初中数学浙教版九年级上册32图形的旋转举一反三（原卷版）

3.2图形的旋转xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】判断生活中的旋转现象 4【题型2】判断一个图形旋转后得到的图形 5【题型3】旋转三要素及旋转中不变的辨析 7【题型4】旋转中的规律性问题 9【题型5】利用旋转的性质计算 12【题型6】利用旋转的性质证明 13【题型7】利用旋转的性质求最值 16xixix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．1.（2024秋•诸暨市期末）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（）A．升国旗的过程B．摩天轮的转动C．汽车刹车时的滑动D．电梯的运行2.（2024秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【知识点2】旋转的性质（1）旋转的性质：______①对应点到旋转中心的距离相等．______②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．______③旋转前、后的图形全等．______（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．______注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．1.（2024秋•息县期末）如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，如果△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，则旋转角度是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2.（2025春•肃州区期中）如图，在△AOB中，AO=3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（）A．3B．5C．3D．5【知识点3】旋转对称图形（1）旋转对称图形

如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．1.（2024春•遂平县期末）下列说法正确的是（）A．正八边形和正方形的组合不能铺满地面B．五角星是旋转对称图形，绕着它的中心至少旋转36°能与自身重合C．三条线段长度分别为2cm,4cm,6cm,则这三条线段可以组成一个三角形D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形2.（2024•海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45B．60C．72D．144【知识点4】坐标与图形变化旋转（1）关于原点对称的点的坐标

P（x，y）⇒P（x，y）（2）旋转图形的坐标

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．1.（2024•普宁市校级三模）如图，在Rt△ABO中，AB=OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（1，3）B．（1，3）C．（−1，2+D．（3，1）【知识点5】作图旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．【知识点6】利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．1.（2024秋•工业园区期末）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（）A．轴对称B．平移C．旋转D．轴对称，平移，旋转【题型1】判断生活中的旋转现象【典型例题】在以下几种生活现象中，不属于旋转的是()A.下雪时，雪花在天空中自由飘落B.钟摆左右不停地摆动C.时钟上秒针的转动D.电风扇转动的扇叶【举一反三1】下列现象属于旋转的是（

）A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的时候C.笔直的铁轨上飞驰而过的火车D.幸运大转盘转动的过程【举一反三2】下列运动属于数学上的旋转的是（

）A.乘坐升降电梯B.地球绕太阳转动C.钟表上的时针运动D.将等腰三角形沿着底边上的高对折【举一反三3】我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有

.（填序号）【举一反三4】运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是

．【举一反三5】你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？【题型2】判断一个图形旋转后得到的图形【典型例题】如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（

）

A.

B.C.

D.

【举一反三1】下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（

）A.①B.②C.③D.④【举一反三2】神舟十三号载人飞船于北京时间10月16日0时23分发射成功．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，下列选项中是该标识经过旋转得到的是（）A.B.C.D.【举一反三3】下列各图中，可以看成由下面图形顺时针旋转90°而形成的图形的是(

)A.AB.BC.CD.D【举一反三4】下列图形绕某点旋转后，不能与原来重合的是（旋转度数不超过180°）（

）A.B.C.D.【题型3】旋转三要素及旋转中不变的辨析【典型例题】在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（

）

A.B.C.D.【举一反三1】如图，图形旋转多少度后能与自身重合（

）A.B.C.D.【举一反三2】如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：

（1）点的对应点是

；（2）旋转中心是

，旋转角为

；（3）的对应角是

，线段的对应线段是

．【举一反三3】如图，为等边三角形，是等边内部一点，经过逆时针旋转后到达的位置，则（1）旋转中心是

；（2）旋转角的度数是

；（3）是

三角形．【举一反三4】阅读理解，并完成任务：小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理：①连接A、作线段的垂直平分线；②连接，作线段的垂直平分线，与交于点.则点为所求作的旋转中心.推理过程如下：∵是绕点旋转而成的,∴（依据1）,∴点在线段的垂直平分线上（依据2）,同理可得，点在线段的垂直平分线上,∴点为与的交点.任务：（1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？“依据1”：______________________________________________________.“依据2”：______________________________________________________.【题型4】旋转中的规律性问题【典型例题】如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=(

)A.2016+671B.2016+672C.2017+671D.2017+672【举一反三1】如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（

）A.B.C.D.【举一反三2】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（）

A.B.C.D.【举一反三3】如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（

）A.B.C.D.【举一反三4】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（）

A.B.C.D.【举一反三5】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标

．【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是

．【举一反三7】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标

．【题型5】利用旋转的性质计算【典型例题】如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，，则的长为（

）A.B.C.D.2【举一反三1】如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（

）A.B.C.D.【举一反三2】如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（）A.B.C.D.【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式

．【举一反三4】如图，已知中，，，将绕点A时针旋转到的位置，连接，求的长．【题型6】利用旋转的性质证明【典型例题】如图，若点是等边的边上一点，将绕点A时针旋转得到，连接，则下列结论：①；②；③，其中正确的个数有（

）A.3个B.2个C.1个D.0个【举一反三1】如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点A顺时针旋转得到，则下列结论：①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则，其中正确的个数有（

）A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三2】如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（

）

A.B.C.D.【举一反三3】如图，D为等边三角形ABC内部一点，连接，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②；③点D到的距离为3；④直线BD与直线相交所形成的锐角是，其中所有正确的结论有（

）A.3个B.1个C.2个D.4个【举一反三4】如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（

）A.①②③B.①②③④C.①②④D.①③【举一反三5】如图，在等腰中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接．(1)如图1，若点在上，求证：；小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论．请你按