第05讲用空间向量研究直线平面的位置关系（九大题型思维导图知识梳理课后提升练）（人教A版选择性）（原卷版）

第05讲用空间向量研究直线、平面的位置关系【人教A版】模块一模块一空间中点、直线和平面的向量表示1．空间中点、直线和平面的向量表示(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq\o(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．(2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式．(3)平面的法向量定义：【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.【题型1求平面的法向量】【例1】（2425高二上·浙江杭州·期末）已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，则平面ABC的一个法向量可以为（

）A．(4,3,6) B．(−4,3,6) C．(4,−3,6) D．(4,3,−6)【变式1.1】（2425高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点A0,0,0、B0,0,1、C1,1,0在平面α内，则下列向量为平面αA．n=0,1,0 C．n=1,1,0 【变式1.2】（2425高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B=A．23,23,13 B．【变式1.3】（2425高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D

A．6a+6b−c B．2a模块二模块二空间中直线、平面的平行1．空间中直线、平面的平行(2)线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.2．利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．3．证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．4．证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．【题型2利用空间向量证明线线平行】【例2】（2425高二上·全国·课后作业）长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D【变式2.1】（2425高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2

【变式2.2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AA证明：B2【变式2.3】（2425高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C(1)证明：EF∥A1(2)证明：A1【题型3利用空间向量证明线面平行】【例3】（2425高二上·重庆铜梁·阶段练习）直线l的一个方向向量为m=−4,2,2，平面α的一个法向量为n=2,−1,x，若l/平面α，则A．−5 B．5 C．−1 D．1【变式3.1】（2425高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB，E，F分别为PD，PB的中点，AH=λHP，CG=GP，若GH∥平面EFCA．3 B．4 C．5 D．6【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形ABCD所在平面与直角梯形ABPE所在平面交于直线AB，DE=2且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP.设点M为棱PD的中点，求证：EM【变式3.3】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥PABCD与正方体ABCD−A1B

(1)求证：PC//平面ADC(2)若AB=3，求四棱锥P−ADC【题型4利用空间向量证明面面平行】【例4】（2425高二上·全国·课后作业）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1

【变式4.1】（2425高二·全国·课后作业）如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：(1)MN//平面PAD；(2)平面QMN//平面PAD．【变式4.2】（2425高二下·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，【变式4.3】（2425高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D(1)求证：平面A1C1(2)线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面模块三模块三空间中直线、平面的垂直1．空间中直线、平面的垂直(2)线面垂直的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.2．证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．4．证明面面垂直的两种方法：(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．【题型5利用空间向量证明线线垂直】【例5】（2425高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CA．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直【变式5.1】（2425高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，O为底面的中点，P为所在棱的中点，M、N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【变式5.2】（2526高二上·全国·课前预习）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，E是DD【变式5.3】（2425高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD边长为1的正方形，MA=2，P是MC上一点，且CP=(1)建立适当的坐标系并求点P坐标；(2)求证：MB⊥DP.【题型6利用空间向量证明线面垂直】【例6】（2425高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线l的方向向量为a=1,−1,λ，平面α的一个法向量为n=−2,2,1，若l⊥α，则λA．−2 B．−12 C．1【变式6.1】（2425高二上·山东青岛·期中）已知a=(−2, a+b, a−b)是直线l的方向向量，n=(2, −1, A．a−3b−4=0 B．a=−C．a−3b−5=0 D．a=【变式6.2】（2425高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱ADD1A1−BCC1B1中，底面ADD1

【变式6.3】（2425高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱ABC−A1B1C(1)求BN的长；(2)求证：BN⊥平面C1MN【题型7利用空间向量证明面面垂直】【例7】（2425高二上·山东济南·期中）已知n1=3,x,2,n2=−3,3A．−7 B．−1 C．1 D．7【变式7.1】（2425高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AAA．14 B．13 C．1【变式7.2】（2425高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且(1)求平面DEA的法向量；(2)求证：平面DEA⊥平面ECA．【变式7.3】（2425高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB(1)求EF⋅(2)用向量法证明：平面BEA⊥平面A1【题型8平行、垂直综合的向量证明】【例8】（2425高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=23(1)求证：AE⊥平面PBC；(2)求证：PA//平面BDE．【变式8.1】（2425高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1

(1)平面A1B1(2)平面EGF//平面ABD【变式8.2】（2425高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA(1)若N是AA1的中点，求证：DB(2)若BD1//平面MNC【变式8.3】（2025高二上·江苏·专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1(1)证明：平面PQB⊥平面DCQ；(2)证明：PC//平面BAQ.【题型9空间中线、面位置关系的探索性问题】【例9】（2425高二上·四川南充·阶段练习）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1

(1)求证：MN//平面ABB(2)线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面【变式9.1】（2425高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∠BAD=60°，DE=DC=2AF．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)线段CE上是否存在点P，使得AP∥平面BEF？若存在，指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由．【变式9.2】（2025高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2.(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出BPPE【变式9.3】（2425高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C(1)求证：平面NPC//平面AB(2)在线段BB1上是否存在一点Q，使AB1⊥一、单选题1．（2526高二上·全国·课后作业）已知点A1,2,−1，B2,1,−1，C−1,2,0，则平面ABC的法向量nA．1,1,2 B．1,−1,2 C．2,1,1 D．1,2,12．（2425高二上·重庆·期末）已知m=12,k,3，n=−4,1,1分别是平面α，β的法向量，若A．−1 B．0 C．1 D．23．（2425高二上·北京怀柔·期末）已知直线l1的一个方向向量为n=−2,1,3，直线l2的一个方向向量为m=2,−1,t，若A．−3 B．1 C．53 D．4．（2425高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知A．16 B．14 C．135．（2425高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A．AC B．AC1 C．A16．（2425高二上·福建泉州·期末）已知P为平行四边形ABCD外的一点，且AB=2,1,3,A．PA/BD B．与PA同向的单位向量为C．AC=(5,3,8) D．平面PAD的一个法向量为7．（2425高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1CA．QN⊥BB1 B．QN//C．直线QN与PT为异面直线 D．B1D⊥8．（2425高二上·北京·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别为棱AB,BC的中点，平面DEA．直线A1F与直线B．直线A1F⊥C．平面AB1D．截面DEGC二、多选题9．（2425高二上·山东·阶段练习）已知平面α与平面β平行，若n=2,−4,8是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为（A．−1,2,−4 B．−1,2,4 C．2,4,−8 D．−2,4,−810．（2425高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，以AB,A．m=(−1,1,1)是直线A1C的一个方向向量 B．nC．若l/平面B1CD1，则a=−1 D．若11．（2425高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB,AD,A1BA．不存在λ的值，使得直线BC1//B．当λ=1时，直线BC1//C．当λ=1+22时，平面EFPQ⊥平面D．当λ=1−22时，平面EFPQ⊥平面三、填空题12．（2425高二上