2025-2026学年北京大学附中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年北京大学附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题符合题意的选项只有一个．1．（2分）在我校初二年级数学“对称之美”徽章设计实践活动中，以下同学的原创设计作品充满想象力和创造力，请选出其中不是轴对称的图案（）（只考虑图形特征，不考虑颜色）A． B． C． D．2．（2分）下列算式中计算正确的是（）A．（2a）3＝6a3 B．a3•a5＝a8 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣a3）2＝﹣a63．（2分）如图，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL4．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若∠D＝75°，则∠ABC的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．55°5．（2分）已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高（）A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点E，则∠DBC的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．25°7．（2分）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b28．（2分）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（）A．60° B．72° C．36° D．90°10．（2分）如图是2×2的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个二、填空题：（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若x≠0，则x0＝．12．（3分）如图，BC、DE交于点O，且BC＝DE，使得△ABC≌△AED，则可以添加的条件是．13．（3分）如图，一个直角三角板的一条直角边经过∠AOB的顶点O，一把直尺经过三角板的直角顶点E并且与这条直角边垂直，当CE＝DE时，∠AOE与∠AOB的数量关系为：．14．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10mm．15．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E．若∠A＝36°，则∠BDE＝°．16．（3分）如图1，MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一介质射到分界面时，折射光线进入第二介质．入射光线与分界面的法线组成的角叫作入射角，反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角分别叫作反射角、折射角．根据光线的反射定律，法国数学家费马提出著名的光行最速原理：当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短，也就是光线行进的“光程”最短．此原理是可以用数学方法证明的：如图2，光线经过点A射向分界面上的点O，反射经过点B，可以证明要比其他路径（如沿着路径APB）短．若作点B关于分界面MN的对称点B′，请结合证明过程选出下面结论中正确的，将序号填写在横线上．①点A，O，B′三点共线；②OB＝OB′；④AP+BP＜AO+OB三、解答题：（本题共62分，17题8分，18题-21题，每题5分，22-23题，每题6分，24-25题，每题7分，26题8分）17．（8分）计算：（1）a2•a+2a5÷a2；（2）（x﹣3y）（xy2）2．18．（5分）已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE求证：△ACD≌△CBE．19．（5分）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）﹣y2，其中x＝3，y＝2．20．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，使CE＝CD．求∠BDE的度数．21．（5分）小兵遇到一个作图问题：如图，在△ABC中，∠B＝3∠C下面是小兵设计的尺规作图过程．作法：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BC于另一点D；②作线段CD的垂直平分线l，直线l交线段AC于点E；③连接AD，DE．则△ABD，△ADE根据小兵设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：由作图可知AB＝AD，①∴∠B＝∠．∵∠B＝3∠C，∴∠ADB＝3∠C．∵直线l为线段CD的垂直平分线，∴CE＝DE（）（填推理的依据）．②∴∠C＝∠CDE．∴∠AED＝∠C+∠CDE＝2∠C，∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝3∠C，∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝2∠C．∴∠AED＝∠CAD．∴AD＝DE（）（填推理的依据）．③由①②③得：△ABD，△ADE，△CDE均为等腰三角形．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（1，6），B（﹣3，2），C（3，4）．（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点C关于y轴的对称点的坐标；（3）点Q是x轴上的一个动点，当△QBC的周长最小时，在图中画出点Q的位置．23．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DA平分∠CDE，且AB＝AE，BD＝3，求DE的长．24．（7分）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和k﹣2的平方差2﹣52，则24为7系平方差数．（1）直接写出6系平方差数；（2）已知M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5为k系平方差数；（3）已知a，b为正整数，a＞b，且（a+2b）2﹣3b（b+2a）﹣4为k系平方差数．①直接写出a与b之间的数量关系；②若a+b+8是k系平方差数，请写出2025a﹣2023b是系平方差数（用含k的代数式来表示）．25．（7分）如图，△ABC为等边三角形，在△ABC的外侧作射线AP（0°＜α＜90°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD（1）依题意补全图形；（2）当α＝20°，∠ADC＝°；（3）当0°＜α＜60°时，用等式表示AE，BE，并证明；（4）若△DBC为等腰三角形，直接写出α的度数．26．（8分）在平面直角坐标系中，S是给定的n（n≥3）边形A1A2⋯An．我们称如下的变换为一次“S﹣轴反射变换”：将平面内一点X沿直线A1A2进行翻折得到点X1；将点X1沿直线A2A3翻折得到点X2；…；将点Xn﹣1沿直线AnA1翻折最终得到点Xn，并记点Xn为点X在“S﹣轴反射变换”下的像点．请回答下列问题：（1）如图1，若S是给定的等腰直角三角形A1A2A3（∠A2＝90°），顶点坐标为A1（0，0），A2（0，2），A3（2，2），则点M（1，0）在此“S﹣轴反射变换”下的像点M3的坐标为；（2）如图2，若S是给定的四边形A1A2A3A4顶点坐标为A1（﹣2，2），A2（﹣2，﹣2），A3（2，﹣2），A4（2，2），点B在此“S﹣轴反射变换”下的像点Bn的坐标是（9，7），则点B的坐标为；四边形内一点P（a，b）的像点Pn的坐标是（用含a，b的代数式表示）；（3）如图3，若S是给定的平面内一个等边三角形A1A2A3，点P是此三角形内（不含边界）一点，对点P进行一次“S﹣轴反射变换”得到点P3，是否存在点P使得P3和P重合？如果存在，请在图中给出点P的具体位置；如果不存在

2025-2026学年北京大学附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBDABBAABB一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题符合题意的选项只有一个．1．（2分）在我校初二年级数学“对称之美”徽章设计实践活动中，以下同学的原创设计作品充满想象力和创造力，请选出其中不是轴对称的图案（）（只考虑图形特征，不考虑颜色）A． B． C． D．【解答】解：A、选项中的图形能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；B、选项中的图形能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；C、选项中的图形不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；D、选项中的图形能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．故选：C．2．（2分）下列算式中计算正确的是（）A．（2a）3＝6a3 B．a3•a5＝a8 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣a3）2＝﹣a6【解答】解：直接利用同底数幂的乘法和除法法则、积的乘方运算法则依次判断如下：A．（2a）3＝3a3，故A不正确，不符合题意；B．a3•a3＝a8，故B正确，符合题意；C．a6÷a7＝a4，故C不正确，不符合题意；D．（﹣a3）4＝a6，故D不正确，不符合题意；故选：B．3．（2分）如图，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【解答】解：∵∠C＝∠D＝90°，∴△BAC和△BAD都是直角三角形，在Rt△BAC和Rt△BAD中，，∴Rt△BAC≌Rt△BAD（HL），∴证明△BAC≌△BAD的理由是：HL，故选：D．4．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若∠D＝75°，则∠ABC的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．55°【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠D＝75°，∴∠A＝∠D＝75°，∠ACB＝∠DBC＝40°，∵∠ABC+∠A+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣40°＝65°．故选：A．5．（2分）已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高（）A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD是底边BC上的高，∴BD＝CD，AD平分∠BAC，∴A、C、D都是正确的，不符合题意，B不一定成立，符合题意，故选：B．6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点E，则∠DBC的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．25°【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB＝AD∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故选：B．7．（2分）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【解答】解：如图，图甲中①，图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a4﹣b2，故选：A．8．（2分）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：过点M作ME⊥OP，MF⊥OB、F．∵M是∠AOB平分线上的一点，ME⊥OP，∴ME＝MF．∵S△OMP＝OP×EM＝3，∴OP×EM＝4．∵OP＝2OQ，∴OQ×EM＝8．∴S△OMQ＝OQ×EF＝OQ×EM＝1．故选：A．9．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（）A．60° B．72° C．36° D．90°【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，∴∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，∴8∠A+2∠A+∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠ABC＝2∠A＝72°，故选：B．10．（2分）如图是2×2的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示，，在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．故选：B．二、填空题：（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若x≠0，则x0＝1．【解答】解：x0＝1．故答案为：6．12．（3分）如图，BC、DE交于点O，且BC＝DE，使得△ABC≌△AED，则可以添加的条件是∠B＝∠E或∠ACB＝∠ADE或∠BCE＝∠EDB或AB＝AE．【解答】解：∵BC＝DE，∠A＝∠A，∴当添加一个条件，使得△ABC≌△AED时①当添加∠B＝∠E时，可使得△ABC≌△AED在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；②当添加∠ACB＝∠ADE时，可使得△ABC≌△AED在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；③当添加∠BCE＝∠EDB时，可使得△ABC≌△AED∵∠BCE+∠ACB＝180°，∠EDB+∠ADE＝180°，∴∠ACB＝∠ADE，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；④当添加AB＝AE时，可使得△ABC≌△AED在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；综上所述：添加的条件是∠B＝∠E或∠ACB＝∠ADE或∠BCE＝∠EDB或AB＝AE．故答案为：∠B＝∠E或∠ACB＝∠ADE或∠BCE＝∠EDB或AB＝AE．13．（3分）如图，一个直角三角板的一条直角边经过∠AOB的顶点O，一把直尺经过三角板的直角顶点E并且与这条直角边垂直，当CE＝DE时，∠AOE与∠AOB的数量关系为：∠AOB＝2∠AOE．【解答】解：∵OE⊥CD，DE＝CE，∴OE是CD的垂直平分线，∴OC＝OD，∴∠AOB＝2∠AOE，故答案为：∠AOB＝2∠AOE．14．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m5m．【解答】解：过C作CM⊥AB于M，∵∠ABC＝150°，∴∠CBM＝180°﹣150°＝30°，在Rt△CBM中，∵BC＝10m，∠CBM＝30°，∴CM＝BC＝7m，即乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m．故答案为：5．15．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E．若∠A＝36°，则∠BDE＝40°．【解答】解：∵∠A＝36°，∠BDC＝76°，又∵∠BDC是△ABD的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ABD，即76°＝36°+∠ABD，∴∠ABD＝76°﹣36°＝40°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝40°，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD＝40°．故答案为：40．16．（3分）如图1，MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一介质射到分界面时，折射光线进入第二介质．入射光线与分界面的法线组成的角叫作入射角，反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角分别叫作反射角、折射角．根据光线的反射定律，法国数学家费马提出著名的光行最速原理：当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短，也就是光线行进的“光程”最短．此原理是可以用数学方法证明的：如图2，光线经过点A射向分界面上的点O，反射经过点B，可以证明要比其他路径（如沿着路径APB）短．若作点B关于分界面MN的对称点B′，请结合证明过程选出下面结论中正确的，将序号填写在横线上①②③．①点A，O，B′三点共线；②OB＝OB′；④AP+BP＜AO+OB【解答】解：∵入射角等于反射角，即∠EOB＝∠EOA，∴90°﹣∠EOB＝90°﹣∠EOA，∴∠MOA＝∠NOB，根据轴对称可知：∠NOB′＝∠NOB，∴∠NOB′＝∠MOA，∴点A，O，B′三点共线，符合题意；由条件可知MN垂直平分BB′，∴OB＝OB′，故②正确；∵点P在MN上，MN垂直平分BB′，∴PB＝PB′，故③正确；∵AP+BP＝AP+B′P，又∵AP+B′P＞AB′＝AO+OB′＝AO+OB，∴AP+BP＞AO+OB，故④错误；综上分析可知：正确的有①②③．故答案为：①②③．三、解答题：（本题共62分，17题8分，18题-21题，每题5分，22-23题，每题6分，24-25题，每题7分，26题8分）17．（8分）计算：（1）a2•a+2a5÷a2；（2）（x﹣3y）（xy2）2．【解答】解：（1）原式＝a3+2a4＝3a3；（2）原式＝（x﹣4y）•x2y4＝x6y4﹣3x7y5．18．（5分）已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE求证：△ACD≌△CBE．【解答】证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC＝CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．19．（5分）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）﹣y2，其中x＝3，y＝2．【解答】解：（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）﹣y7＝x2+4xy+5y2+x2﹣y7﹣y2＝2x4+4xy+2y8，当x＝3，y＝2时，原式＝8×32+7×2×3+5×22＝18+24+2＝50．20．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，使CE＝CD．求∠BDE的度数．【解答】证明：∵BD是中线，△ABC是等边三角形，∴∠DBC＝30°，∠ABC＝∠ACB＝60°，又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED，又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴，∴∠DBC＝∠DEC＝30°，∴∠BDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．21．（5分）小兵遇到一个作图问题：如图，在△ABC中，∠B＝3∠C下面是小兵设计的尺规作图过程．作法：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BC于另一点D；②作线段CD的垂直平分线l，直线l交线段AC于点E；③连接AD，DE．则△ABD，△ADE根据小兵设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：由作图可知AB＝AD，①∴∠B＝∠ADB．∵∠B＝3∠C，∴∠ADB＝3∠C．∵直线l为线段CD的垂直平分线，∴CE＝DE（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）．②∴∠C＝∠CDE．∴∠AED＝∠C+∠CDE＝2∠C，∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝3∠C，∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝2∠C．∴∠AED＝∠CAD．∴AD＝DE（等角对等边）（填推理的依据）．③由①②③得：△ABD，△ADE，△CDE均为等腰三角形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：由作图可知AB＝AD，①∴∠B＝∠ADB．∵∠B＝3∠C，∴∠ADB＝3∠C．∵直线l为线段CD的垂直平分线，∴CE＝DE（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．②∴∠C＝∠CDE．∴∠AED＝∠C+∠CDE＝8∠C，∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝3∠C，∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝2∠C．∴∠AED＝∠CAD．∴AD＝DE（等角对等边）．③由①②③得：△ABD，△ADE．故答案为：ADB；垂直平分线上任意一点；等角对等边．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（1，6），B（﹣3，2），C（3，4）．（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点C关于y轴的对称点的坐标（﹣3，4）；（3）点Q是x轴上的一个动点，当△QBC的周长最小时，在图中画出点Q的位置（﹣1，0）．【解答】解：（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案，如图所示．（2）点C关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，4）；故答案为：（﹣3，4）；（3）如图所示：连接BC′交x轴于点Q，Q点的坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，0）．23．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DA平分∠CDE，且AB＝AE，BD＝3，求DE的长．【解答】解：如图，过点A作AH⊥DE于H，∵CD＝2，BD＝3，∴BC＝6，∵DA平分∠CDE，∠ACD＝90°，∴∠ADC＝∠ADH，∠C＝∠AHD＝∠AHE＝90°，在△ADC和△ADH中，，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH，CD＝DH＝2，在Rt△ABC和Rt△AEH中，，∴Rt△ABC和Rt△AEH（HL），∴BC＝EH＝5，∴DE＝DH+HE＝8．24．（7分）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和k﹣2的平方差2﹣52，则24为7系平方差数．（1）直接写出6系平方差数20；（2）已知M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5为k系平方差数；（3）已知a，b为正整数，a＞b，且（a+2b）2﹣3b（b+2a）﹣4为k系平方差数．①直接写出a与b之间的数量关系a﹣b＝4；②若a+b+8是k系平方差数，请写出2025a﹣2023b是k+2022系平方差数（用含k的代数式来表示）．【解答】解：（1）对于一个正整数n，若存在正整数k，那么称这个正整数n为k系平方差数．62﹣52＝36﹣16＝20，故答案为：20；（2）依题意可知，（3k﹣7）（3k+2）﹣5k（3k﹣1）+8＝k2﹣（k﹣2）7，整理得：﹣4+3k+8＝4k﹣4，解得：k＝4，∴M＝52﹣（3﹣2）2＝25﹣7＝16；（3）①（a+2b）2﹣7b（b+2a）﹣4＝a7+4ab+4b4﹣3b2﹣6ab﹣4＝a2﹣5ab+b2﹣4＝（a﹣b）5﹣22，∵（a+8b）2﹣3b（b+7a）﹣4为k系平方差数，且a＞b，∴a﹣b＝k，k﹣2＝7，解得k＝4，∴a﹣b＝2+3＝4，故答案为：a﹣b＝4；②∵a+b+2是k系平方差数，∴a+b+8＝k2﹣（k﹣3）2，∴a+b+8＝8k﹣4，由①得a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴b+4+b+8＝2k﹣4，∴b＝2k﹣4，∴a＝2k﹣4，∴2025a﹣2023b＝2025×（6k﹣4）﹣2023×（2k﹣7）＝4k+8084，设2025a﹣2023b是n系平方差数，则4k+8084＝n2﹣（n﹣2）2，∴7k+8084＝4n﹣4，∴n＝k+2022，∴2025a﹣2023b是k+2022系平方差数．故答案为：k+2022．25．（7分）如图，△ABC为等边三角形，在△ABC的外侧作射线AP（0°＜α＜90°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD（1）依题意补全图形；（2）当α＝20°，∠ADC＝40°；（3）当0°＜α＜60°时，用等式表示AE，BE，并证明；（4）若△DBC为等腰三角形，直接写出α的度数30°或75°．【解答】解：（1）过点B作AP的垂线，交AP于点O，则点D是点B关于射线AP的对称点、CD，如图所示：（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，根据轴对称可知：AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝20°，∴∠DAC＝∠DAP+∠BAP+∠BAC＝100°，∴；（3）CD＝AE+3BE，证明如下：在CD上截取BG＝BE，如图：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝60°，由对称可知：BE＝DE，AB＝AD，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠D，∵∠BAP＝α，∴∠PAD＝α，∴∠CAD＝∠BAC+∠PAB+∠PAD＝60°+2α，∴，∵∠AEC＝∠D+∠DAP＝60°﹣α+α＝60°，∴∠BCG＝60°﹣∠ACD，∠DAE＝60°﹣∠D，∵∠ACD＝∠D，∴∠BCG＝∠DAE，由对称可知：∠PEB＝∠PED，DE＝BE，∵∠PED＝∠AEC＝60°，∴∠PEB＝∠PED＝60°，∴∠BEG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵BG＝BE，∴△BGE是等边三角形，∴∠BGE＝60°，BG＝EG＝BE＝DE，∴∠BGC＝120°，∵∠AED＝180°﹣∠AEC＝120°，∴∠AED＝∠BGC，在△BCG和△DAE中，，∴△BCG≌△DAE（AAS），∴AE＝CG，∵EG＝BE＝DE，∴CD＝AE+2BE；（4）①当BD＝CD时，延长DA交BC于点E∵AC＝AB，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，即AE垂直平分BC，∵△ABC为等边三角形，∴，∴∠DAB＝180°﹣30°＝150°，根据轴对称可知：；②当BC＝BD时，如图：根据轴对称可知：AB＝AD，∴AB＝AD＝BC＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴；③当BC＝CD时，如图：∵CD＝BC，AD＝AB，∴AC垂直平分BD，根据轴对称可知，AP垂直平分BD，∴C，A，P三点在同一条直线上，∴∠PAB＝α＝180°﹣∠BAC＝120°（不合题意，舍去），综上所述，当△DBC是等腰三角形时．故答案为：30°或75°．26．（8分）在平面直角坐标系中，S是给定的n（n≥3）边形A1A2⋯An．我们称如下的变换为一次“S﹣轴反射变换”：将平面内一点X沿直线A1A2进行翻折得到点X1；将点X1沿直线A2A3翻折得到点X2；…；将