专题03全等三角形（期中复习讲义）（原卷版）

专题03全等三角形（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律命题与定义掌握定义与命题的概念，并解决相关概念题型且能判断正误基础概念题型，常出现在选择题全等三角形的概念与性质掌握全等三角形定义、对应元素，并能找对应关系，用性质求边、角的值中考常考题型，一般在小题全等三角形的判定熟记SSS/SAS/ASA/AAS/HL，能按已知条件选择定理高频易错点，容易忽略全等的条件等腰三角形的概念与性质掌握等腰三角形的定义（有两边相等的三角形）、边角性质（等边对等角）及“三线合一”性质，能运用性质解决边、角计算和证明问题中考重点题型，性质应用常出现在选择、填空及解答题基础部分，高频且难度中等偏基础等腰三角形的判定熟记等腰三角形的判定定理（等角对等边），能根据已知角或边的关系判定三角形为等腰三角形，解决相关证明和计算中考常考题型，多与全等、平行线等定理结合，是易错点，需注意判定条件的准确应用等边三角形的性质掌握等边三角形定义（三边相等）、边角性质（三角均为60°、三边相等），能运用性质解决角度计算、线段证明及几何综合问题多在几何综合题中结合旋转、全等考查，难度中等，是几何变换类题的高频考点互逆命题掌握互逆命题的定义，能判断两个命题是否为互逆命题；会写出一个命题的逆命题，并能判断逆命题的真假基础概念题型，常出现在选择题、填空题，考查对概念的理解及逆命题的书写与真假判断互逆定理掌握互逆定理的定义，能判断两个定理是否为互逆定理；明确互逆定理的成立条件（逆命题为真命题），并结合具体定理（如勾股定理与其逆定理）理解应用常结合具体定理（如勾股定理、等腰三角形的性质与判定等）考查，多为概念理解题，难度基础，易忽略“逆命题需为真”的关键条件垂直平分线的性质掌握垂直平分线定义及“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质，能运用性质解决线段相等、点的位置判定及辅助线构造问题基础高频考点，常出现在选择、填空题，也用于几何证明的辅助线设计，属于几何基础工具类考点角平分线的性质掌握角平分线定义及“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，能运用性质解决距离相等证明、角度计算及全等结合类问题基础高频易错点，多在选择、填空及证明题中出现，易忽略“距离是垂线段”的条件，需精准应用知识点01命题、定理与证明◎命题表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。◎命题的组成...由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。◎命题的分类命题分为真命题和假命题两类:★真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。★假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。◎定理★基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。五、证明及证明的一般步骤★证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明知识点02判定全等三角形（边边边）◎判定全等三角形（边边边）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。◎判定全等三角形（边角边）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。◎判定全等三角形（角边角）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。◎判定全等三角形（角角边）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。◎判定全等三角形（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。知识点03全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．知识点04角平分线◎角的平分线的性质（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。◎角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。知识点05线段垂直平分线◎定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。◎线段垂直平分线的作图1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线◎线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等知识点06等腰三角形的概念与性质◎等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．◎等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．◎等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.知识点07等边三角形的概念与性质◎等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.注意：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.◎等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°◎等边三角形的判定（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点08互逆命题与互逆定理◎互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。任何一个命题都有逆命题。◎互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。知识点09尺规作图◎作一条线段等于已知线段已知线段a求作线段0A，使OA等于a作法1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA即为所求依据圆上的点到圆心的距离等于半径.◎作一个角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.◎作已知角的角平分线已知∠AOB求作射线OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.◎过一点作已知直线的垂线已知直线AB和AB上的一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.已知直线AB和AB外一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.依据1）等腰三角形“三线合一”；2）两点确定一条直线.◎作线段的垂直平分线已知线段AB求作线段AB的垂直平分线作法1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.依据1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹；4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.题型一判断命题与命题真假解｜题｜技｜巧★只需找到一个满足条件，但不满足结论的例子，即可证明命题为假．示例：“相等的角是对顶角”是假命题，反例为“两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角”．【典例1】下列语句属于命题的有（

）①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子2nA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1】下列命题中，是真命题的是（

）A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补B．两个互补的角一定是邻补角C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【变式2】判断下列句子是不是命题①对顶角相等；()②画一个角等于已知角；()③两直线平行，同位角相等；()④a，b两条直线平行吗？()题型二补全证明过程解｜题｜技｜巧★从已知条件出发，逐步推导中间结论（如先证三角形全等，再得对应边/角相等），直到接近最终求证结论。每一步需标注依据（如“∵已知/SSS判定定理，∴…”）．★若正向推导受阻，可从求证结论出发，逆向思考：“要证明这个结论，需要先证明什么条件？”再看该条件是否可由已知或中间结论推导得出．【典例1】如图，E是AB，CD外一点，∠D=∠B+∠E．求证：AB∥证明：∵∠D=∠B+∠E∠BFD=∠B+∠E，∴∠D=∠BFD（等量代换）．∴AB∥CD【变式1】补全下列推理过程：如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义），∴EF∥AD（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代换）．∴DG∥AB（____________）．【变式2】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．证明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴AB∥CD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（）．∴AB∥EF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．题型三全等三角形的概念解｜题｜技｜巧★紧扣全等三角形“完全重合”的本质，明确对应边与对应角的关系，以此判断三角形是否全等或推导边、角的等量关系.【典例1】下列说法正确的是（

）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【变式1】如图，若沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌，AB的对应边是，AC的对应边是，∠B的对应角是，∠BCA的对应角是．【变式2】如图，△ABE与△CDE全等，可以确定∠1与是对应角，若AE与CE是对应边，则AB与是对应边．题型四全等三角形的性质解｜题｜技｜巧★解题时先精准定位全等三角形的对应边与对应角，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，推导所求边或角的等量关系．【典例1】如图，△ABC≌△ADE，且D，C，E三点共线，若∠BAD=30°，则∠E=（

）．A．75° B．70° C．65° D．60°【变式1】如图，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO=8，AO=6，AB=5，则CD的长为（A．10 B．8 C．5 D．不能确定【变式2】已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72° B．60° C．58° D．50°题型五全等三角形的判定解｜题｜技｜巧★先分析已知的边、角条件，找准三角形间的对应关系，再匹配SSS、SAS、ASA、AAS（直角三角形加HL）判定定理，证明三角形全等．【典例1】如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（A．AC=DF,BC=EF B．∠A=∠D,AB=DEC．AC=DF,AB=DE D．∠B=∠E,BC=EF【变式1】如图，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．求证：△ABD≌△ACE．【变式2】如图，∠A=∠B,AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED．

【变式3】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥题型六等腰三角形的性质解｜题｜技｜巧★先识别等腰三角形的相等边（腰）或相等角（底角），再运用“等边对等角”或“三线合一”性质，推导所求边、角的等量关系或垂直、平分关系.【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC=138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AA．16° B．15° C．14° D．13°【变式1】已知等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为7cm，则它的周长为【变式2】如图，在△ABC中，AB=BC，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使BD=CA，在射线CF上取一点G，使CG=BA，连接AD，AG，若∠DAE=38°，∠EBC=20°，则∠GAB=°．【变式3】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D在边BC上，且BD=1，AD与BE相交于点P，若∠APE=60°，则CE的长为．题型七等腰三角形的判定解｜题｜技｜巧★先通过已知条件（如平行线、对顶角、全等结论等）找到同一三角形中的相等角，再依据“等角对等边”定理判定该三角形为等腰三角形.【典例1】如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为（

A．3 B．4 C．5 D．6【变式1】如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD=7cm，DE=3cm，求CE的长为【变式2】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：2CB=AB【变式3】如图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，(1)∠AEC=∠ADB；(2)△ADE是等边三角形．题型八互逆命题解｜题｜技｜巧★先拆分原命题的“条件”与“结论”并互换得到逆命题，再通过逻辑推理或举反例判断逆命题的真假.【典例1】下列命题的逆命题是真命题的是（

）A．若a>0,b>0，则a+b>0 B．直角都相等C．同位角相等，两直线平行 D．三角形的外角和为360°【变式1】请写出命题“若a>b，则a+1>b+1”的逆命题：．【变式2】下列命题：①若|a|>|b|，则a>b；②直角三角形的两个锐角互余；③如果a=0，那么ab=0；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是．（请填写序号）题型九互逆定理解｜题｜技｜巧★先拆分原定理的条件与结论并互换得到逆命题，再验证逆命题是否为真（真则为互逆定理，假则不是），且常结合具体定理（如勾股定理与其逆定理）辅助判断.【典例1】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1】下列定理中没有逆定理的是（

）A．三边分别相等的两个三角形全等B．直角三角形的两个锐角互余C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等D．全等三角形的对应角相等【变式2】下列说法对吗？请说明理由．(1)每个定理都有逆定理．(2)每个命题都有逆命题．(3)假命题没有逆命题．(4)真命题的逆命题是真命题．题型十线段垂直平分线的性质解｜题｜技｜巧★先找或构造线段垂直平分线上的点，再利用“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质，推导线段等量关系以解决证明或计算问题．【典例1】到三角形三个顶点的距离相等的点是（

）．A．三角形两边垂直平分线交点 B．三角形两个内角平分线交点C．三角形两条中线交点 D．三角形两条高线所在直线的交点【答案】A【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行判断即可．【详解】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．【变式1】如图，△ABC中，AB<AC<BC，使PA+PB=BC，那么符合要求的作图痕迹是（

） B． C． D．【变式2】如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO．若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（用含α的代数式表示）．题型十一线段垂直平分线的判定解｜题｜技｜巧★先找到到某线段两端距离相等的两个点，再依据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，判定这两点的连线就是该线段的垂直平分线．【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，则下列说法正确的是（

）A．AC垂直平分BD B．BD垂直平分ACC．AC与BD互相垂直平分 D．以上说法均不正确【变式1】如图，在△ABC中，∠B=∠C，点P，Q，R分别在边AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．【变式2】课本再现：前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理．现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程：已知：如图，线段AB，PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：题型十二角平分线的性质与判定解｜题｜技｜巧★利用角平分线性质时，先找角平分线上的点并作角两边的垂线段，借“垂线段相等”推等量关系；用判定时，先证某点到角两边的垂线段相等，再依此判定该点在角平分线上（核心是紧扣“垂线段”这一关键条件）．【典例1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC．若BC=5，BD=3，则点D到AB的距离为．【变式1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE=DG，S△ADG=24，S△AED=18，则【变式2】如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点都在格点上．(1)画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A(2)在直线DE上找一点P，使点P到边AB，题型十三角平分线的实际应用解｜题｜技｜巧★先将实际问题中“到角两边距离相等”的需求转化为几何条件，再借助角平分线的性质或判定，确定符合要求的点的位置（如选址、路径规划等），核心是紧扣“垂线段距离相等”这一关键关联．【典例1】如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站PA．一处 B．二处 C．三处 D．四处【变式1】如图是某校的局部平面图，学校有三条小路MN,PQ和AB，已知MN∥PQ,AB与MN,PQ相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路MN,PQ,AB的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（

）A．4处 B．3处 C．2处 D．1处【变式2】探索新知：如图①，AD是△ABC的角平分线，ABAC与BDDC之间有怎样的关系呢？过点D作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E，F，过点A作AH⊥BC，垂足为∵AD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵S△ABD∴S△ABDS新知应用：(1)如图②，AD是△ABC的角平分线，若AB=5，AC=3，则(2)如图②，AD是△ABC的角平分线，若S△ABDS△ADC(3)如图③，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，若AB:BC:AC=5:6:4，S△ABC=m，则S四边形题型十四全等三角形之倍长中线解｜题｜技｜巧★遇中线时延长中线至两倍（使延长段等于原中线），利用SAS构造全等三角形，将分散的边或角集中，转化为可直接利用的等量关系．【典例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC=3，AD=5，则AB的取值范围是．【变式1】我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在△OAC和△OBD中，OA=OB，OC=OD，∠AOC=60°，∠BOD=120°．(1)△OAC和△OBD兄弟三角形；（填“是”或“不是”）(2)取BD的中点P，连接OP，求证：AC=2OP，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程．【变式2】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法，【举例】如图1，在△ABC中，AB>AC，AD是中线，延长AD至点E，使DE=DA，可得△ADC≌△EDB．请你说明理由．【应用】如图2，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC中点，求证：DE=2AM．题型十五全等三角形之一线三垂直解｜题｜技｜巧★先识别“一线三垂直”模型（一条直线上有三个垂直关系，形成两个直角三角形），再利用直角相等、余角（或对顶角）相等及已知边相等，用AAS或ASA证明直角三角形全等，实现分散边、角的集中转化．【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是线段BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接EC交AB于点F，若BD=3.3，BF=2.5，则AB的长度为（

）A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1【变式1】(1)如图①，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求证：DE=BD+CE；如图②，若点A在直线DE上，（1）中其他条件不变，BD,CE,DE有什么数量关系？并证明．【变式2】已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD,BE，延长BE交AD于点F．求证：F为AD的中点．题型十六全等三角形之动点问题解｜题｜技｜巧★先分析动点的运动轨迹、速度等要素，确定不同时刻的图形状态，再抓住公共边、已知等角/等边等不变量，结合全等判定定理列出等量关系，求解动点位置或运动时间．【典例1】如图，AB=12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC=4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（

）分钟后，△CAPA．2 B．3 C．4 D．8【变式1】如图．在长方形ABCD中，AB=6，AD=8．延长BC到点E，使CE=4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，△ABP和△DCE全等．（

）A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7【变式2】如图，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠CBE为锐角，AB=BC=5，BE=BD=3，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．(1)AE与CD有怎样的数量关系和位置关系？说明理由．(2)固定△ABC不动，将△BDE绕着点B顺时针方向旋转360°，在变化的过程中AD的长度变化的范围是______．题型十七全等三角形之旋转手拉手解｜题｜技｜巧★如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．【典例1】【综合与实践】星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．

(1)如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则∠BDC=°；(2)如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α90°<α<180°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数（用含α的代数式表示），并说明理由；(3)如图3，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF交于点D，连接CE，连接AD并延长交CE于点G，直接写出∠CDG的度数．【变式1】问题提出（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB>AD），将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD、CD．当点E落在AB边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和△ABD全等的三角形是_______，∠BDC的度数为____________；（2）如图2，已知等边三角形ABC，AB=5，P是其外一点，且∠APB=120°，PC=7，求四边形APBC的周长；问题解决（3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形ABE，如图3所示，AB段临街道有足够长度，D是小道AE上某小区的入口（点D不在点E处），且AD=200米，设计人员准备将公园分成△ABD，△BDE两大部分，C是△ADB内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计∠ADC=∠CAB=45°，AC⊥BC，△ADB内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约6元，留出适当大小的△BDE区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需38000元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费）期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．下列说法错误的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题3．如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1=130°，则∠α的度数为（

）A．90° B．100° C．110° D