训练01 平面向量的线性运算及其数量积52道期中期末真题训练（解析版）

2024-2025学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019必修第二册）训练01平面向量的线性运算及其数量积一、单选题1．（2023·24高一下·河北张家口·阶段练习）向量（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由.故选：C.2．（2023·24高一下·北京昌平·期中）已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为故选：C3．（2023·24高一下·陕西西安·期末）已知向量的模长为2，向量在向量上的投影向量为，则（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，又向量的模长为2，所以.故选：D4．（2024·25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，若，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【详解】由题意，则，得，，所以，所以.故选：B5．（2023·24高一下·河南南阳·阶段练习）设平面向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，得，所以.故选：B6．（2023·24高一下·山东济南·期中）下列各式正确的个数为（

）①|a|2＝a2；②；③(a·b)2＝a2b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】向量不能约分，②错；③中(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等，所以③错，①④正确．【考查意图】借助考查命题的真假判断，考查向量的数量积公式．7．（2023·24高一下·湖北·阶段练习）已知单位向量的夹角为，与垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，解得：.故选：C.8．（2023·24高一下·河北保定·阶段练习）已知向量，，，则（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【详解】解:因为，所以，又因为，，所以，即，解得.故选：A.9．（2023·24高三上·贵州安顺·期末）已知平面向量，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】易知，由可知.故选：B10．（2023·24高一下·山东聊城·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为向量，且，那么，所以向量在向量上的投影向量为，故选：D.11．（2024·25高三下·江苏淮安·开学考试）正三角形中是线段上的点，，则（

）A． B．6 C． D．12【答案】C【详解】由题意，.故选：C12．（2023·24高一下·福建龙岩·期中）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（

）A．5 B． C． D．【答案】A【详解】由向量，可得，且，可得，因为，可得，所以.故选：A.13．（2023·24高一下·四川凉山·期中）已知O为内一点，且，则与面积比为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】以OB、OC为邻边做平行四边形OBDC如图所示，则.因为，所以，所以.在AB边上取三等分点E、F，连结OE.因为所以，所以四边形OEBD为平行四边形，所以，所以.所以O到AB的距离是C到AB距离的一半，所以与面积比为.故选：C14．（2023·24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.15．（2023·24高一下·浙江杭州·期中）平行四边形ABCD，点E满足，，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】，又因为，所以，所以，所以.故选：A.16．（2023·24高二下·湖南·期末）若非零向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，可得，即，所以，又因为，可得，所以，设与的夹角为，可得，因为，可得，即与的夹角为.故选：C.17．（2023·24高一下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】由可得：，即，故,因为B,P,D三点共线，所以，故选：D18．（2023·24高一下·天津·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，又，即，由三点共线可知，，即，故.由题知，，.将上式两边平方可得，，即.故选：B19．（2023·24高二下·北京海淀·期末）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】不妨令，，且，又，则，所以，因为，所以，所以当时，的最小值为.故选：C20．（2023·24高三上·天津北辰·期中）在四边形中，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】

如图，以点为原点，以为轴，过点且垂直向上的方向为轴建立平面直角坐标系，，，，因为，所以，设，，，则，，，，因为，所以，解得，，，所以当时，最小，最小为.故选：C.21．（2023·24高三上·浙江绍兴·阶段练习）对中国文人来说，折扇既是一种身份的象征，又寄寓着个人的文化趣味．折扇开合自如，开之则用，合之则藏，进退自如，逍遥自在，如下左图．其平面图如下右图的扇形AOB，其中，，点在弧上，则的最小值是（

）

A． B． C．1 D．3【答案】A【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，故，，则，由，得，所以当，即时，有最小值.故选：A．

22．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，则，其中，，当，即同向时，取最大值，所以的最大值为.故选：C.23．（2023·24高一下·浙江·期中）正方形ABCD的边长为2，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面内一点，且满足，则·的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，可得，故三点共线，又三点共线，故为直线与的交点.·，又，可得·，又，所以·.故选：D.二、多选题24．（2023·24高一下·甘肃·阶段练习）下列四个等式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由向量的加法交换律及相反向量知：、，即A、B正确，由，C正确，向量的线性运算(加减、数乘运算)，结果应为向量，D错误．故选：ABC25．（2023·24高一下·广东佛山·阶段练习）给出下列命题正确的是（

）A．平面内所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若，满足，且，同向，则D．力、速度和位移都是向量【答案】BD【详解】对A，若单位向量的方向不同，则向量不相等，故A错误；对B，根据相反向量的定义可知B正确；对C，向量无法比较大小，故C错误；对D，根据物理学上关于力、速度和位移的定义知力和速度既有大小也有方向，其符合向量的定义，故D正确.故选：BD.26．（2024·25高一下·江苏南京·阶段练习）若向量，则（

）A． B．C．在上的投影向量为 D．与的夹角为【答案】BC【详解】由题，所以，故A错；又，故B正确；，所以在上的投影向量为：，故C正确；因为，又，所以，故D错误.故选：BC.27．（2023·24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知向量，，且是直角三角形，则k的值可以是（

）A．或 B．1或2 C． D．【答案】AC【详解】因为，，所以，若是直角，，所以或，若是直角，，该方程无解，若是直角，，解得，综上所述，k的值可以是或或.故选：AC.28．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（

）A．三点共线 B．C． D．点在的内部【答案】AC【详解】，因为点为的重心，所以，所以，所以三点共线，故A正确，B错误；，因为，所以，即，故C正确；因为，所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；故选：AC．29．（2023·24高二下·湖南·阶段练习）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作．则下列说法正确的是（

）

A．若，则B．若，则A，B，C三点共线C．若，则D．若，，则四边形OACB的面积为【答案】ABD【详解】对于A，由题意得，故，故，正确；对于B，由题意得，，所以，所以A，B，C三点共线，故B正确；对于C，由题意得，，所以，故与不垂直，故C错误；对于D，连接OC，在中，OA边上的高为，所以；在中，OB边上的高为，所以．故，故D正确．故选：ABD.

30．（2023·24高一下·重庆·阶段练习）重庆市第一中学校是一所历史悠久的全国名校，校园安静，环境优美，有大量的绿植，同学们入校后映入眼帘的就是一片树林，树木排列整齐，高大挺拔，枝繁叶茂，形成一道天然屏障，为夏日添一份凉爽.如图是重庆一中入校小树林的树木排列图，其中每一个点代表一棵树木，五角星处是一个鸟类观测点，圆圈处为邓小平雕塑，图中形成一个“心形”区域.据此，下列说法正确的有（

）本题中图形和数据如下：米，把看成是以，为直角边的等腰直角三角形，为的中点，米，K为BD的中点，//A．B．若为心形区域内任意一点，那么有最小值C．若对两棵树的树顶仰角均为45°，那么两棵树的树顶之间距离为米D．I为四边形内任意一点（包含边界），，那么的范围为【答案】BCD【详解】对于A，在中，已知是以，为直角边的等腰直角三角形，且B为AC的中点，，故，，则，连接，易知，而K为BD的中点，故，易知的夹角为，而，可得，故A错误，对于B，，，而，故，故B正确，对于C，令的树顶分别为，那么有；．由勾股定理得．故C正确，对于D，连接，以为原点建立平面直角坐标系，，设，故，，，易知，，故，可得，化简得，由中点坐标公式得，而I为四边形内任意一点，可得，故，即，故D正确.故选：BCD三、填空题31．（2023·浙江台州·二模）已知平面向量，，若，则实数.【答案】/0.5【详解】因为，所以，即.故答案为：.32．（2023·24高一下·北京朝阳·期中）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么；.【答案】【详解】因为，所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：；.故答案为：；.33．（2023·24高一下·新疆喀什·期中）已知向量，，则与的夹角为.【答案】【详解】由题意设与的夹角为，，所以，解得.故答案为：.34．（2023·24高一下·北京大兴·期中）已知平面向量满足，，且与的夹角为，则．【答案】【详解】，故.故答案为：35．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则.【答案】1【详解】如图，，所以，所以.故答案为：1.36．（2023·24高一下·江西赣州·期末）如图，在单位同格中，向量在向量上的投影向量与向量的夹角为．

【答案】/45°.【详解】由图可知：向量在向量上的投影向量为，结合向量坐标表示即为，由图可知：，设投影向量与向量的夹角为45°.故答案为：45°.37．（2023·24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，若对任意实数，点P都满足，则的最小值为.【答案】−16【详解】以A，B的中点为原点，所在直线为x轴，过O且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为上一点，，故，所以，P到直线的距离为3，则P点在直线上，由，，设，则，当且仅当时，取最小值−16.故答案为：−16．38．（2023·24高一下·上海松江·期中）菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为．【答案】/【详解】设，则，所以当，时，取得最大值．故答案为：．四、解答题39．（2023·24高一下·江西抚州·期中）化简下列各式：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）原式.（2）原式．40．（2023·24高一下·广东云浮·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点､､的坐标分别是､､，

(1)求向量；(2)求顶点的坐标.【答案】(1)(2)【详解】（1）四边形是平行四边形，且顶点､的坐标分别是､，；（2）设，又，，又，，即，解得，顶点的坐标为.41．（2023·24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，．(1)求，；(2)求与的夹角．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）因为，是两个单位向量，其夹角为60°，则，，,又，所以，同理，所以；（2）由题得，，设与的夹角为θ，则，因为θ∈[0,π]，所以，则向量与的夹角为．42．（2023·24高二上·广东江门·期中）已知点，向量．(1)若，求实数k的值；(2)求向量与向量所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则，且由，可得，解得（2）因为，则，则所以43．（2023·24高一下·广西贺州·阶段练习）（1）若向量，求与的夹角；（2）已知，求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）【详解】（1），，，，，设与的夹角为θ，则，.（2）由题意知，，所以，设的夹角为，则.44．（2023·24高一下·河北唐山·期末）已知平面向量与的夹角为，且，.(1)求；(2)若与垂直，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）.（2）因为与垂直，所以，所以，所以，得.45．（2023·24高一下·山东聊城·期中）已知与的夹角为．(1)求的值；(2)设，求的夹角．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，得：，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得：，∴，∵，∴.46．（2023·24高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．(1)求点B的坐标；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为（2）由题意，，又，故，且不共线，故47．（2023·24高一下·云南楚雄·期末）已知平面向量满足．(1)若，求的值；(2)若，求向量与夹角的大小．【答案】(1)(2)．【详解】（1）根据题意可得，解得．（2）由，得．因为，所以，所以，所以，又，所以．48．（2023·24高一下·河北沧州