×3＝35种，故选：C．【点评】本题考查乘法原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．6．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（）A．24种 B．72种 C．84种 D．120种【考点】分步乘法计数原理．【专题】压轴题．【答案】C【分析】每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，用字母A、B、C、D等注明，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类．【解答】解：设四个直角三角形顺次为A、B、C、D．按A→B→C→D顺序着色，下面分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2＝48种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3＝36种．共有84种故选：C．【点评】区域涂色、种植花草作物是一类题目．分类要全要细．7．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；分类讨论；数学模型法；排列组合．【答案】A【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33＝60种，若是1，2，2，则有C52C32A所以共有150种不同的方法．故选：A．【点评】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定．二．多选题（共5小题）（多选）8．某校实行选课走班制度，小A同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校（上午共设置4节课）周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小A同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（）第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．此人有6种选课方式 B．此人有5种选课方式 C．自习不可能安排在第1节 D．自习可安排在4节课中的任一节【考点】分类加法计数原理．【专题】计算题；逻辑思维；数据分析．【答案】BD【分析】根据题意分两类：第一类，若生物选第2节，第二类，若生物选第3节，分别求出选法再相加得到选课方式共有5种，再依次判断选项即可．【解答】解：因为生物课要求在B层上，只有第2，3节课，故分两类进行讨论：第一类，若生物选第2节，则地理可选第1节或第三节，有2种选法，其他两节政治和自习，有2种选法，故有2×2＝4种选法．第二类，若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种选法．根据分类加法计数原理得到选课方式共有4+1＝5种，故A错误，B正确；对选项C，自习课可以安排在4节课的任意一节，故C错误，D正确．故选：BD．【点评】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，是基础题．（多选）9．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（）A．A94+A41•AB．A94+A41（AC．A105-A94+A4D．A105-A94-A【考点】数字问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合；运算求解．【答案】ABD【分析】解法1，分2种情况讨论：①，0在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，②，2、4、6、8在个位，万位有A81种情况，在剩下的8个数字中任选3个，安排在中间的3个数位，由加法原理可得A正确；解法2，分2种情况讨论：①，0在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，②由间接法分析2、4、6、8在个位的情况数目，由加法原理可得B正确；解法3，利用间接法分析可得D正确，C错误；综合即可得答案．【解答】解：根据题意，解法1，分2种情况讨论：①，0在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，有A94种情况，②，2、4、6、8在个位，万位有A81种情况，在剩下的8个数字中任选3个，安排在中间的3个数位，有A83种情况，此时有A41A81A83种情况，则可以有A94+A41A81A83个五位偶数，A正确；解法2，分2种情况讨论：①，0在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，有A94种情况，②，2、4、6、8在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，有A94种情况，其中0在首位的有A83种情况，则此时有A41（A94﹣A83）种情况，则可以有A94+A41（A94﹣A83）个五位偶数，B正确；解法3，由排除法分析：在10个数字中任选5个，进行全排列，有A105种情况，其中0在首位的有A94种情况，五位数是奇数，即1、3、5、7、9在个位有A51A94种情况，0在首位且1、3、5、7、9在个位有A51A83种情况，则可以有A105-A94-A51（A故选：ABD．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．（多选）10．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（）A．组成的三位数的个数为30 B．在组成的三位数中，奇数的个数为36 C．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20【考点】数字问题．【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．【答案】BD【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可．【解答】解：对于A，5个数组成无重复的三位数的个数为A53=60对于B，奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为3A42对于C，“凸数”分为3类，①十位数为5，则有A42=12个；②十位数为4，则有③十位数为3，则有A22=2个，所以共有20个，故C故选：BD．【点评】本题主要考查排列及简单计数问题，属于基础题．（多选）11．甲，乙，丙，丁，戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：①甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；②乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；③丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；④丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；⑤戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E．下列结论正确的是（）A．最高处的树枝为G、I当中的一个 B．最低处的树枝一定是F C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种 D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种【考点】计数原理的应用；进行简单的合情推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】AC【分析】根据题意，先确定树枝的顺序，可判断出树枝部分顺序GABCEF，还剩下D，H，I不能确定，但树枝I在C之前，而树枝D在BE之间，H在D之后，进而按I与BC的关系，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：由题可判断出树枝部分顺序GABCEF，还剩下D，H，I不能确定，但树枝I在C之前，而树枝D在BE之间，H在D之后，故A正确，B不正确；分2种情况讨论：①若I在BC之间，D有3种可能：其中若D在BI之间，H有5种可能，若D在IC之间，H有4种可能，若D在CE之间，H有3种可能．②若I不在BC之间，则I有3种可能，此时D有2种可能，D可能在BC之间，H有4种可能，D可能在CE之间，H有3种可能，综上共有5+4+3+3（4+3）＝12+21＝33，故C正确，D不正确．故选：AC．【点评】本题考查分步、分类计数原理的应用，涉及合情推理的应用，关键是分析树枝的顺序．（多选）12．若x∈{1，﹣1，2，﹣2，3，﹣3，0}，y∈{1，2，3}，则关于以（x，y）为坐标的点，下列说法正确的有（）A．共有21个 B．共有39个 C．在坐标轴上的点有3个 D．在坐标轴上的点有6个【考点】分步乘法计数原理．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】根据x∈{1，﹣1，2，﹣2，3，﹣3，0}，y∈{1，2，3}，利用分步乘法计数原理即可求解．【解答】解：若x∈{1，﹣1，2，﹣2，3，﹣3，0}，y∈{1，2，3}，则以（x，y）为坐标的点有7×3＝21个，在坐标轴上的点有1×3＝3个．故选：AC．【点评】本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【专题】算法和程序框图．【答案】见试题解答内容【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41当数字中有2个2，2个3时，共有C42当数字中有3个2，1个3时，共有C41根据分类加法原理知共有4+6+4＝14种结果，故答案为：14．【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．14．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有60项．【考点】分步乘法计数原理．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据多项式的乘法法则，分析易得在（a1+a2+a3）中取一项有3种取法，在（b1+b2+b3+b4）中取一项有4种取法，在（c1+c2+c3+c4+c5）中取一项有5种取法，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据多项式的乘法法则，（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的结果中每一项都必须是在（a1+a2+a3）、（b1+b2+b3+b4）、（c1+c2+c3+c4+c5）三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，而在（a1+a2+a3）中有3种取法，在（b1+b2+b3+b4）中有4种取法，在（c1+c2+c3+c4+c5）中有5种取法，由乘法原理，可得共有3×4×5＝60种情况，则（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的展开式中有60项；故答案为60．【点评】本题考查分步计数原理的运用，是常见的题目；平时要多加训练．15．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125（结果用数值表示）【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95＝126种；其中只有男生C55＝1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1＝125种；故答案为：125．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．16．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N+）位回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10＝90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10＝10n种选法，故2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个故答案为9×10n【点评】本题主要考查了分步计数原理的运用，新定义数字问题的理解和运用，归纳推理的运用，属基础题四．解答题（共4小题）17．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）【考点】加法计数原理与乘法计数原理的综合应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）48；（2）16；（3）9；（4）150．【分析】（1）相邻问题，用捆绑﹣内部调整法．（2）不相邻问题，用插空法．（3）用所有的方法减去没有白球的方法，即为所求．（5）先分组，再排列．【解答】解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看作一个，和其他的小球排列，方法有A22•A（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有A11•C41•C（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为C53（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有（12C53•C21•C11）•A33=60种，若按221综上可得，方法共有60+90＝150种．【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题．18．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端；（6）甲乙中间必须间隔两个同学．【考点】计数原理的应用．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；排列组合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，首先分析甲的情况，易得甲有4种情况，再将剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，再把甲、乙进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A64种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，问题得以解决．（5）根据题意，首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，再让其他4人在中间位置作全排列，根据分步计数原理，由分步计数原理计算可得答案，（6）根据题意，先排甲乙有A22种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有A42种．把排好的这4个人看作一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有A33种．根据分步计数原理可得答案，【解答】解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A41种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站A41A55＝480（种）．方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A52种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法A52A44＝480（种）．方法三：若对甲没有限制条件共有A66种法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66﹣2A55＝480（种）．（2）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，分步计数原理，共有A55A22＝240（种）站法．（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A52种，故共有站法为A44A52＝480（种）．（4）先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A64种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，全部排完，故共有A64＝360种．（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步计数原理，共有A22A44＝48（种）．方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步计数原理共有A22A44＝48种站法，（6）先把甲乙排好，有A22种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有A42种．把排好的这4个人看作一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有A33种．根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有A22A42A33＝144（种）【点评】本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目19．书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书．（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？【考点】加法计数原理与乘法计数原理的综合应用．【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）15，（2）120，（3）74．【分析】（1）根据分类加法计数原理计算；（2）根据分步乘法计数原理计算；（3）先分类，再分步计算．【解答】解：（1）书架上共有6+5+4＝15本书，故书架中任取1本书，共有15种不同的取法．（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，不同的取法共有6×5×4＝120种．（3）从书架中的不同层任取2本书，不同的取法共有6×5+6×4+5×4＝74种．【点评】本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题．20．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）任选一个人去献血，在O型血中选1人有28种不同的选法，从A型血中有7种不同的选法，从B型血的人中有9种不同的选法，从AB型血中选1人有3种不同的选法．根据分类计数原理得到结果．（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，在这四种不同的血型中分别有28，7，9，3种结果，用分步计数原理得到结果．【解答】解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都可以完成，∴用分类计数原理．有28+7+9+3＝47种不同选法．（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同选法．【点评】本题考查分类计数原理和分步计数原理，把这两个原理进行比较，同学们要认真体会这两种原理的使用条件．

考点卡片1．分类加法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．3．特点：（1）完成一件事的n类方案相互独立；（2）同一类方案中的各种方法相对独立．（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；4．注意：与分步乘法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理．实现步骤：（1）分类；（2）对每一类方法进行计数；（3）用分类加法计数原理求和；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种B.35种C.42种D.48种分析：两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．解答：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C3②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C3∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C4故选A．点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C732．分步乘法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；4．注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A.432B.288C.216D.108分析：本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32解答：∵由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21∴所求奇数的个数共有18×12＝216种．故选C．点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．3．计数原理的应用【知识点的认识】1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn2．两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】1．计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．2．解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答．【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）4．数字问题【知识点的认识】﹣数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排．例如：求解由数字构成的不同整数的数量、分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数．﹣数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合．【解题方法点拨】﹣首先分析题目中的数字特性，如数字的范围、允许的重复次数等．﹣使用排列数或组合数来计算数字的不同排列组合方式，必要时采用分类讨论的方式处理特殊情况．﹣在涉及限制条件（如某些数位必须满足特定要求）时，先处理限制条件，再进行组合计算．【命题方向】﹣典型的数字问题命题包括：计算由给定数字组成的不同整数的数量，或者确定某一数位上特定数字出现的频率．﹣可能涉及到数字排列的特殊情况，如求解满足某些数位条件的整数个数，或计算某些数字在排列中的特定组合数量．﹣在更复杂的问题中，可能需要结合多种计数方法，如递推公式或生成函数来处理数字的排列组合．5．加法计数原理与乘法计数原理的综合应用【知识点的认识】﹣加法计数原理和乘法计数原理是计数原理中最基础