专题07相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题07相似三角形中的基本模型之十字架模型几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。TOC\o"14"\h\z\u 1模型来源 1真题现模型 2提炼模型 4模型运用 7模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21‌十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌（2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题．【答案】(1)1(2)证明见解析(4)故答案为：．∴点到直线的距离为．【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架”【模型建立】如何证明这个猜想呢？在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示．（1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？（2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？【模型应用】【拓广延伸】【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4）【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：（3）如图所示：故答案为：1故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．1）矩形中的十字架模型2）等边三角形中的斜十字模型条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），3）直角三角形中的十字模型1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：证明：不妨把①②作为条件，来证明③⑦的五个结论。如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90°∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB，∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，2）直角三角形中的十字模型：证明：不妨把①②作为条件，来证明③⑦的五个结论。由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C是边的中点，综上分析可知，正确的结论有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点解题的关键．故答案为：．【答案】7∵E是边的中点，故答案为：7．【答案】（1）1；（2）．【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形和相似三角形的性质是解答的关键．故答案为：1；【答案】(1)见解析【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键．模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）(2)如图2，若点E是的中点，求的值．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．点是的中点，②求的长．【答案】(1)①见解析；②(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．∵是的中点，【答案】(1)证明见解析；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形与菱形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)见解析【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型）例1（2425·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（

）【答案】B【答案】D例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G．(1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD；(3)如图（1），若＝，直接写出的值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD，例4（2425九年级下·四川内江·开学考试）初识图形【答案】(1)见解析(2)见解析【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、配方法解一元二次方程，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．(1)计算及的长；(2)求的值．【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．∵点为的中点，①求的长；【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式；作出相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键．4．（2526八年级上·广东湛江·期中）综合与实践【探究课题】三角形重心的性质【答案】（1）（2）（3）【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．（1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；∴，，分别是，，边上的中点，故答案为：；①求的值；②求的值；(2)如图（1），请直接写出的值（用含n的式子表示）．【答案】(1)①；②2【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．∵D是的中点，设边上的高为，故答案为：2；设边上的高为，（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】【灵活运用】【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）（2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图：∵D为的中点，故答案为：．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判断方法．（1）通过找角的关系证明三角形相似；（2）利用相似三角形性质及比例传递，推导出结论．【答案】(1)证明见解析【分析】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；【详解】（1）证明：如图所示：理由如下：求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键．【答案】(1)见解析；(2)见解析；【详解】（1）证明：如图，∵为中线，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线定义，三角形的外角性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．∴到的距离等于，【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系．(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质；∴点在直线上运动，∴当点与点重合时，最小，14．（2526九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容.结合图①，完成解答过程.（1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为；【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键．[拓展]故答案为：．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定：16．（2425九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】【尝试应用】【拓展提高】∵是的中点【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键．17．（2425九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架”【模型建立】如何证明这个猜想呢？在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示．（1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？（2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？【模型应用】【拓广延伸】【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4）【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：（3）如图所示：故答案为：1故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18．（2025九年级下·海南·专题练习）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究：【基本模型】【类比探究】【拓展应用】∵翻折，【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握十字架模型，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形或相似三角形，是解题的关键．19．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）教材深挖．华东师大版数学八年级下册教材第121页上，习题19．3第2题及参考答案如下：某数学兴趣小组顺利完成了以上解答后，觉得意犹未尽，决定对该问题做进一步的探究，于是有了下面的问题．请你帮他们解答．【问题探究】【知识迁移】【拓展应用】【答案】（1）相等，见解析；（2）；（3）【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．20．（2425九年级上·广东深圳·阶段练习）某小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】【性质探究】【答案】（1）（2）（3）证明过程见详解（4）（5）故答案为：；故答案为：；故答案为：．【点睛】本题主要考查正方