27.1 圆的认识 第7课时 圆周角（一） 教案-华东师大版九下

课题：27.1圆的认识第七课时圆周角（一）＆.教学目标：1、理解圆周角的概念，会判断一个角是否为圆周角。2、掌握圆周角的性质和直径所对的圆周角是直角的特征。3、会证明圆周角的定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角的关系。4、渗透由“一般到特殊”、分类讨论及化归等数学思想方法，培养数学推理能力。＆.教学重点、难点：重点：圆周角的概念和圆周角定理。难点：1.对定理存在的前提条件“在同圆或等圆中”的理解；2.圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。＆.教学过程：一、情景导入问题：如图足球训练场上教练球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练.甲、乙两名运动员分别在、两地，他们争论不休，都说自己的位置射门好，如果你是教练评一评他们的说法。AADOA图1CB二、探究新知学生阅读课本，了解圆周角的定义.＆.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角。图2（1）图2（1）（2）（3）（4）（5）教学思路：引导同学们自主归纳一个角是圆周角的条件，更深刻地理解概念。答案：只有图（3）中的角是圆周角。归纳：判定一个角是否是圆周角，必须从两个方面：一是角的顶点在圆上，二是角的两边必须和圆相交.定义既体现了圆周角的特征，也是判断依据。§1.探究直径所对的圆周角的特征：问题1：探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径？AOACB图3如图，线段是⊙的直径，点是⊙上的任意一点（除、），那么就是直径所对的圆周角.想想看，是怎样的角，为什么呢？请同学们测量并对猜想的结论加以证明。AOACB图3结果：点是⊙上的任意一点（除、），都成立。＆.圆周角性质：半圆或直径所对的圆周角都等于（直角）；反过来，即的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。问题2：对于一般的圆周角，又有什么规律呢？§2.探究同弧或等弧所对圆周角的特征：※.动手实践，启发猜想：活动1：分别量一量如图中弧所对的两个圆周角和圆心角的度数，猜想：（1）同弧（）所对的圆心角与圆周角的数量关系是怎样的？（2）同弧（）所对的圆周角与圆周角的数量关系是怎样的？CCDAOAB图4结果：（1）；（2）.学生活动：学生利用量角器进行实验、探究.教师活动：教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现。教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否变化，同弧所对的圆周角与圆心角的关系怎样？（1）拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；（2）改变圆的半径大小。当在两种变化下上述猜想都成立的情况下，能进一步验证猜想的正确性，为下面的分类证明奠定基础。※.分类化归，验证猜想：图5C（1）图5C（1）AOABC（2）AOABC（3）AOABC（4）AOABC（5）AOAB你能对上面的图进行分类吗？答案：（1）、（5）圆心在圆周角的一边上，（2）、（4）圆心在圆周角的外部，（3）圆心在圆周角的内部。教学方法：教师用几何画板演示圆心与圆周角的三种位置关系。固定圆周角的两个顶点，让顶点在圆周上运动，学生仔细观察，发现只有上述三种情况，也进一步明确了为什么分三类进行证明，从而利用完全归纳法进行逻辑推理。图6C（1）图6C（1）AOABDC（2）AOAB212DC（3）BOAA1第一类：如图6（1），圆心在圆周角一边上.第二类：如图6（2），圆心在圆周角内部.连结并延长交⊙于点.利用（1）的结果，有第三类：如图6（3），圆心在圆周角外部.连结并延长交⊙于点.利用（1）的结果，有＆.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。三、讲解例题，巩固新知§.例1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为和，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。E图7CE图7CDAOAB解得：这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为、.同步练习：1、对于导入新课中的问题，你认为甲、乙两名运动员谁的射门角度好？2、如图，足球赛场上甲、乙、丙三名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到如图的点时，乙、丙也分别跟随冲到图的点、点，从射门的角度大小考虑，甲应把球传给谁好？请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。§.例2、（2017年甘肃白银市中考）如图，点、、、在⊙上，弦、的延长线相交于点.若是⊙的直径，是的中点。（1）试判断、之间的关系，并给出证明。（2）在上述题设下，还应满足什么条件，点才一定是的中点。（直接写出结论）解：（1）证法一：连结，则E图8CDAOAE图8CDAOAB∴∴证法二：连结，则又∵∴是线段的中垂线∴（2）是正三角形，或，或，或，或.D图9CAOAB同步练习：（2018年山东滨州市中考）如图，是⊙的直径，是⊙上的一点，若，，，求的长。D图9CAOAB四、巩固练习教材练习五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1、理解掌握圆周角的定义，能运用直径所对的圆周角是直角的性质及圆周角定理进行相关计算或证明。2、了解其中渗透的分类讨论，从特殊到一般及化归等数学思想方法。六、课外作业1、教材习题27.12、补充题：（1）如图，内接于⊙，，，求的长。（）（2）如图，已知、是⊙的两条互相垂直的直径，为上的一动点（与、不重合），直线与直线交于点，直线与直线交于点.若⊙的半径为，设，.①求与的函数关系失，说明是什么函数，并写出自变量的取值范围；②若，是以为未知数的方程的两根，求的值及，的值；③求的面积。答案提示：①先证∽，利用相似三角形的对应边成比例得；②，，或，；③由∽，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方得：.（3）如图，在直径为的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形一边为，顶点在半圆周上，其他两边为和，现要建造一个内接于的矩形水池，其中在上，，.①求中边上的高；②设，当取何值时，水池的面积最大？③实际施工时，发现在上距点米处有一棵大树，问：这棵