2026年高考数学一轮总复习（人教A版） 高考重点突破 三角函数与解三角形（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高考重点突破三角函数与解三角形2026年高考数学一轮总复习（人教A版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知中，角，，的对边长分别是，，，，且.(1)证明：；(2)若，求外接圆的面积2．在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，①求的值：②求的值.3．如图，四边形的内角，，，，且．(1)求；(2)若点是线段上的一点，，求的值．4．如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；(2)求的值及的长度.5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．6．在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)已知，求的最大值.二、单选题7．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（

）A． B．C． D．8．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距9．位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（

）（其中，）A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米三、填空题10．如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号789答案CAC1．(1)证明见解析(2)【分析】（1）将中的化为，再化简即可；（2）用正弦定理及余弦定理将角化边求出，根据三边长发现三角形为直角三角形，故其斜边即为外接圆直径，由此求解即可.【详解】（1）由已知，，∴，∴，∴，∴，易知上式中，，，∴由上式得，即.（2）∵，∴由正弦定理和余弦定理得，，化简得，∴.又∵，，∴，是以为斜边，为直角的直角三角形，∴外接圆的直径，外接圆的半径，∴外接圆的面积.2．(1)(2)①；②【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解；（2）①结合余弦定理可得，结合即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得，将转换为，结合两角和的正弦公式即可得解.【详解】（1）因为，利用正弦定理可得：，即.因为，所以，即，又，可得.（2）①由余弦定理及已知可得：即，又因为，所以，联立或（舍），②由正弦定理可知：，因为，则，故为锐角，，.3．(1)(2)【分析】（1）设，在、分别利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得，利用勾股定理求出，即可求得的长.【详解】（1）解：设，在中据余弦定理，得，即，①又在中据余弦定理，得，即，②因为，则，联立①②可得，，因为，所以．（2）解：在中，由正弦定理知，，所以，且，故，在直角三角形中，由勾股定理知，，此时．4．(1)(2)，【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可；（2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.【详解】（1）∵，，，，;（2），，，则.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，，.5．(1)；(2)．【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．【详解】（1）方法一：直接法可得，则，即，注意到，于是，展开可得，则，又，.方法二：二倍角公式处理+直接法因为，即，而，所以；方法三：导数同构法根据可知，，设，，则在上单调递减，，故，结合，解得.方法四：恒等变换化简，结合正切函数的单调性，，则，结合，解得.（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以由正弦定理得．当且仅当时取等号，所以的最小值为．6．(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到的大小；（2）利用正弦定理得到，再根据关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值.【详解】（1）∵，由正弦定理得，，即，所以，∵，∴，∴，∵，∴；（2）由正弦定理，得，∴，又∵，为锐角，∴的最大值为，∴的最大值为.7．C【分析】根据已知条件，可得三个内角的大小，再求出，利用正弦定理解，可求.【详解】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，气球的高度是，所以，，，所以，在中，由正弦定理可得，所以．故选：C8．A【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．9．